TriMule混聯(lián)機(jī)器人的精度綜合

劉海濤，潘 巧，尹福文，董成林

(天津大學(xué)機(jī)構(gòu)理論與裝備設(shè)計(jì)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300350)

幾何精度作為機(jī)器人化加工裝備的一項(xiàng)重要性能指標(biāo)，直接影響被加工產(chǎn)品的質(zhì)量[1].在制造裝配階段，提高裝備幾何精度的有效方法是精度設(shè)計(jì).該方法通過(guò)合理的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、零件加工及裝配方法消除或減小幾何誤差源對(duì)末端位姿精度的影響[2].精度設(shè)計(jì)可分為精度分析和精度綜合兩個(gè)方面，二者互為逆過(guò)程.

建立幾何誤差源與末端位姿誤差的映射關(guān)系即誤差建模是精度設(shè)計(jì)的前提.目前，國(guó)內(nèi)外研究學(xué)者就誤差建模開展了大量研究工作.Kumar等[3]提出D-H矩陣法，并利用該方法建立串聯(lián)機(jī)器人的精度模型.之后，Kiridena等[4]利用該方法建立了 TTTRR、RTTTR、RRTTT五坐標(biāo)機(jī)床的幾何誤差模型，并研究了定位誤差和體積誤差之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系，該項(xiàng)研究使得 D-H矩陣法被廣泛用于其他類型機(jī)床的誤差建模[5-6].Cai等[7]利用矢量微分法建立了 2-PRS/2-UPS機(jī)構(gòu)的誤差模型，并分析了結(jié)構(gòu)誤差、驅(qū)動(dòng)誤差、關(guān)節(jié)位置誤差和間隙誤差對(duì)動(dòng)平臺(tái)位置和姿態(tài)精度的影響.Huang等[8]以三平動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)為對(duì)象，提出一種可有效分離末端位置和姿態(tài)誤差的建模方法；隨后又利用螺旋理論提出一種針對(duì)少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的通用誤差建模方法[9]，實(shí)現(xiàn)了可補(bǔ)償與不可補(bǔ)償幾何誤差源的有效分離.

在精度綜合方面，通常采用的方法是原始誤差等效作用法[10].該方法以幾何誤差獨(dú)立作用原則為基礎(chǔ)，將精度綜合問(wèn)題直接簡(jiǎn)化為求解線性幾何誤差源問(wèn)題.此外，最優(yōu)制造成本法[11-14]是另一種精度綜合的常用方法.該方法以幾何誤差模型為基礎(chǔ)，綜合考慮精度和制造成本要求.Yao等[11]將基于最優(yōu)制造成本的精度綜合方案與基于誤差敏感度的精度綜合方案進(jìn)行比較，結(jié)果表明前者所求得的幾何誤差源更為合理.Bian等[15]為提高新型數(shù)控刻楦機(jī)的精度，提出了一種基于蒙特卡洛法的精度綜合方法，該方法的基本原理是以幾何誤差源對(duì)末端精度的靈敏度為依據(jù)，通過(guò)不斷調(diào)整幾何誤差源的方差，直至滿足精度要求.然而，上述精度綜合的目標(biāo)都是求解最優(yōu)幾何誤差源，未涉及零部件加工和裝配公差的分配.針對(duì)這一問(wèn)題，呂程等[16]以裝配體的結(jié)合平面為中間變量，建立了零件制造公差與末端精度的映射模型.在此基礎(chǔ)上，以制造成本最小化為目標(biāo)，利用遺傳算法實(shí)現(xiàn)了公差優(yōu)化，并以液壓泵的精度設(shè)計(jì)為例，驗(yàn)證了該方法的可行性.Desrochers等[17]以兩零件裝配體為研究對(duì)象，根據(jù)小位移旋量理論建立了功能要素變動(dòng)旋量與公差的對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而構(gòu)造出裝配要求與功能要素的關(guān)聯(lián)關(guān)系，最終得到末端精度與制造公差的映射模型.

