中線定理及重心性質(zhì)的統(tǒng)一形式

滕 旭

(云南大學(xué) 旅游文化學(xué)院,云南 麗江 674100)

1 三角形的中線定理及重心性質(zhì)

1.1 證明

為了研究中線定理的統(tǒng)一形式，本文采用統(tǒng)一的符號(hào)表示.

如圖1所示，設(shè)ΔA1A2A3邊AiAj中點(diǎn)記為Mij(1i,j3且i≠j)，三條中線交于一點(diǎn)稱為三角形的重心記為G，則有如下關(guān)系：

圖1 三角形的中線定理與重心

證明：用向量法證明中線定理及重心性質(zhì)[1].

證明重心性質(zhì)如下：

設(shè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A1(x1,y1)，A2(x2,y2)，A3(x3,y3)

同理：G∈A2M13，G∈A3M12，因此三角形三條中線交于一點(diǎn)G且G分每條中線為2∶1的兩部分.

證明中線定理如下：

(1)

(2)

得到中線性質(zhì)定理初始形式，再根據(jù)定理注解，問題得證.

1.2 應(yīng)用

等邊三角形的中線即為高，利用中線定理可求邊長為a等邊三角形的高H如下：

等邊三角形的四心重合，根據(jù)三角形的重心性質(zhì)可求邊長為a等邊三角形外接圓半徑R及內(nèi)切圓半徑r如下：

2 四面體的中線定理及重心性質(zhì)

2.1 證明

如圖2所示，四面體A1A2A3A4的頂點(diǎn)A1所對(duì)的面A2A3A4內(nèi)的重心記作G1，其他四個(gè)面的重心分別記作G2，G3，G4，則稱A1G1,A2G2,A3G3,A4G4分別為四面體的四條中線. 四面體的四條中線交于一點(diǎn)稱四面體的重心記為G，則有如下關(guān)系：

圖2 四面體中線定理及重心性質(zhì)證明示意圖

證明：用向量法證明中線定理及重心性質(zhì)[2-3].

證明重心性質(zhì)如下：

設(shè)四面體的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A1(x1,y1,z1)，A2(x2,y2,z2)，A3(x3,y3,z3)，A4(x4,y4,z4)

令

則證明重心性質(zhì)如下：

同理：G∈A2G2，G∈A3G3，G∈A4G4因此四面體四條中線交于一點(diǎn)G且G分每條中線為3∶1的兩部分.

證明中線定理如下：

如圖1所示，

(3)

(4)

(5)

?3AlGl2=AlAi2+AlAj2+AlAk2-(GlAi2+GlAj2+GlAk2)

得到中線定理的初始形式.

再由三角形的中線定理及重心性質(zhì)，

GlAi2+GlAj2+GlAk2=

2.2 應(yīng)用

正四面體的重心，外心，內(nèi)心重合，根據(jù)四面體的重心性質(zhì)可求棱長為a正四面體的外接球R及內(nèi)切球半徑r如下：

3 中線定理及重心的統(tǒng)一形式

取n維空間上的n+1個(gè)點(diǎn)Ai(1in+1)構(gòu)成n+1面體[6-7].

證明重心性質(zhì)如下：

同理：G∈A2G2，G∈A3G3，…，G∈An+1Gn+1因此n+1四面體n+1條中線交于一點(diǎn)G且G分每條中線為n∶1的兩部分.

顯然，三角形及四面體的重心性質(zhì)都可統(tǒng)一于上述形式，n=2時(shí)就為三角形的重心性質(zhì)，n=3時(shí)就為四面體的重心性質(zhì).

證明中線定理如下：

顯然，三角形及四面體的中線定理初始形式都可統(tǒng)一于上述形式，n=2時(shí)就為三角形的中線定理的初始形式，n=3時(shí)就為四面體的中線定理初始形式.

三角形及四面體的中線定理都可統(tǒng)一于n+1面體的中線定理

n=2時(shí)就為三角形的中線定理，n=3時(shí)就為四面體的中線定理.

下面證明若n維空間上的n+1面體的中線定理成立，則對(duì)n+1維空間上的n+2面體亦成立，從而可對(duì)任意的n∈N+均成立. 記：

M={m|1mn+2,m∈Z}，M-i-j={m|1mn+2且m≠i且m≠j,m∈Z}

4 總結(jié)

中線定理及重心性質(zhì)為三角形的基本性質(zhì)，向量作為幾何研究的手段具有很大的優(yōu)越性，本文利用向量的方法將三角形的中線定理及重心性質(zhì)推廣到四面體，并指出三角形及四面體具有的此種性質(zhì)實(shí)際上還可進(jìn)一步推廣至n維空間上的n+1面體中，從而給出一種統(tǒng)一形式，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美.