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      歐拉不等式的一個加強的改進

      2019-10-22 10:13:28張青山
      數(shù)學通報 2019年9期
      關(guān)鍵詞:內(nèi)切圓外接圓歐拉

      張青山

      (四川職業(yè)技術(shù)學院應用數(shù)學與經(jīng)濟系 629000)

      文[1]將歐拉不等式加強為:

      定理1在三角形ABC中,外接圓半徑R,內(nèi)切圓半徑r,則(∑表示循環(huán)和)

      (1)

      文[2]將定理1改進為:

      定理2在三角形ABC中,外接圓半徑R,內(nèi)切圓半徑r,則

      (2)

      我們發(fā)現(xiàn)不等式

      成立,這是由于

      故設想將不等式(2)改進為

      定理3在三角形ABC中,外接圓半徑R,內(nèi)切圓半徑r,則

      (3)

      那么

      記三角形ABC的內(nèi)心為I,

      令AB=AC,BC→0,

      注1

      2(R+r)≥IA+IB+IC.

      (4)

      同理有

      那么就得出不等式(4)的一個等價結(jié)論:

      (5)

      注2運用上面證明中的基本數(shù)學事實,可以簡捷地證明一些不等式,如:

      定理4在三角形ABC中,恒有(∏表示循環(huán)積)

      (6)

      (7)

      我們僅證明(6)式,將(7)式的證明留給讀者.

      等價于

      由(6)式可知

      就可以得到歐拉不等式的又一個加強:

      (8)

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