目前，精度綜合方面的研究仍局限于機(jī)構(gòu)的幾何誤差源或簡(jiǎn)單裝配體的公差優(yōu)化，而工程實(shí)際中用于指導(dǎo)設(shè)計(jì)制造的精度信息為公差，因此進(jìn)行公差層面的精度綜合方法研究更具意義.為此，本文以TriMule混聯(lián)機(jī)器人中的并聯(lián)機(jī)構(gòu)為對(duì)象，以幾何誤差源為中間變量，研究關(guān)鍵零部件的公差與末端位姿誤差的映射關(guān)系，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)公差層面的精度綜合.

1 誤差建模

本文的研究對(duì)象為 TriMule五自由度混聯(lián)機(jī)器人，如圖 1所示.機(jī)器人由三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)和兩自由度 A/C轉(zhuǎn)頭構(gòu)成.并聯(lián)機(jī)構(gòu)由固定機(jī)架、轉(zhuǎn)動(dòng)支架、動(dòng)平臺(tái)、兩條 RS支鏈、RP支鏈和 US支鏈組成.在此，U、P、S、R 分別代表被動(dòng)虎克鉸、移動(dòng)副、球鉸及轉(zhuǎn)動(dòng)副，表示主動(dòng)移動(dòng)副.其中，RS支鏈的一端通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)支架和固定機(jī)架相連接，另一端通過(guò)球鉸與動(dòng)平臺(tái)相連；US支鏈的一端通過(guò)虎克鉸連接在固定機(jī)架上，另一端通過(guò)球鉸與動(dòng)平臺(tái)相連；RP支鏈一端通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)支架和固定機(jī)架相連，另一端和動(dòng)平臺(tái)固連.與兩自由度轉(zhuǎn)頭相比，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的幾何誤差源是影響機(jī)器人末端位姿精度的主要因素，故本文重點(diǎn)研究三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的精度綜合問(wèn)題.

圖1 TriMule混聯(lián)機(jī)器人三維圖Fig.1 3D model of the TriMule hybrid robot

1.1 坐標(biāo)系與幾何誤差源定義

圖2 并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)示意Fig.2 Schematic of the parallel mechanism

(1) 機(jī)架固定參考系B4xyz：為度量并聯(lián)機(jī)構(gòu)與固定機(jī)架之間的裝配誤差，在機(jī)架側(cè)面與底面分別建立參考基準(zhǔn)面XΠ和YΠ.以點(diǎn)B4為原點(diǎn)建立參考系B4xyz，其中x軸垂直于基準(zhǔn)面ΠX，y軸垂直于基準(zhǔn)面ΠY，z軸由右手定則確定.

圖3 虎克鉸坐標(biāo)系Fig.3 Coordinate systems of U

1.2 誤差映射模型

在理想情況下，點(diǎn)A4在坐標(biāo)系B4xyz下的位置矢量可表示為

當(dāng)存在幾何誤差時(shí)，點(diǎn)A4在坐標(biāo)系B4xyz下的位置矢量為

式中θBi×、θCi×、θ×均為反對(duì)稱矩陣[18].式(1)與式(2)相減并忽略高階項(xiàng)，得到

對(duì)于UP支鏈，在僅考慮1階攝動(dòng)情況下，點(diǎn)A4在坐標(biāo)系B4xyz下的位置誤差矢量可表示為

注意到，在理想情況下并聯(lián)機(jī)構(gòu)僅具有3個(gè)自由度，分別為繞支鏈4連架虎克鉸軸線的兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)和沿該支鏈軸線方向的移動(dòng)，故該機(jī)構(gòu)不能產(chǎn)生沿u4、v4方向的平動(dòng)，以及繞支鏈4連架虎克鉸兩軸線公垂線的轉(zhuǎn)動(dòng).由文獻(xiàn)[9]可知，末端位置/姿態(tài)誤差在相應(yīng)受限運(yùn)動(dòng)方向/軸線的投影中所包含的幾何誤差源是不可補(bǔ)償?shù)?，因此，將?5)左右兩端分別點(diǎn)乘u4、v4，可得到

