王成燁，劉 杰

(沈陽工業(yè)大學(xué) 機械工程學(xué)院，遼寧 沈陽 110870)

0 前言

齒輪傳動系統(tǒng)是機械系統(tǒng)當中最重要的傳動系統(tǒng)。其中點蝕是齒輪最為常見的失效形式。當齒輪齒面存在點蝕現(xiàn)象時，齒輪在傳動過程中的有效接觸面積減少，使得齒輪傳動系統(tǒng)承載能力降低，如果點蝕面積過大導(dǎo)致了齒輪輪齒剛度低于最低剛度要求，輪齒會出現(xiàn)斷裂，這將導(dǎo)致整個機器出現(xiàn)故障甚至報廢。所以對含點蝕故障齒輪傳動特性研究具有重要意義。齒輪在傳動時，由于嚙合過程中的摩擦?xí)a(chǎn)生一定熱量，這將導(dǎo)致齒輪出現(xiàn)一定程度的熱變形，使齒輪傳動出現(xiàn)誤差。所以，在分析點蝕對齒輪嚙合剛度的影響時考慮熱效應(yīng)會使分析結(jié)果更加精確。

目前，國內(nèi)外很多學(xué)者對齒輪點蝕故障以及齒輪熱效應(yīng)問題進行了研究。Wang[1]利用ANSYS軟件建立單對齒輪輪齒模型，分析了單對輪齒的嚙合剛度，為含點蝕缺陷齒輪嚙合特性的研究打下基礎(chǔ)。Chaari等[2]建立一對三維的齒輪嚙合模型，推導(dǎo)了時變齒輪嚙合剛度的解析表達式，提供了一種求解嚙合剛度值的方法。趙麗娟等[3]結(jié)合工程實際，以采煤機的搖臂傳動系統(tǒng)為例，運用有限元方法分析了不同程度齒面磨損的齒輪嚙合時的接觸應(yīng)力。劉杰等[4]將齒輪輪齒簡化成懸臂梁模型，計算包含太陽輪齒根發(fā)生裂紋故障時系統(tǒng)的時變嚙合剛度，對含故障齒輪嚙合剛度研究有重要意義，也使得點蝕故障齒輪嚙合特性的研究更近一步。C.K. Tan等[5]利用聲發(fā)射(AE)技術(shù)對直齒圓柱齒輪進行了點蝕失效的試驗研究，分析出齒輪齒面上的節(jié)線附近更易產(chǎn)生點蝕，這一結(jié)論為研究點蝕齒輪嚙合剛度中點蝕的位置這一問題的研究有很大意義。安春雷等[6]建立了含點蝕缺陷的齒輪模型，利用MATLAB比較了有點蝕與無點蝕剝落齒輪的扭轉(zhuǎn)嚙合剛度的變化情況。Yaguo Lei等[7]運用正態(tài)分布函數(shù)沿齒寬方向建立點蝕模型，分析了含點蝕故障齒輪的時變嚙合剛度。Xihui Liang等[8]計算出不同程度的點蝕齒輪對應(yīng)的齒輪嚙合剛度，并對比了齒輪在不同程度點蝕時齒輪嚙合剛度的變化趨勢。陳長征等[9]結(jié)合傳熱學(xué)、摩擦學(xué)等理論，求解出單個齒輪輪齒的穩(wěn)態(tài)溫度場，為齒輪熱效應(yīng)研究提供幫助。

目前很多學(xué)者對齒輪故障問題進行了研究，但是大多數(shù)學(xué)者在對齒輪嚙合特性以及齒輪故障問題研究時沒有考慮到齒輪溫度變化對其嚙合特性的影響。由于齒輪在嚙合過程中因摩擦而產(chǎn)生熱量，輪齒溫度因此升高，可能會對齒輪的嚙合特性產(chǎn)生影響。雖然一些學(xué)者對齒輪熱效應(yīng)進行了研究，但是只是局限于研究齒輪熱效應(yīng)問題，并未對含點蝕故障的齒輪進行研究。本文運用ANSYS模擬出帶有不同程度點蝕的齒輪溫度場，分析齒輪溫度分布規(guī)律以及不同程度點蝕對齒輪溫度場的影響。同時計算不同點蝕面積以及是否考慮受熱的嚙合剛度，通過對比分析出點蝕以及溫度場對齒輪嚙合剛度的影響規(guī)律。由于目前對點蝕的不同程度并沒有一個明確的界定，所以本文根據(jù)工程實際情況將點蝕分為輕度、中度和重度，并對這三種程度的點蝕做了一個界定。

