張偉志
(山東省鄒城市第二中學 273500)
伸縮變換是高等幾何的重要組成部分,了解伸縮變換的性質(zhì)會使一些高中數(shù)學中較難問題變得更為直觀快捷.下面先來看一個例子.
解法研究
分析和略解:
令A(acosα,bsinα),B(acosβ,bsinβ),
則C(-a(cosα+cosβ),-b(sinα+sinβ)).
由點C在橢圓上, 代入得
(cosα+cosβ)2+(sinα+sinβ)2=1
另一方面
其實,我們可以通過圖形的伸縮變換快速得出結(jié)論.
對橢圓進行下面的伸縮變換
本質(zhì)揭示
(1)理論依據(jù)
根據(jù)初等幾何的知識,我們不難得出平面圖形伸縮變換的以下性質(zhì):
①點經(jīng)過變換后仍然是點,直線經(jīng)過變換后仍然是直線,若一個點在直線上,變換后的對應點也在對應直線上;
②兩條平行直線經(jīng)變換后仍然平行,兩條相交直線經(jīng)變換后仍然相交,共點的直線經(jīng)變換后仍為共點直線;
③兩條平行直線段長度之比在伸縮前后不變,我們不妨稱為伸縮不變量;
④兩封閉圖形的面積比是伸縮不變量.
由上述的不變量經(jīng)過“組合”,可導出許多伸縮不變量,如線段的中點、三角形的中線和重心、平行四邊形的相關(guān)性質(zhì)等,特別要注意的是,角度不是伸縮不變量.
(2)引例剖析
引申和推廣
(1)伸縮變換在面積問題中的應用
雖然角度不是伸縮不變量,在單位圓中的直角三角形經(jīng)伸縮變換后不一定為直角三角形,但是我們可以依據(jù)伸縮變換的性質(zhì),得出變換前后的圖形面積之間的數(shù)量關(guān)系.
(2)伸縮變換在點線關(guān)系中的應用
下面我們運用伸縮變換的思想對上述命題加以驗證,首先我們來驗證該命題在⊙O:x2+y2=a2(a>0)中為真命題.
證明:連接A′O并延長,延長線交⊙O于點C,連接AC與A′P,設直線A′B與x軸的交點為G,并設R為⊙O與x軸的一個交點,如圖所示.
則AC與x軸平行,所以∠CAB=∠OPA,
由點A與點A′關(guān)于x軸對稱,
得∠OPA=∠OPA′,又由∠OA′G=∠CAB,
可得∠OA′G=∠OPA′,
所以△OPA′∽△OA′G,
圓是平面圖形中最優(yōu)美的圖形,當橢圓通過伸縮變換為相對應的圓時,橢圓中許多較為復雜的點線關(guān)系問題便會迎刃而解了.
(3)伸縮變換在最值問題中的應用
(1)求橢圓E的方程;
(2)設過點A的動直線l與橢圓E相交于P、Q兩點,當△OPQ的面積最大時,求直線l的方程.
可得x′2+y′2=4,變換后的圖象如下圖所示.
可見,利用伸縮變換將橢圓轉(zhuǎn)化成圓,再通過討論直線與圓的位置關(guān)系,可使問題得以簡化,這種變換在圓錐曲線最值問題中應用較為廣泛.
分析和略解:
可得x′2+y′2=1,為了方便觀察,我們作了變換后的圖象如下圖所示.
四邊形OPNQ與四邊形ONQP1在變換前后均為平行四邊形,
同理可得
當且僅當m=n時等號成立,
拋物線與雙曲線的變換不及橢圓那么完美,但恰到好處地轉(zhuǎn)化應用仍然可以使問題變得直觀簡潔,在不超越伸縮變換性質(zhì)的范疇內(nèi),各類特殊的變換均可以作為解題的利器.以上僅是筆者對這類試題的一些膚淺的思考,更多方法還有待于我們在實踐中不斷加以探索與總結(jié).