此外，由姿態(tài)變換矩陣可得到支鏈4連架虎克鉸兩軸線公垂線的單位矢量

將式(6)兩端分別點(diǎn)乘s得到

將式(4)、(7)、(8)、(10)整理成矩陣格式，即可得到并聯(lián)機(jī)構(gòu)的誤差模型，即

式中：Ja為驅(qū)動(dòng)雅可比矩陣；Jc為約束雅可比矩陣[19].由式(11)可知，引起并聯(lián)機(jī)構(gòu)末端位姿誤差的幾何誤差源通過(guò)驅(qū)動(dòng)雅可比矩陣Ja和約束雅可比矩陣Jc被分為兩類[9].其中，εa為可補(bǔ)償幾何誤差源，共24項(xiàng)，分別為主動(dòng)支鏈i中點(diǎn)Bi相對(duì)于點(diǎn)B4的位置誤差Δbi、點(diǎn)Ci相對(duì)于點(diǎn)Bi的位置誤差Δci在坐標(biāo)系Bixiyizi中沿 z軸的分量、支鏈零點(diǎn)誤差Δqi及點(diǎn)Ai相對(duì)于點(diǎn)A4的位置誤差Δaoi；εc為不可補(bǔ)償幾何誤差源，共 6項(xiàng)，分別為點(diǎn)C4相對(duì)于點(diǎn)B4的位置誤差坐標(biāo)系B x y z相對(duì)于坐標(biāo)4444系B4xyz的姿態(tài)誤差θB4y和θB4z、坐標(biāo)系Ciuiviwi相對(duì)于坐標(biāo)系Bixiyizi的姿態(tài)誤差θC4z及支鏈 4導(dǎo)軌關(guān)于軸線的扭角誤差Δ4φ.

當(dāng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)處于非奇異位形時(shí)，式(11)可進(jìn)一步整理為

則由不可補(bǔ)償幾何誤差源引起的末端位姿誤差可表示為

式中：Ec1為矩陣Ec前 3行構(gòu)成的矩陣；Ec2為矩陣Ec后3行構(gòu)成的矩陣.由于Δc無(wú)法通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定的方法得到補(bǔ)償，因此應(yīng)在加工及裝配過(guò)程中嚴(yán)格控制影響Δc的幾何誤差源εc，故本文據(jù)此進(jìn)一步研究εc的精度綜合問(wèn)題.

2 公差建模

誤差建模部分已經(jīng)建立了并聯(lián)機(jī)構(gòu)不可補(bǔ)償幾何誤差源與末端位姿誤差之間的映射關(guān)系，而公差層面的精度綜合需要建立零部件公差與末端位姿誤差的映射關(guān)系.注意到，不可補(bǔ)償幾何誤差源只存在于RP支鏈，故本節(jié)建立的公差模型僅針對(duì)該條支鏈.

根據(jù)小位移旋量理論[17]，以幾何要素的理想位置為參考建立公差模型.幾何要素的微小變動(dòng)可以用小位移旋量T表示，即

式中：u、v、w表示沿x、y、z軸的微小平動(dòng)；α、β、γ表示繞x、y、z軸的微小轉(zhuǎn)動(dòng).若幾何要素在變動(dòng)域內(nèi)沿某一自由度方向運(yùn)動(dòng)(平動(dòng)或旋轉(zhuǎn))，其空間方位特征不發(fā)生改變，則對(duì)應(yīng)微小平動(dòng)或微小轉(zhuǎn)動(dòng)的參數(shù)值為0.

2.1 幾何誤差源及對(duì)應(yīng)公差分析

由于幾何誤差源ΔyC4、Δ4φ涉及的裝配過(guò)程較復(fù)雜，為降低建模難度，做如下簡(jiǎn)化：由誤差建模部分可知，ΔyC4表示RP支鏈軸線和轉(zhuǎn)動(dòng)支架近架軸線的共面誤差，通過(guò)調(diào)整轉(zhuǎn)動(dòng)支架遠(yuǎn)架軸兩側(cè)軸承蓋內(nèi)墊片的厚度可減小該誤差.調(diào)整過(guò)程中所使用的測(cè)量工具為百分尺.在不考慮人為因素時(shí)，可認(rèn)為該項(xiàng)誤差值取決于測(cè)量工具的精度，實(shí)際測(cè)量值和理論值的極限偏差為 ±0.01mm.因此，設(shè)定ΔyC4的變動(dòng)區(qū)間為[-0.01,+0.01] mm.Δφ4表示RP支鏈兩側(cè)導(dǎo)軌關(guān)于軸線的扭角誤差，即RP支鏈兩端導(dǎo)軌在水平面內(nèi)的平行度誤差.裝配時(shí)需調(diào)整安裝位置以保證兩導(dǎo)軌平行.同理，以百分尺的精度限定平行度公差為0.01 mm，故扭角誤差Δφ4滿足-0.01≤LΔφ4≤0.01(L表示導(dǎo)軌長(zhǎng)度).

