李俊財 王健
摘 要:通過使用 Matlab/simulink 軟件,搭建仿真程序,實現(xiàn)對各種橫側(cè)向運動的模擬情況下的飛行器模型進行仿真。利用水平無側(cè)滑飛行條件φ=β≡0 和p=r≡0,可以將飛行器運動方程解耦為不依賴于縱向運動方程的橫側(cè)向方程。對該方程,進行小擾動線性化,可以獲得關(guān)于飛行器橫側(cè)向的線性動態(tài)方程。
關(guān)鍵詞:線性動態(tài)方程;特征值;仿真引言
橫航向小擾動方程的矩陣形式
飛機是一個氣動力學的產(chǎn)物,由于其運動環(huán)境的特殊性,做出實物實驗的可能性低且成本較高,目前國內(nèi)外都通過軟件仿真的形式來獲得其在特定條件下的運動數(shù)據(jù),本文就基于小擾動線性模型的橫側(cè)向各種模態(tài)特性進行分析。
1 飛機縱向運動的各種模態(tài)
飛機的橫側(cè)向運動有滾轉(zhuǎn)模態(tài)、螺旋模態(tài)和荷蘭滾模態(tài)。
(1)滾轉(zhuǎn)模態(tài)
滾轉(zhuǎn)收斂模態(tài)是快速收斂的非周期運動。對應特征方程絕對值最大的實根,該模態(tài)是快速收斂的非周期運動。對于一般飛機,正迎角下往往具有較大的滾轉(zhuǎn)阻尼,而繞 ox 軸的慣性矩卻是三個自由度最小的,使飛機受擾動時引起的滾轉(zhuǎn)角速度很快在氣動阻尼力矩作用下消失。
(2)螺旋模態(tài)
飛行器在飛行過程中,橫側(cè)向容易發(fā)生的一種不穩(wěn)定狀態(tài),學術(shù)上稱為螺旋模態(tài)。這種運動模態(tài)的時間常數(shù)(周期)很大,是一種緩慢收斂或發(fā)散的運動,對飛機有一定的影響,應作為飛機設計的一項標準。
(3)荷蘭滾模態(tài)
荷蘭滾模態(tài)也稱為振蕩模態(tài),是橫航向動穩(wěn)定性的三種典型模態(tài)之一,對應于橫航向小擾動運動方程的一對復根。其主要運動特征是:滾轉(zhuǎn)阻尼運動結(jié)束后,滾轉(zhuǎn)角、側(cè)滑角和偏航角呈頻率較高的周期性變化。特點:飛機一面左右偏航,一面來回滾轉(zhuǎn);飛機向左轉(zhuǎn)時,偏航角速度小于 0;基本處于右滾狀態(tài),滾轉(zhuǎn)角大于 0。原因:飛機的航向慣性阻尼力矩與靜穩(wěn)定力矩不平衡,引起繞 y 軸的振蕩運動,使側(cè)滑角周期變化,引起周期性變化的滾轉(zhuǎn)力矩,使?jié)L轉(zhuǎn)角、滾轉(zhuǎn)角速度周期運動。
2 通過對橫側(cè)向線性模型矩陣的提取,得到橫側(cè)向線性模型的相應 A,B 矩陣
因為在實際橫側(cè)向運動中不依賴于偏航角(滾轉(zhuǎn)角,側(cè)滑角,滾轉(zhuǎn)角速率,偏航角速率),所以將第二個變量偏航角剔除得到相應的與四個變量相關(guān)的新矩陣
得到4個狀態(tài)量與2個控制變量,建立橫側(cè)向線性模型:
得A,B矩陣后,寫出4個狀態(tài)量同兩個控制變量的矩陣算法,得出結(jié)果。
3 根據(jù)已知的 A 矩陣計算橫側(cè)向模型的特征值:
eig(A)可得,有以下四個特征根:
-0.2450 + 2.8973i -0.2450 - 2.8973i -2.5560 -0.0105
4 計算各種模態(tài)的相應特征值并求解對應的周期、頻率和阻尼比:
(1)運用函數(shù) damp 計算對應的頻率和阻尼比:[Wn,p,Z]=damp(A);可得到:頻率
Wn=2.9076 2.9076 2.5560 0.0105 阻尼比:0.0843 0.0843 1.0000 1.0000.
進而可得 3 種模態(tài)下的對應 T 和阻尼比以及特征值:
模態(tài) ? ? ? 特征值 ? ? ? ?周期T 阻尼比
荷蘭滾 - 0.2450±2.8973j? 0.3439 0.0843
滾轉(zhuǎn)? ? - 2.5560 0.3912? ? ? 1
螺旋? ? ? ? - 0.0105 ? ? ? 95.5013 1
5 搭建仿真模型,對橫側(cè)向運動情況下的各個變量進行仿真:
給定四個變量初始條件分別為 x =[β,φ,p,r]T=[0.1? 0.2? 0.1? 0.1],給定輸入為階躍響應。
6 結(jié)論
(1)三組特征值對應了飛機橫側(cè)向運動的荷蘭滾模態(tài)、滾轉(zhuǎn)模態(tài)、螺旋模態(tài)。荷蘭滾模態(tài)周期短、阻尼大;滾轉(zhuǎn)阻尼模態(tài)對應了一個大的負根,受機翼產(chǎn)生的較大阻尼力矩的阻止而很快結(jié)束,一個小的正根對應著螺旋模態(tài)的特點。
(2)三種模態(tài)中各個變量的占比也不同,荷蘭滾和螺旋模態(tài)中通常包含著很小的側(cè)滑。荷蘭滾模態(tài)幾乎是圍繞著穩(wěn)定坐標系 x 軸的純滾動運動,而螺旋模態(tài)則是由帶有滾轉(zhuǎn)運動的偏航運動組成的。螺旋模態(tài)通常是不穩(wěn)定的,包含著不斷增加的偏航角和滾轉(zhuǎn)角以及向下增大坡度的螺旋運動。