1 齒輪溫度場分析

1.1 齒輪熱力學(xué)分析邊界條件

通過熱力學(xué)定律可以分析出瞬態(tài)溫度場的場變量應(yīng)該滿足的微分方程[9]如下：

(1)

對式(1)求解所需要的邊界條件為

(2)

(3)

(4)

式中，ρ為材料密度；C為比熱容；λ為導(dǎo)熱系數(shù)φ；為內(nèi)熱源；hm、ht和hs分別為齒輪工作面、非工作面和端面的對流換熱系數(shù)；Q為齒輪嚙合時摩擦產(chǎn)生熱量；T0為初始溫度；T為輪齒溫度。

1.1.1 對流換熱系數(shù)

由于對流換熱系數(shù)的影響因素較多，目前只有通過理論公式進行近似計算。本文采用的潤滑油參數(shù)如表1所示。

表1 潤滑油參數(shù)

(1)齒輪端面對流換熱系數(shù)計算。經(jīng)計算可得雷諾數(shù)Re≤2×102，故對流換熱系數(shù)為

(5)

式中，Pr為普朗特系數(shù)，其中ρf、cf、vf和λf分別為潤滑油密度、比熱容、粘度和導(dǎo)熱系數(shù)；Kf為潤滑油導(dǎo)熱系數(shù)；ω為齒輪角速度；m為指數(shù)常數(shù)，當溫度沿徑向分布時取m=2[9]。

(2)齒輪嚙合面換熱系數(shù)計算。齒輪嚙合面換熱系數(shù)計算為

(6)

(3)齒根和齒頂面換熱系數(shù)計算。齒根面和齒頂面的對流換熱系數(shù)可以簡化處理為齒輪嚙合面對流換熱系數(shù)的1/3[9]。

1.1.2 齒輪摩擦熱流量計算

(1)相對滑動速度。主、從動輪嚙合的接觸點對沿接觸切線相對滑動速度計算為

(7)

(8)

(9)

式中，n1、n2分別為主、從動輪轉(zhuǎn)速；d1、d2分別為主、從動直徑；ds為嚙合點與節(jié)點沿嚙合線上的距離；α為齒輪壓力角，本文齒輪壓力角α=20°；vs1、vs2分別為主、從動輪滑動速度。

(2)齒面摩擦系數(shù)。

(10)

式中，F(xiàn)t為齒輪嚙合點切向載荷；Xr為齒面粗糙度因子；ρe為齒輪等效曲率半徑；b為齒寬。

(3)齒面接觸壓力。基于Hertz理論，齒面接觸壓力為

(11)

式中，F(xiàn)s為齒面法向載荷；E為綜合彈性模量。

1.2 齒輪溫度場有限元分析

1.2.1 健康齒輪穩(wěn)態(tài)溫度場有限元分析

本文運用有限元方法建立齒輪輪齒單齒模型，在輪齒不同面施加對應(yīng)的熱邊界條件。齒輪參數(shù)如表2所示。

表2 齒輪副基本參數(shù)