幾何誤差源ΔzC4、θC4z分別表示轉(zhuǎn)動(dòng)支架遠(yuǎn)架軸與近架軸的共面誤差、垂直度誤差.由圖 4可知，由于遠(yuǎn)架軸與近架軸之間存在位置度公差t0，導(dǎo)致實(shí)際軸線偏離其理論位置，即產(chǎn)生幾何誤差源ΔzC4、θC4z.

圖4 二維裝配簡(jiǎn)圖及零件示意Fig.4 Simplified 2D drawings of parts and assemblies

幾何誤差源θB4y、θB4z表示轉(zhuǎn)動(dòng)支架近架軸線相對(duì)固定坐標(biāo)系的姿態(tài)誤差，兩者未涉及 RP軸的裝配，僅與轉(zhuǎn)動(dòng)支架裝配體相關(guān)(見(jiàn)圖 4).該裝配體由固定機(jī)架、安裝座和轉(zhuǎn)動(dòng)支架 3部分組成，存在兩種配合關(guān)系，即平面配合和軸承配合.由于軸承的結(jié)構(gòu)復(fù)雜，公差建模難度較大，故將轉(zhuǎn)動(dòng)支架與軸承看作整體，軸承連接簡(jiǎn)化為軸孔配合，裝配中要求軸承一端與安裝孔的圓平面 3完全貼合.注意到，在該裝配條件下，軸孔裝配間隙不影響軸線方向而僅影響軸線的位置，因此，軸孔的裝配間隙在后續(xù)近架軸的姿態(tài)誤差分析中無(wú)需考慮.對(duì)于同一幾何要素，應(yīng)滿足定位公差大于定向公差，定向公差大于形狀公差[2].形狀公差數(shù)值較小，故在此不做考慮.因而，該裝配體涉及的公差主要包括尺寸公差t1、平行度公差t2、定位尺寸公差t3和t4、垂直度公差t5以及同軸度公差t6.由運(yùn)動(dòng)學(xué)分析可知[18]，機(jī)器人末端姿態(tài)變化與誤差傳遞路徑中的平移矢量無(wú)關(guān)，而僅與旋轉(zhuǎn)矢量相關(guān)，因此，在姿態(tài)誤差θB4y、θB4z中僅考慮各幾何要素的旋轉(zhuǎn)矢量ρ=[αβγ]T，并將其轉(zhuǎn)換成3× 3旋轉(zhuǎn)變換矩陣形式，即

下文將針對(duì)上述定義公差依次進(jìn)行公差建模.

2.2 公差建模

2.2.1 位置度公差建模

位置度公差建模即求解實(shí)際轉(zhuǎn)動(dòng)支架遠(yuǎn)架軸相對(duì)于名義轉(zhuǎn)動(dòng)支架遠(yuǎn)架軸的小位移旋量T0.在理想情況下，建立坐標(biāo)系O0x0y0z0：O0為遠(yuǎn)架軸線與近架軸線的交點(diǎn)，x0與轉(zhuǎn)動(dòng)支架近架軸線重合，y0與轉(zhuǎn)動(dòng)支架遠(yuǎn)架軸線重合(見(jiàn)圖5) .空間直線在任意方向上的位置度公差帶是直徑為公差值φt0且軸線在理想位置上的圓柱面內(nèi)的空間區(qū)域.因沿y0軸的平動(dòng)和繞y0軸的轉(zhuǎn)動(dòng)不會(huì)改變軸線空間方位特征，故對(duì)應(yīng)的旋量元素v0、β0均為0.u0、w0的變動(dòng)被限定在圓柱之內(nèi)，其極限值由圓柱半徑確定：-t0/2≤u0、w0≤t0/2.α0、γ0在極小時(shí)，應(yīng)滿足-t0≤L0α0≤t0及-t0≤L0γ0≤t0(L0為轉(zhuǎn)動(dòng)支架遠(yuǎn)架軸的長(zhǎng)度).將各旋量參數(shù)以區(qū)間數(shù)形式表示[17]，可得到轉(zhuǎn)動(dòng)支架遠(yuǎn)架軸的小位移旋量為

