馬立憲, 李燕茹, 陳 帥, 樊振宏
(1. 淮南師范學(xué)院 電子工程學(xué)院,安徽 淮南 232038;2. 南京理工大學(xué) 電磁仿真與射頻感知工信部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 江蘇 南京 210094)
近年來,復(fù)雜色散周期結(jié)構(gòu)的應(yīng)用獲得較高的關(guān)注,例如應(yīng)用在頻率選擇表面[1]、光子晶體[2]、太陽能電池上[3]。時(shí)域有限差分(finite-difference time-domain, FDTD)方法作為一種非常有效的電磁計(jì)算數(shù)值方法,已被廣泛應(yīng)用于求解這些色散周期結(jié)構(gòu)的電磁波傳播問題[4]。對(duì)于常見的色散媒質(zhì),根據(jù)色散媒質(zhì)隨頻率變化的關(guān)系,在FDTD計(jì)算時(shí),可等效為Debye、Drude、Lorentz及其混合色散模型[5]。國內(nèi)外多位學(xué)者針對(duì)這些色散模型的FDTD算法進(jìn)行了研究,先后提出了半解析遞歸卷積(PLRC)、輔助微分方程(ADE)、Z變換法等[6-8]。
采用上述算法在建模復(fù)雜色散媒質(zhì)時(shí)需要高階形式,這會(huì)導(dǎo)致FDTD計(jì)算時(shí)花費(fèi)更大的內(nèi)存空間和計(jì)算時(shí)間[9]。在處理多層色散媒質(zhì)時(shí),每種色散媒質(zhì)得到的時(shí)域遞推計(jì)算公式也不同,這給實(shí)際應(yīng)用帶來很大不便。本文提出將色散媒質(zhì)模型的介電常數(shù)采用共軛復(fù)數(shù)對(duì)擬合的方式[10],結(jié)合輔助微分方程法,給出了采用輔助微分方程法求解多層任意色散媒質(zhì)的通用遞推公式。對(duì)多層任意色散模型具有完全相同的形式,使用時(shí)只需給出介質(zhì)模型的參數(shù),不需再做任何附加推導(dǎo),非常方便和靈活。根據(jù)Floquet定理[11],文中分別求解了無限大周期結(jié)構(gòu)Debye、Drude與太陽能電池模型的電磁波傳播問題,數(shù)值計(jì)算結(jié)果與CST商用軟件吻合,驗(yàn)證了本方法計(jì)算的有效性和普適性。
將色散媒質(zhì)的介電參數(shù)ε采用共軛復(fù)數(shù)對(duì)的形式表示成任意色散模型的介電參數(shù)[10],即:
(1)
(2)
(3)
(4)
Δ×H(ω)=jωε0ε∞E(ω)+σE(ω)+
(5)
將(2)式利用傅里葉逆變換寫成時(shí)域形式為
(6)
對(duì)(6)式再取中心差分近似以及平均值近似,得:
(7)
最終化簡得Jp的計(jì)算表達(dá)式為
(8)
(9)
將(5)式轉(zhuǎn)換為時(shí)域形式,得:
(10)
取中心差分近似及平均值近似得:
(11)
將(8)式代入(11)式,得到任意色散媒質(zhì)模型的電場(chǎng)迭代公式:
(12)
文中任意色散模型中的磁場(chǎng)的迭代公式保持不變[5]。
如圖1所示,周期結(jié)構(gòu)的Debye色散模型厚度h=10 cm,以頻率范圍為30 MHz~120 MHz的電磁波垂直入射。該模型靜態(tài)相對(duì)介電常數(shù)為εs=8.97,相對(duì)介電常數(shù)為ε∞=2.31,馳豫時(shí)間τ0=6.497×10-10s。利用上述Debye模型a1與c1計(jì)算表達(dá)式,可得到該模型介電常數(shù)的擬合公式,從而利用輔助微分方程法寫出電磁場(chǎng)計(jì)算公式。在此取Yee網(wǎng)格在垂直方向的剖分尺寸為2 mm,在垂直入射時(shí)Debye模型的反射系數(shù)與透射系數(shù)的頻帶響應(yīng)曲線如圖2所示。從圖2可以看出,計(jì)算結(jié)果與CST軟件仿真很好地吻合。
圖1 色散介質(zhì)模型示意圖Fig.1 Schematic diagram of dispersive medium model
圖2 Debye周期模型反射系數(shù)與透射系數(shù)Fig.2 Transmission coefficient of Debye periodic model