本文通過對主動輪單個輪齒的穩(wěn)態(tài)溫度場分析來反映整個齒輪輪齒的狀況，溫度分布情況如圖1、圖2、圖3所示。

圖1 單齒穩(wěn)態(tài)溫度場

圖2 沿齒廓方向穩(wěn)態(tài)溫度

從圖1可以看出，無論是嚙合面還是非嚙合面，齒輪輪齒的齒頂處都是最高溫度區(qū)。這是由于相比于齒根處和節(jié)圓處，齒頂參與嚙合的時間更長，摩擦更多，導(dǎo)致因摩擦產(chǎn)生的熱量更多。非嚙合面的溫度要低于嚙合面，這是由于非嚙合面熱量主要來源于嚙合面摩擦熱的熱傳導(dǎo)。從圖2a可以看出齒頂溫度總體上高于齒根溫度；但是靠近齒根處溫度有小幅下降，齒頂靠近末端溫度開始下降。這是由于齒根處散熱條件較差，加上節(jié)圓處的熱傳導(dǎo)作用導(dǎo)致齒根靠近節(jié)圓附近出現(xiàn)局部溫度較高的現(xiàn)象。從圖2b可以明顯看出非嚙合面齒頂溫度高于齒根溫度，因為齒輪輪齒非嚙合面的熱量主要來自于嚙合面產(chǎn)生的經(jīng)熱傳導(dǎo)作用傳遞過來的熱量，而嚙合面齒頂溫度較高，加之直齒圓柱齒輪齒頂厚度薄于齒根，導(dǎo)致齒頂溫度高于齒根。從圖3可以看出，沿齒寬方向越靠近外側(cè)溫度越低，因為輪齒外側(cè)散熱條件好于內(nèi)側(cè)。

圖3 沿齒寬方向穩(wěn)態(tài)溫度

1.2.2 含點蝕故障齒輪穩(wěn)態(tài)溫度場有限元分析

本文在主動輪上建立出圓形凹坑，半徑和深度均為0.5 mm，以此來模擬出主動輪上的點蝕故障。本文主要研究的是主動輪的點蝕故障，所以對從動輪不做點蝕故障模擬?？拥臄?shù)量是不同的，以模擬不同程度的點蝕故障。

點蝕一般在節(jié)線周圍開始，然后傳播到整個齒輪表面。一個坑的位置和大小可以用三個變量來表示(u，r，D)，其中u代表齒根到點蝕坑中心的距離，r是點蝕坑的半徑，D是點蝕深度。齒數(shù)為55的齒輪經(jīng)過計算可知節(jié)線到齒根距離為2.5 mm，而本文模擬的點蝕坑中心在節(jié)線上，所以設(shè)定u=2.5 mm，r=0.5 mm，D=0.5 mm。

本文將點蝕程度分為三個等級，將點蝕面積在10%以下定義為輕度，將點蝕面積在10%到30%之間定義為中度，點蝕面積在30%以上定義為重度。根據(jù)界定范圍，本文模擬出三種點蝕程度的齒輪模型。

輕微點蝕：以齒節(jié)線為中心在齒面上模擬出10個圓形凹坑，每個點蝕坑中心距為0.75 mm。該齒的點蝕面積為輪齒表面積的7.59%。齒表面積為90 mm2。

中度點蝕：以齒節(jié)線為中心在齒面上模擬出22個圓形凹坑，每個點蝕坑中心距為0.75 mm。點蝕面積占齒表面積的16.55%。

重度點蝕：以齒節(jié)線為中心在齒面上模擬出22個圓形凹坑，另有22個凹坑位于齒頂，每個點蝕坑中心距為0.75 mm，兩排點蝕坑之間的中心距為1 mm。點蝕面積占輪齒表面積的33.1%。