圖5 位置度公差t0的公差域Fig.5 Tolerance region of positional tolerance t0

2.2.2 平行度公差建模

平行度公差建模即求解實(shí)際裝配平面 1相對(duì)于名義裝配平面 1的旋轉(zhuǎn)變換矩陣RO1.在理想情況下，建立坐標(biāo)系O1x1y1z1：O1為裝配平面 1的中點(diǎn)，x1軸垂直于基準(zhǔn)面ΠX，y1軸為名義裝配平面1的法矢方向(見(jiàn)圖4(a)).裝配平面1同時(shí)存在尺寸公差t1和平行度公差t2，二者的公差帶都是距離為公差值，且平行于基準(zhǔn)平面A(即為基準(zhǔn)面YΠ)的兩平行平面之間的空間區(qū)域，如圖 6所示.對(duì)于同一被測(cè)要素，由于尺寸公差大于平行度公差[2]，因此裝配平面 1的旋轉(zhuǎn)矢量由平行度公差確定，與尺寸公差t1無(wú)關(guān).因繞y1軸的轉(zhuǎn)動(dòng)不會(huì)改變?cè)撈矫娴目臻g方位特征，故對(duì)應(yīng)的旋量元素β1為0.旋轉(zhuǎn)角度α1、γ1在極小時(shí)滿足約束條件：-t2≤L1α1≤t2及-t2≤L2γ1≤t2(L1、L2均為裝配平面1的邊長(zhǎng))，因此，旋轉(zhuǎn)變換矩陣RO1為

圖6 平面1的公差域Fig.6 Tolerance region of plane 1

2.2.3 定位尺寸公差建模

定位尺寸公差建模即求解實(shí)際裝配軸 1相對(duì)于名義裝配軸 1的旋轉(zhuǎn)變換矩陣RO3.在理想情況下，建立坐標(biāo)系O3x3y3z3：O3為裝配軸 1的中點(diǎn)，x3軸與名義裝配軸 1的軸線重合，y3軸垂直于基準(zhǔn)平面A(見(jiàn)圖 4(b)) .裝配軸 1存在定位尺寸公差t3和t4，二者的公差域均為關(guān)于理想位置對(duì)稱，距離為公差值的兩平面之間的空間區(qū)域，且兩平面帶相互垂直.t3對(duì)應(yīng)的平面公差帶垂直于y3軸，t4對(duì)應(yīng)的平面公差帶垂直于z3軸，裝配軸 1的變動(dòng)由兩公差域共同限制.因繞x3軸的轉(zhuǎn)動(dòng)不改變裝配軸 1的空間方位特征，故對(duì)應(yīng)旋量元素3α為0；旋轉(zhuǎn)角3γ與3β在極小時(shí)應(yīng)該滿足約束-t3≤L3γ3≤t3及-t4≤L3β3≤t4(L3為裝配軸1的長(zhǎng)度)，因此，旋轉(zhuǎn)變換矩陣RO3為

