任意色散周期結(jié)構(gòu)的時(shí)域有限差分方法分析

馬立憲， 李燕茹， 陳 帥， 樊振宏

(1. 淮南師范學(xué)院 電子工程學(xué)院，安徽 淮南 232038；2. 南京理工大學(xué) 電磁仿真與射頻感知工信部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 江蘇 南京 210094)

引言

近年來，復(fù)雜色散周期結(jié)構(gòu)的應(yīng)用獲得較高的關(guān)注，例如應(yīng)用在頻率選擇表面[1]、光子晶體[2]、太陽能電池上[3]。時(shí)域有限差分(finite-difference time-domain, FDTD)方法作為一種非常有效的電磁計(jì)算數(shù)值方法，已被廣泛應(yīng)用于求解這些色散周期結(jié)構(gòu)的電磁波傳播問題[4]。對(duì)于常見的色散媒質(zhì)，根據(jù)色散媒質(zhì)隨頻率變化的關(guān)系，在FDTD計(jì)算時(shí)，可等效為Debye、Drude、Lorentz及其混合色散模型[5]。國內(nèi)外多位學(xué)者針對(duì)這些色散模型的FDTD算法進(jìn)行了研究，先后提出了半解析遞歸卷積(PLRC)、輔助微分方程(ADE)、Z變換法等[6-8]。

采用上述算法在建模復(fù)雜色散媒質(zhì)時(shí)需要高階形式，這會(huì)導(dǎo)致FDTD計(jì)算時(shí)花費(fèi)更大的內(nèi)存空間和計(jì)算時(shí)間[9]。在處理多層色散媒質(zhì)時(shí)，每種色散媒質(zhì)得到的時(shí)域遞推計(jì)算公式也不同，這給實(shí)際應(yīng)用帶來很大不便。本文提出將色散媒質(zhì)模型的介電常數(shù)采用共軛復(fù)數(shù)對(duì)擬合的方式[10]，結(jié)合輔助微分方程法，給出了采用輔助微分方程法求解多層任意色散媒質(zhì)的通用遞推公式。對(duì)多層任意色散模型具有完全相同的形式，使用時(shí)只需給出介質(zhì)模型的參數(shù)，不需再做任何附加推導(dǎo)，非常方便和靈活。根據(jù)Floquet定理[11]，文中分別求解了無限大周期結(jié)構(gòu)Debye、Drude與太陽能電池模型的電磁波傳播問題，數(shù)值計(jì)算結(jié)果與CST商用軟件吻合，驗(yàn)證了本方法計(jì)算的有效性和普適性。

1 理論和數(shù)值推導(dǎo)

將色散媒質(zhì)的介電參數(shù)ε采用共軛復(fù)數(shù)對(duì)的形式表示成任意色散模型的介電參數(shù)[10]，即：

(1)

(2)

(3)

(4)

Δ×H(ω)=jωε0ε∞E(ω)+σE(ω)+

(5)

將(2)式利用傅里葉逆變換寫成時(shí)域形式為

(6)

對(duì)(6)式再取中心差分近似以及平均值近似，得：

(7)

最終化簡得Jp的計(jì)算表達(dá)式為

(8)

(9)

將(5)式轉(zhuǎn)換為時(shí)域形式，得：

(10)

取中心差分近似及平均值近似得：

(11)

將(8)式代入(11)式，得到任意色散媒質(zhì)模型的電場(chǎng)迭代公式：

(12)

文中任意色散模型中的磁場(chǎng)的迭代公式保持不變[5]。

2 數(shù)值算例驗(yàn)證

2.1 Debye色散模型

如圖1所示，周期結(jié)構(gòu)的Debye色散模型厚度h=10 cm，以頻率范圍為30 MHz～120 MHz的電磁波垂直入射。該模型靜態(tài)相對(duì)介電常數(shù)為εs=8.97，相對(duì)介電常數(shù)為ε∞=2.31，馳豫時(shí)間τ0=6.497×10-10s。利用上述Debye模型a1與c1計(jì)算表達(dá)式，可得到該模型介電常數(shù)的擬合公式，從而利用輔助微分方程法寫出電磁場(chǎng)計(jì)算公式。在此取Yee網(wǎng)格在垂直方向的剖分尺寸為2 mm，在垂直入射時(shí)Debye模型的反射系數(shù)與透射系數(shù)的頻帶響應(yīng)曲線如圖2所示。從圖2可以看出，計(jì)算結(jié)果與CST軟件仿真很好地吻合。

圖1 色散介質(zhì)模型示意圖Fig.1 Schematic diagram of dispersive medium model

圖2 Debye周期模型反射系數(shù)與透射系數(shù)Fig.2 Transmission coefficient of Debye periodic model