圖4 不同程度點蝕齒輪模型

圖4給出了三種程度點蝕齒輪輪齒模型。圖5及圖6給出了不同程度點蝕單齒的穩(wěn)態(tài)溫度場情況。

從圖5可以看出，點蝕面積的大小對齒輪的溫度場分布具有一定程度的影響。對比圖5a與圖5b可以發(fā)現(xiàn)，輕度和中度點蝕輪齒最低溫度分別為43.422 ℃和43.451 ℃，最高溫度分別為50.27 ℃和50.34 ℃。從云圖以及數(shù)據(jù)中可以看出，點蝕面積沿齒寬方向擴大，齒輪溫度場并無明顯變化。從圖5c可以看到，重度點蝕輪齒最高溫度52.03 ℃，最低溫度43.82 ℃。通過與圖5b的對比可以看出點蝕面積沿齒廓方向擴大，溫度分布出現(xiàn)明顯變化，且溫度也明顯升高。由于齒輪傳動過程中，齒面之間的摩擦是沿齒廓方向徑向摩擦，這使得齒輪輪齒之間沿齒寬方向幾乎沒有摩擦熱流量，所以溫度場分布幾乎不會受到影響。當點蝕面積沿著齒廓方向擴大時，輪齒節(jié)線附件摩擦熱流量減小，導(dǎo)致齒輪節(jié)線附近溫度降低，熱量更多地集中到齒頂方向。

圖6a～圖6c為嚙合面溫度分布情況，可以看出，齒輪出現(xiàn)點蝕故障后，由于齒輪節(jié)線處出現(xiàn)點蝕坑，使得該處空氣流通較好，更易散熱，因此在節(jié)線附近點蝕位置溫度出現(xiàn)下降。齒頂附近相對滑動速度大，導(dǎo)致齒頂溫度依然很高，且越靠近齒頂溫度越高。圖6d～圖6f為非嚙合面溫度分布情況，可以看出，齒頂溫度高于齒根溫度，但齒頂最外側(cè)溫度小幅降低，因為非嚙合面齒頂最外側(cè)散熱條件好，使得最外側(cè)溫度會略低于齒頂稍靠內(nèi)側(cè)處。

圖5 點蝕齒輪嚙合面穩(wěn)態(tài)溫度場

圖6 點蝕齒輪沿齒廓方向穩(wěn)態(tài)溫度

不同程度的點蝕對齒輪總體溫度有一定程度的影響，但是影響效果不是很明顯。沿齒廓方向齒頂附近溫度最高；沿齒寬方向中心溫度高于兩側(cè)溫度。

2 齒輪嚙合剛度分析

2.1 有限元嚙合剛度求解方法

齒輪的嚙合剛度反應(yīng)出了齒輪工作時抗變形的能力。輪齒的嚙合剛度值K為[10]

(12)

式中，F(xiàn)n為嚙合點的法向力；B為輪齒齒寬；δ為沿嚙合線的線性變形。

(13)

式中，Tn為齒輪轉(zhuǎn)矩；Δθ為主動輪轉(zhuǎn)角；rb為主動輪基圓半徑。

2.2 不考慮熱效應(yīng)的齒輪嚙合剛度研究

2.2.1 健康齒輪嚙合剛度分析

運用有限元軟件建立齒輪模型，在求解過程中，假設(shè)雙齒剛開始進入嚙合位置的主動輪轉(zhuǎn)角為0°，齒輪的重合度為1.794，那么通過計算可得這一對嚙合齒輪雙齒嚙合區(qū)間為主動輪轉(zhuǎn)角0°～5.198°和6.544°～11.743°，單齒嚙合區(qū)間為5.198°～6.544°，當扭矩T=60 N·m的情況下，求得嚙合剛度，結(jié)果如圖7藍色線所示。

2.2.2 點蝕齒輪嚙合剛度分析

計算含點蝕故障齒輪嚙合剛度方法與健康齒輪嚙合剛度計算方法相同。定義當主動輪含點蝕的輪齒與對應(yīng)從動輪輪齒剛剛接觸時主動輪的角位移為0°，當主動輪旋轉(zhuǎn)到3.45°時點蝕坑開始進入嚙合區(qū)域；在輕度和中度點蝕嚙合過程中主動輪旋轉(zhuǎn)到6.9°時點蝕區(qū)離開嚙合區(qū)域，重度點蝕齒輪則是主動輪旋轉(zhuǎn)到11.2°時點蝕區(qū)脫離嚙合。嚙合剛度計算結(jié)果如圖7所示。

