黃邵華 何 嬌
(1.廣西南寧市第二中學 530022;2.北京師范大學附屬實驗小學 100875)
在“三角函數(shù)的誘導公式”這節(jié)內(nèi)容的教學設計準備過程中,在課堂的教學上以及課后的總結(jié)中,都會不斷讓我們產(chǎn)生思考:對于幾何圖形“圓”與代數(shù)恒等式“誘導公式”,一形一數(shù),二者之間竟然有著如此美妙的聯(lián)系,這種聯(lián)系是巧合嗎?是否具有一般性呢?筆者經(jīng)過反思和推演,作出以下分析.
平面上存在一些呈中心對稱的幾何圖形,該圖形繞其對稱中心旋轉(zhuǎn)角度π后,依然與原圖形重合,但是圓不僅具有此性質(zhì),甚至圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度后仍與原圖重合.另外,平面上存在一些呈軸對稱的幾何圖形,該圖形可能會有一條或者多條對稱軸,但是圓不僅具有此性質(zhì),甚至過圓心的任意直線為都可以成為圓的對稱軸.因為上述旋轉(zhuǎn)和對稱的任意性,使得“圓”能夠成為自然界中最完美的圖形之一.
幾何性質(zhì)上的表現(xiàn),必然能在代數(shù)上進行表達.接下來,我們以單位圓為代表,分別從圓的一般方程和參數(shù)方程的角度出發(fā),證明圓的兩個完美的幾何性質(zhì),并從兩種證明過程中探究圓的幾何性質(zhì)在代數(shù)形式上的表達.
求證:圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度后仍與原圖重合(后簡稱“繞點旋轉(zhuǎn)的任意性”).
在不影響結(jié)論的一般性前提下,為了方便證明,我們不妨設該圓為圓心在坐標原點的單位圓(后同).
方法一:設P(x,y)為圓O上任意一點,設其繞著圓心旋轉(zhuǎn)角度θ(θ∈R)后,對應點為P′(x′,y′).
中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化是“兩治”現(xiàn)代化的內(nèi)生動力。習近平指出:“我國今天的國家治理體系,是在我國歷史傳承、文化傳統(tǒng)、經(jīng)濟社會發(fā)展的基礎上長期發(fā)展、漸進改進、內(nèi)生性演化的結(jié)果?!盵9]“兩治”現(xiàn)代化,空想不行、閉門造車不行,要善于學習,向老祖宗學習、向國外學習,遵循高等教育發(fā)展規(guī)律,借助傳統(tǒng)的深度挖掘和新時代的重新闡釋,總結(jié)借鑒國外知名高校的辦學理念、辦學模式、管理方法,海納百川、兼容并蓄,創(chuàng)造性內(nèi)化、創(chuàng)新性發(fā)展,在人類命運共同體中講好中國故事。
根據(jù)坐標旋轉(zhuǎn)變換公式可得
(1)
因為
x′2+y′2=(xcosθ-ysinθ)2+(ycosθ+xsinθ)2
=x2+y2=1,
所以,圓上任意一點繞著圓心旋轉(zhuǎn)任意角度后仍然在該圓上,即其旋轉(zhuǎn)任意角度后,與原圖重合.
方法二:結(jié)合圓O的參數(shù)方程,設圓O上任意一點P的坐標(x,y)為
(2)
則該點繞圓心O旋轉(zhuǎn)角度θ后得到的點P′(x′,y′)滿足
(3)
顯然點P′依然圓O上.
(4)
上述(4)式正是正余弦函數(shù)的兩角和公式.
因此,我們可以認為正余弦函數(shù)的兩角和公式正是圓的幾何性質(zhì):圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度后與原圖重合,在代數(shù)形式上的表達;反之,圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度后與原圖重合,也即為正余弦函數(shù)兩角和公式的幾何意義.
求證:圓關于任意一條過圓心的直線對稱(后簡稱“繞軸對稱的任意性”).
方法一:設P(x,y)為圓O上任意一點,設其關于直線y=kx(k≠0)的對稱點為P′(x′,y′).
(5)
又因為
因此P′點依然在該圓上.
若k=0或k不存在,易證得P′點依然在該圓上.
因此,證得圓上任意點關于任意過圓心的直線的對稱點依然在該圓上,所以圓具有“繞軸對稱的任意性”.
方法二:若采用圓的參數(shù)方程,設P(cosα,sinα)為圓O上任意一點,過圓心的直線傾斜角為θ.設P關于該直線的對稱點為P′(x′,y′),若設P′所在終邊所對應角為α′,則有α+α′=2θ,即α′=2θ-α,所以有
(6)
顯然可得點P′也在圓O上.
上述兩種方法分別通過圓的一般方程和參數(shù)方程證得圓“繞軸對稱的任意性”.結(jié)合兩種方法的證明過程,有如下推導:
化簡后得
(7)
由(4)我們可以得到
代入(7)即有
(8)
而(8)式正是正余弦函數(shù)的兩角差公式.
因此,我們可以認為正余弦函數(shù)的兩角差公式正是圓的幾何性質(zhì):圓關于任意一條過圓心的直線對稱,在代數(shù)形式上的表達;反之,圓關于任意一條過圓心的直線對稱,也即為正余弦函數(shù)兩角差公式的幾何意義.
而這三組公式,恰為高中數(shù)學教材中的誘導公式(一)、(二)和(六),顯然,這三組誘導公式為正余弦函數(shù)的兩角和公式的特殊情形.
除此之外,通過前面正余弦函數(shù)的兩角和公式的幾何意義,我們可以認為:
而這三組公式,恰為高中數(shù)學教材中的誘導公式(三)、(四)和(五),顯然,這三組誘導公式為正余弦函數(shù)的兩角差公式的特殊情形.
除此之外,通過前面正余弦函數(shù)的兩角差公式的幾何意義,我們可以認為:
誘導公式(三)、(四)和(五)即為圓的幾何性質(zhì):圓心在原點的圓關于x軸、y軸、直線y=x對稱,在代數(shù)上的表達;反之,圓心在原點的圓關于x軸、y軸、直線y=x對稱,即為這三組誘導公式的幾何意義.
“數(shù)與形,本是相倚依,焉能分作兩邊飛?數(shù)缺形時少直觀,形少數(shù)時難入微.”著名數(shù)學家華羅庚先生的這幾句話,很好地闡述“數(shù)”與“形”的相互關系及其結(jié)合思考數(shù)學問題的重要性.
圓作為一個堪稱完美的圖形,它的幾何性質(zhì)在代數(shù)上的表現(xiàn),如果用圓的普通方程來刻畫,不僅描述過程繁瑣,而且直觀性不強.但我們引入圓的參數(shù)方程后,將圓上點的坐標用三角函數(shù)來表示,則能非常明顯而直觀地發(fā)現(xiàn)圓的一些特殊性質(zhì).
將兩種方程結(jié)合起來思考的推演后,我們可以得到:
正余弦函數(shù)的兩角和差公式為圓繞點旋轉(zhuǎn)和繞軸對稱的任意性在“數(shù)”上的表達;
圓繞點旋轉(zhuǎn)和繞軸對稱的任意性為正余弦函數(shù)的兩角和差公式在“形”上的表現(xiàn);
誘導公式為圓繞點旋轉(zhuǎn)和繞軸對稱的特殊性在“數(shù)”上的表達;
圓繞點旋轉(zhuǎn)和繞軸對稱的特殊性為誘導公式在“形”上的表現(xiàn).