2.2 Drude色散模型

圖1所示的Drude銀板厚度h=20 nm，以頻率250 THz～750 THz的電磁波垂直入射[14]。該色散模型相對(duì)介電常數(shù)為ε∞=1，碰撞頻率vc=1.131×1014Hz，等離子體諧振頻率ωp=1.332×1016rad/s，通過參數(shù)擬合程序擬合出計(jì)算所需復(fù)共軛級(jí)數(shù)對(duì)，如表1所示。

表1 Drude模型參數(shù)擬合表(ε∞=1)

Table 1 Parameter fitting table of Drude model

參數(shù)參數(shù)經(jīng)擬合后參數(shù)值(a1,c1)((-2.791 485 93e+8, 0.), (0.784 360 79e+18, 0.))(a2,c2)((-1.131 002 81e+14, 0.), (-0.784 360 8e+18, 0.))(a3,c3)((-3.665 518 80e+14,2.141 519 87e+15),(1.320 228 87e+9,1.827 381 20e+9))

在本例中取Yee網(wǎng)格在垂直方向的剖分尺寸為0.5 nm，圖3顯示的結(jié)果是在垂直入射時(shí)Drude銀板反射系數(shù)與透射系數(shù)的頻帶響應(yīng)曲線。圖3計(jì)算結(jié)果與CST商業(yè)軟件較好地吻合，說明本文中的復(fù)共軛級(jí)數(shù)對(duì)參數(shù)擬合結(jié)合輔助微分方程FDTD方法能準(zhǔn)確求解Drude色散媒質(zhì)的電磁場(chǎng)傳播問題。

圖3 Drude周期模型反射系數(shù)和透射系數(shù)Fig.3 Reflection coefficient and transmission coefficient of Drude periodic model

2.3 太陽能電池周期單元

太陽能電池周期結(jié)構(gòu)單元尺寸如圖4所示。x和y方向?yàn)橹芷谶吔?，此算例中的太陽能活性層為P3HT和PCBM的聚合物，在其內(nèi)部放置沿x軸均勻分布的正方體銀離子，上部隔離層材料為PEDOT[15]?；钚詫?、隔離層以及銀離子的相對(duì)介電常數(shù)在可見光頻段內(nèi)(400 nm～800 nm)為色散媒質(zhì)，并均可通過參數(shù)擬合方法擬合出相應(yīng)的ap與cp。

圖4 太陽能電池單元示意圖Fig.4 Schematic diagram of solar cell unit

在本例中，采用中心頻率為562.5 THz的高斯平面波沿z軸方向負(fù)方向垂直入射，其電場(chǎng)極化方向?yàn)閤軸正方向。采用輔助微分方程FDTD方法計(jì)算時(shí)，Yee網(wǎng)格在3個(gè)方向的剖分尺寸均為0.5 nm，計(jì)算得到的反射系數(shù)與透射系數(shù)頻帶響應(yīng)曲線如圖5所示。最后，我們把本例中3種材料的介電常數(shù)隨頻率變化的離散數(shù)值導(dǎo)入到CST商業(yè)軟件中，通過CST軟件自身擬合參數(shù)的功能實(shí)現(xiàn)如圖5所示的反射系數(shù)與透射系數(shù)頻帶響應(yīng)曲線仿真。通過對(duì)比發(fā)現(xiàn)，采用本文提出的方法得到的頻帶相應(yīng)曲線與CST商用軟件仿真得到的曲線十分吻合，進(jìn)一步說明了本方法能較準(zhǔn)確求解多層任意色散媒質(zhì)的電磁波或光波傳播問題。通過相關(guān)計(jì)算，繼而可計(jì)算得到該太陽能電池模型的吸收系數(shù)，如圖6所示。

圖5 太陽能電池單元反射系數(shù)和透射系數(shù)Fig.5 Reflection coefficient and transmission coefficient of solar cell unit

圖6 太陽能電池單元吸收系數(shù)Fig.6 Absorption coefficient of solar cell unit

3 結(jié)論

通過上述算例說明,復(fù)共軛級(jí)數(shù)對(duì)擬合與輔助微分方程FDTD方法結(jié)合能較準(zhǔn)確地分析任意色散媒質(zhì)的電磁波傳播特性。該方法針對(duì)多層任意色散媒質(zhì)情況只需知道介電常數(shù)隨頻率變化的關(guān)系即可采用統(tǒng)一的迭代更新形式，保持了原有ADE-FDTD方法推導(dǎo)簡單的優(yōu)點(diǎn)，通用性強(qiáng)，為進(jìn)一步求解太陽能電池的轉(zhuǎn)換效率等提供了理論基礎(chǔ)?？紤]到在實(shí)際情況中，太陽能電池斜入射較為普通，后續(xù)將結(jié)合分裂場(chǎng)FDTD方法研究太陽能電池周期單元的斜入射問題。