2.2.4 垂直度公差建模

垂直度公差建模即求解裝配軸 2實(shí)際安裝位置相對(duì)于名義安裝位置的旋轉(zhuǎn)變換矩陣RO4.在理想情況下，建立坐標(biāo)系O4x4y4z4：O4為裝配軸 2的中點(diǎn)，y4垂直于基準(zhǔn)平面 A，x4軸與名義安裝位置的裝配軸2軸線重合(見(jiàn)圖4(c)) .安裝座圓平面3存在垂直度公差t5，而裝配時(shí)需要保證裝配軸2一端與圓平面貼合，故裝配軸2實(shí)際安裝位置與名義安裝位置發(fā)生偏差.t5的公差帶是距離為公差值，且垂直于裝配軸 1的兩平行平面之間的空間區(qū)域.繞x4軸轉(zhuǎn)動(dòng)不改變裝配軸2的空間方位特征，故對(duì)應(yīng)旋量元素4α為0；旋轉(zhuǎn)角4γ與4β在極小時(shí)應(yīng)該滿足約束-t5≤Dγ4≤t5及-t5≤Dβ4≤t5(D為圓平面 3的直徑)，因此，旋轉(zhuǎn)變換矩陣RO4為

2.2.5 同軸度公差建模

同軸度公差建模即求解實(shí)際擬合而成的轉(zhuǎn)動(dòng)支架近架軸相對(duì)于名義轉(zhuǎn)動(dòng)支架近架軸的旋轉(zhuǎn)變換矩陣RO′.在理想情況下，建立轉(zhuǎn)動(dòng)支架近架軸坐標(biāo)系O′ x ′y ′z′：O′為轉(zhuǎn)動(dòng)支架近架軸的中點(diǎn)，y′垂直于基準(zhǔn)平面 A，x′軸與名義轉(zhuǎn)動(dòng)支架近架軸軸線重合(見(jiàn)圖 4(c)).轉(zhuǎn)動(dòng)支架近架軸線由轉(zhuǎn)動(dòng)支架兩端的基準(zhǔn)軸D與基準(zhǔn)軸C擬合而成，由于存在同軸度公差t6，實(shí)際擬合而成的近架軸線會(huì)偏離名義軸線.由同軸度定義可知，近架軸軸線的變動(dòng)區(qū)域?yàn)棣誸6×L4的圓柱(L4為轉(zhuǎn)動(dòng)支架近架軸的長(zhǎng)度).因繞x′軸的轉(zhuǎn)動(dòng)不改變近架軸的空間方位特征，故對(duì)應(yīng)旋量元素α5為0；旋轉(zhuǎn)角γ5與β5在極小時(shí)應(yīng)該滿足約束-t6≤L4γ5≤t6及-t6≤L4β5≤t6，因此，旋轉(zhuǎn)變換矩陣 RO′為

2.3 公差累積分析

ΔzC4、θC4z表示轉(zhuǎn)動(dòng)支架近架軸和遠(yuǎn)架軸之間的誤差，為零件制造誤差.由圖 5可知，遠(yuǎn)架軸沿z0軸方向的移動(dòng)w0是導(dǎo)致兩軸存在共面誤差的原因，遠(yuǎn)架軸繞著z0軸的轉(zhuǎn)角0γ是導(dǎo)致兩軸存在垂直誤差的原因，因此

建立全局坐標(biāo)系Oxyz：O為基準(zhǔn)平面 A上任意一點(diǎn)，坐標(biāo)軸方向與機(jī)架固定參考系B4xyz相同(見(jiàn)圖 4(d)).轉(zhuǎn)動(dòng)支架近架軸相對(duì)全局坐標(biāo)系的姿態(tài)誤差即為θB4y、θB4z.在裝配鏈中，最終的裝配誤差由各零件誤差逐漸累積而成，如圖 7所示，轉(zhuǎn)動(dòng)支架裝配體的誤差經(jīng)裝配平面 1、裝配平面 2、裝配軸 1、裝配軸2傳遞至近架軸線.

圖7 誤差累積路徑Fig.7 Path of error accumulation

根據(jù)裝配路徑求解轉(zhuǎn)動(dòng)支架近架軸相對(duì)全局坐標(biāo)系的姿態(tài)誤差：

對(duì)式(23)進(jìn)行簡(jiǎn)化得

將式(17)～(20)代入式(25)，忽略高階項(xiàng)化簡(jiǎn)得

即

至此，已建立該并聯(lián)機(jī)構(gòu)不可補(bǔ)償誤差源與零件公差之間的聯(lián)系.結(jié)合誤差模型，即可得到零件公差與末端位姿誤差之間的映射關(guān)系.