圖1所示的Drude銀板厚度h=20 nm,以頻率250 THz~750 THz的電磁波垂直入射[14]。該色散模型相對(duì)介電常數(shù)為ε∞=1,碰撞頻率vc=1.131×1014Hz,等離子體諧振頻率ωp=1.332×1016rad/s,通過參數(shù)擬合程序擬合出計(jì)算所需復(fù)共軛級(jí)數(shù)對(duì),如表1所示。
表1 Drude模型參數(shù)擬合表(ε∞=1)
Table 1 Parameter fitting table of Drude model
參數(shù)參數(shù)經(jīng)擬合后參數(shù)值(a1,c1)((-2.791 485 93e+8, 0.), (0.784 360 79e+18, 0.))(a2,c2)((-1.131 002 81e+14, 0.), (-0.784 360 8e+18, 0.))(a3,c3)((-3.665 518 80e+14,2.141 519 87e+15),(1.320 228 87e+9,1.827 381 20e+9))
在本例中取Yee網(wǎng)格在垂直方向的剖分尺寸為0.5 nm,圖3顯示的結(jié)果是在垂直入射時(shí)Drude銀板反射系數(shù)與透射系數(shù)的頻帶響應(yīng)曲線。圖3計(jì)算結(jié)果與CST商業(yè)軟件較好地吻合,說明本文中的復(fù)共軛級(jí)數(shù)對(duì)參數(shù)擬合結(jié)合輔助微分方程FDTD方法能準(zhǔn)確求解Drude色散媒質(zhì)的電磁場(chǎng)傳播問題。
圖3 Drude周期模型反射系數(shù)和透射系數(shù)Fig.3 Reflection coefficient and transmission coefficient of Drude periodic model
太陽能電池周期結(jié)構(gòu)單元尺寸如圖4所示。x和y方向?yàn)橹芷谶吔?,此算例中的太陽能活性層為P3HT和PCBM的聚合物,在其內(nèi)部放置沿x軸均勻分布的正方體銀離子,上部隔離層材料為PEDOT[15]?;钚詫?、隔離層以及銀離子的相對(duì)介電常數(shù)在可見光頻段內(nèi)(400 nm~800 nm)為色散媒質(zhì),并均可通過參數(shù)擬合方法擬合出相應(yīng)的ap與cp。
圖4 太陽能電池單元示意圖Fig.4 Schematic diagram of solar cell unit
在本例中,采用中心頻率為562.5 THz的高斯平面波沿z軸方向負(fù)方向垂直入射,其電場(chǎng)極化方向?yàn)閤軸正方向。采用輔助微分方程FDTD方法計(jì)算時(shí),Yee網(wǎng)格在3個(gè)方向的剖分尺寸均為0.5 nm,計(jì)算得到的反射系數(shù)與透射系數(shù)頻帶響應(yīng)曲線如圖5所示。最后,我們把本例中3種材料的介電常數(shù)隨頻率變化的離散數(shù)值導(dǎo)入到CST商業(yè)軟件中,通過CST軟件自身擬合參數(shù)的功能實(shí)現(xiàn)如圖5所示的反射系數(shù)與透射系數(shù)頻帶響應(yīng)曲線仿真。通過對(duì)比發(fā)現(xiàn),采用本文提出的方法得到的頻帶相應(yīng)曲線與CST商用軟件仿真得到的曲線十分吻合,進(jìn)一步說明了本方法能較準(zhǔn)確求解多層任意色散媒質(zhì)的電磁波或光波傳播問題。通過相關(guān)計(jì)算,繼而可計(jì)算得到該太陽能電池模型的吸收系數(shù),如圖6所示。
圖5 太陽能電池單元反射系數(shù)和透射系數(shù)Fig.5 Reflection coefficient and transmission coefficient of solar cell unit
圖6 太陽能電池單元吸收系數(shù)Fig.6 Absorption coefficient of solar cell unit
通過上述算例說明,復(fù)共軛級(jí)數(shù)對(duì)擬合與輔助微分方程FDTD方法結(jié)合能較準(zhǔn)確地分析任意色散媒質(zhì)的電磁波傳播特性。該方法針對(duì)多層任意色散媒質(zhì)情況只需知道介電常數(shù)隨頻率變化的關(guān)系即可采用統(tǒng)一的迭代更新形式,保持了原有ADE-FDTD方法推導(dǎo)簡單的優(yōu)點(diǎn),通用性強(qiáng),為進(jìn)一步求解太陽能電池的轉(zhuǎn)換效率等提供了理論基礎(chǔ)??紤]到在實(shí)際情況中,太陽能電池斜入射較為普通,后續(xù)將結(jié)合分裂場(chǎng)FDTD方法研究太陽能電池周期單元的斜入射問題。