圖7 不同程度點蝕齒輪嚙合剛度

從圖7中可以看出，點蝕面積越大，齒輪的嚙合剛度下降越大。為了量化點蝕對齒輪嚙合剛度的影響，本文將嚙合過程分為三個階段。第一階段為主動輪旋轉(zhuǎn)角度從0°～3.45°，此時點蝕區(qū)域未參與嚙合；第二階段主動輪旋轉(zhuǎn)角度從3.45°～6.9°，此時節(jié)線上的點蝕區(qū)進入到了嚙合區(qū)域；第三階段為主動輪轉(zhuǎn)角從6.9°～11.2°，此時節(jié)線上的點蝕區(qū)離開嚙合區(qū)域，重度點蝕齒輪的齒頂附近點蝕坑進入嚙合。在每個階段，通過計算并對比各階段的嚙合剛度，可以得出不同點蝕程度在不同階段齒輪嚙合剛度的下降程度。在第一階段，三種程度點蝕齒輪的嚙合剛度均無明顯變化；到了第二階段，輕微點蝕齒輪嚙合剛度下降比例約為10.5%，中度和重度點蝕齒輪嚙合剛度下降比例大約35.1%；到了第三階段，輕度和中度點蝕齒輪嚙合剛度下降在1%左右，而重度點蝕齒輪則下降大約18%。

2.3 考慮溫度場的齒輪嚙合剛度研究

通過有限元法計算考慮熱分析的含點蝕故障齒輪嚙合剛度，需要在加載過程中將熱邊界條件加載到對應(yīng)的面上。對考慮熱效應(yīng)和未考慮熱效應(yīng)的健康齒輪嚙合剛度進行對比，并在加入熱載荷的情況下對不同程度點蝕的齒輪進行嚙合剛度分析，研究結(jié)果如圖8、圖9所示。

圖8 健康齒輪考慮熱效應(yīng)及不考慮熱效應(yīng)嚙合剛度對比

圖9 考慮熱效應(yīng)的不同程度點蝕齒輪嚙合剛度

從圖8可以看出，考慮到齒輪嚙合時摩擦產(chǎn)生熱量這一初始條件后，齒輪輪齒出現(xiàn)了一定程度的熱變形，使齒輪輪齒嚙合剛度出現(xiàn)降低。由于單雙齒嚙合特點不同，嚙合剛度下降幅度有一定差別，雙齒嚙合區(qū)下降比例在4%～4.5%，單齒嚙合區(qū)下降比例大約為0.5% 。由于考慮到溫度導(dǎo)致嚙合時應(yīng)力分布不均勻，雙齒嚙合區(qū)中部嚙合剛度值出現(xiàn)下凹現(xiàn)象。

從圖9可以看出，考慮熱效應(yīng)后不同程度點蝕嚙合剛度變化趨勢上與不考慮熱效應(yīng)的嚙合剛度變化趨勢基本相同，但雙齒嚙合區(qū)中部嚙合剛度值均出現(xiàn)下凹現(xiàn)象。而不同程度點蝕嚙合剛度值有一定程度下降，健康和輕度點蝕嚙合剛度值下降4%左右，中度和重度點蝕嚙合剛度下降大約4.5%。

3 結(jié)論

(1)齒輪輪齒兩側(cè)溫度明顯低于中間溫度；嚙合面溫度高于非嚙合面，出現(xiàn)在齒頂附近，且非嚙合面從齒根到齒頂溫度逐漸升高。不同程度點蝕對齒輪溫度分布具有一定程度的影響，點蝕面積越大，齒輪總體溫度越高。點蝕面積沿齒廓方向擴大，齒輪溫度場變化明顯，沿齒寬方向擴大齒輪溫度場無明顯變化。

(2)齒輪點蝕面積越大，齒輪嚙合剛度越低，點蝕區(qū)域進入嚙合時嚙合剛度下降明顯。當考慮溫度場后，齒輪嚙合剛度值總體下降，雙齒嚙合區(qū)下降明顯，下降比例約為4%～4.5%，單齒嚙合區(qū)下降不明顯，下降比例在0.5%左右。