3 精度綜合

精度綜合的任務(wù)是根據(jù)預(yù)先設(shè)定的末端位姿精度要求，反求分配到各零件的制造公差.在上述所建立模型的基礎(chǔ)上，以并聯(lián)機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象，以制造成本最小為優(yōu)化目標(biāo)建立數(shù)學(xué)模型，求解各關(guān)鍵零件的公差.

3.1 精度預(yù)估

精度預(yù)估是精度綜合的前提和基礎(chǔ).精度預(yù)估的目的是尋找?guī)缀握`差源對(duì)末端位姿精度影響最大的機(jī)構(gòu)位形，以便減小精度綜合的計(jì)算量，同時(shí)保證精度綜合結(jié)果的適用性.為提高精度預(yù)估的準(zhǔn)確性，本文采用蒙特卡洛法[15]，在假設(shè)幾何誤差源滿足零均值正態(tài)分布[2]的前提下，研究不可補(bǔ)償幾何誤差源對(duì)末端位姿精度的影響.

首先，以A/C轉(zhuǎn)頭兩軸線交點(diǎn)P為參考點(diǎn)，定義機(jī)器人的任務(wù)空間為φ1200 mm×250 mm 的圓柱體(見(jiàn)圖2).在坐標(biāo)系B4xyz下，將并聯(lián)機(jī)構(gòu)在某一位形下末端運(yùn)動(dòng)的體積誤差ΔV定義為參考點(diǎn) P位置誤差的模，即

式中：l為從點(diǎn)A4指向點(diǎn)P的位置矢量；l×表示反對(duì)稱矩陣.由式(29)可知，ΔV既與幾何誤差源相關(guān)，也與點(diǎn)P的位置矢量相關(guān).當(dāng)幾何誤差源遵循零均值正態(tài)分布時(shí)，ΔV也遵循正態(tài)分布，均值近似為0[2].在正態(tài)分布中，ΔV的標(biāo)準(zhǔn)差反映了體積誤差ΔV 分布的區(qū)間范圍，標(biāo)準(zhǔn)差越大，ΔV越大.因此，通過(guò)研究機(jī)構(gòu)在任務(wù)空間中各位姿下體積誤差的標(biāo)準(zhǔn)差，即可得到體積誤差的分布規(guī)律.故定義體積誤差的標(biāo)準(zhǔn)差σ(ΔV)作為并聯(lián)機(jī)構(gòu)位姿誤差的評(píng)價(jià)指標(biāo)，即

式中：N為蒙特卡洛法的模擬次數(shù)；ΔVi為第i次模擬得到的體積誤差；μ為 N次模擬后體積誤差ΔV的均值.

精度預(yù)估的具體計(jì)算步驟如下：①將任務(wù)空間上、下兩個(gè)平面均勻網(wǎng)格化，節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為m＝279個(gè)；②假設(shè)每項(xiàng)不可補(bǔ)償幾何誤差源遵循標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即εci～N(0,1)(εci表示不可補(bǔ)償幾何誤差源的第 i項(xiàng))，根據(jù)分布概率產(chǎn)生各項(xiàng)不可補(bǔ)償幾何誤差源的隨機(jī)數(shù)組合；③將得到的不可補(bǔ)償幾何誤差源隨機(jī)數(shù)組合代入式(29)，計(jì)算各節(jié)點(diǎn)的體積誤差ΔV；④對(duì)步驟2和步驟3做N次重復(fù)模擬，得到μ值；⑤將步驟 4的計(jì)算結(jié)果代入式(30)得到任務(wù)空間中各離散節(jié)點(diǎn)處的σ(ΔV)值.

給定N=104，計(jì)算結(jié)果如圖 8所示.由圖可知，σ(ΔV)在任務(wù)空間上、下平面的分布規(guī)律相似，且最大值均出現(xiàn)平面邊緣，但σ(ΔV)在下平面邊緣各節(jié)點(diǎn)的數(shù)值大于其在上平面邊緣各節(jié)點(diǎn)的數(shù)值.因此，不可補(bǔ)償幾何誤差源對(duì)末端位姿誤差影響最大的區(qū)域即為任務(wù)空間下平面的邊緣.故后續(xù)精度綜合研究中僅考慮機(jī)構(gòu)在任務(wù)空間下平面邊緣的位形.

圖8 σ(ΔV)的分布規(guī)律Fig.8 Distribution of σ(ΔV)

3.2 約束條件

對(duì)式(29)的兩端求標(biāo)準(zhǔn)差，即

式中：Jmi表示矩陣J中第m行第i列的元素；εci為不可補(bǔ)償幾何誤差源的第i項(xiàng)元素；ωi為幾何誤差源的靈敏度，它表征了由不可補(bǔ)償幾何誤差源εci的單位標(biāo)準(zhǔn)差引起的機(jī)構(gòu)末端體積誤差ΔV的標(biāo)準(zhǔn)差.

在零均值正態(tài)分布中，取值在[-3σ,3σ]的概率為99.73%，即在置信度為99.73%下可認(rèn)為所有的取值都在該區(qū)間內(nèi)，即

式中T(·)表示取區(qū)間上限.將式(33)代入式(31)得

由于期望混聯(lián)機(jī)器人在工作中達(dá)到中檔數(shù)控機(jī)床的精度水平，故選定設(shè)計(jì)指標(biāo)——體積誤差V*Δ為0.05mm.因此，對(duì)于任務(wù)空間下平面邊緣任意位形，末端精度必須滿足約束條件

注意到，在公差建模中不可補(bǔ)償幾何誤差源與公差t1無(wú)關(guān)，因此不將其作為優(yōu)化對(duì)象.故本文設(shè)計(jì)變量為ti(i=0,2,3,4,5,6).各公差的允許變動(dòng)范圍按照國(guó)標(biāo)限定在4～9級(jí)精度之間[2].

3.3 目標(biāo)函數(shù)

本文以制造成本最小為優(yōu)化目標(biāo)：

式中ti為零件制造公差.

目前國(guó)內(nèi)外學(xué)者就公差成本和公差之間的關(guān)系開展了大量的實(shí)驗(yàn)研究[20]，匯總?cè)缦?

(1) 定位尺寸公差成本函數(shù)(i=3,4)

(2) 同軸度公差成本函數(shù)(i=6)

(3) 軸(孔)的位置度公差成本函數(shù)(i=0)

(4) 對(duì)于定向公差，文獻(xiàn)[21]中擬合出了平行度公差和垂直度公差的成本函數(shù)如下.

平行度公差成本函數(shù)(i=2)

垂直度公差成本函數(shù)(i=5)

綜上，根據(jù)建立的目標(biāo)函數(shù)和約束條件，利用MATLAB對(duì)公差進(jìn)行優(yōu)化，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1.

表1 公差優(yōu)化結(jié)果Tab.1 Results of the tolerance optimization

由表 1可知，垂直度公差t5和同軸度公差t6的數(shù)值相對(duì)較小，在制造過(guò)程中應(yīng)予以嚴(yán)格控制；位置度公差t0和定位尺寸公差t4的數(shù)值相對(duì)較大，可以適當(dāng)放寬制造要求.

4 結(jié) 論

(1) 基于矢量法和小攝動(dòng)原理建立了機(jī)構(gòu)的誤差模型，并利用驅(qū)動(dòng)/約束雅可比矩陣實(shí)現(xiàn)了不可/可補(bǔ)償幾何誤差源的有效分離.

(2) 利用小位移旋量將公差表征為幾何要素的6項(xiàng)自由度，建立了公差與幾何誤差源之間的聯(lián)系，進(jìn)而得到零件制造公差與末端位姿誤差之間的映射關(guān)系.

(3) 利用蒙特卡洛法實(shí)現(xiàn)精度預(yù)估，得到幾何誤差源對(duì)末端位姿精度影響最大的機(jī)構(gòu)位形，能夠有效減小精度綜合的計(jì)算量，并以制造成本最小化為目標(biāo)，實(shí)現(xiàn)了關(guān)鍵零件的公差分配，為零件的設(shè)計(jì)制造提供指導(dǎo).