朱 芳，李素文，陳得寶，李 崢

(淮北師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院，安徽 淮北 235000)

1 研究背景

近年來，隨著脈沖技術(shù)、數(shù)字式元件部、數(shù)字計(jì)算機(jī)，特別是微處理器的發(fā)展[1]，以及數(shù)字式通信線路的大量使用，數(shù)字控制器在許多場合代替了模擬控制器，使絕大部分的精密控制系統(tǒng)和復(fù)雜的過程控制走向數(shù)字化。溫度是工業(yè)過程控制中的主要參數(shù)之一，廣泛應(yīng)用的工業(yè)電爐是工業(yè)生產(chǎn)的首選，電爐的溫度決定產(chǎn)品的質(zhì)量[2]。因此，對溫度控制的要求非常高。由于爐溫具有較大的慣性，并且溫度上升具有滯后性，本身時間常數(shù)大，爐溫變化較慢[3]，采用連續(xù)控制方式不能解決控制精度與動態(tài)性能的矛盾，因此，建立加入采樣開關(guān)的離散控制系統(tǒng)，可進(jìn)一步提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

本文首先建立了具有零階保持器的爐溫離散控制系統(tǒng)，并對其進(jìn)行穩(wěn)定性和時域分析；其次，在系統(tǒng)穩(wěn)定的基礎(chǔ)上對其進(jìn)行PID數(shù)字控制器校正，采用二級臨界擴(kuò)充比例法選取合適的PID參數(shù)，提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)性能；從而在實(shí)際生產(chǎn)中加強(qiáng)系統(tǒng)本身的溫度控制能力，節(jié)省人力物力。

2 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

2.1 爐溫控制系統(tǒng)的分析

工業(yè)爐溫控制系統(tǒng)中爐子的滯后時間大約為數(shù)秒至數(shù)十秒，其慣性時間常數(shù)T可高達(dá)千秒以上，而電機(jī)的機(jī)電時間常數(shù)Tm與它們比起來小得可以忽略。常用爐溫控制系統(tǒng)的原理框圖如圖1所示。

圖1 爐溫控制系統(tǒng)原理框圖

爐溫的誤差信號經(jīng)放大后驅(qū)動電動機(jī)去調(diào)整燃料閥門的開度以控制爐溫。若系統(tǒng)的開環(huán)放大倍數(shù)很大，系統(tǒng)對誤差信號將非常敏感。當(dāng)爐溫較低時，電動機(jī)將迅速旋轉(zhuǎn)，開大閥門，給爐子供應(yīng)更多的燃料。由于爐子本身的時間常數(shù)較大，導(dǎo)致爐溫上升緩慢。當(dāng)檢測的爐溫與給定值相同時，電機(jī)控制閥門的開度非常大，燃料持續(xù)供應(yīng)，爐溫繼續(xù)上升，造成超調(diào)，此時電動機(jī)又將反方向旋轉(zhuǎn)[4]。根據(jù)同樣的道理，又會造成爐溫的反方向超調(diào)，從而引起爐溫大幅度的振蕩，甚至使系統(tǒng)不穩(wěn)定。根據(jù)爐溫控制系統(tǒng)原理可得系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 爐溫控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

k1k2為系統(tǒng)開環(huán)增益，τ為爐溫遲滯時間常數(shù)，T為慣性環(huán)節(jié)時間常數(shù)。取系統(tǒng)的相角裕度γ=30°，若τ=10 s，T=100，則系統(tǒng)開環(huán)增益k1k2≤0.017；若τ=0,T=10，則k1k2≤0.029；若τ=0,T=1，則k1k2≤3。這說明T很大又存在滯后時，為了得到好的動態(tài)品質(zhì)，開環(huán)增益只能大大減小，則穩(wěn)態(tài)誤差會增大。此時若附加校正，由于T太大，校正裝置的時間常數(shù)也應(yīng)很大，難以實(shí)現(xiàn)。

2.2 爐溫離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

為了解決上述問題，可以在誤差信號和電機(jī)之間加一個采樣開關(guān)，建立爐溫離散控制系統(tǒng)。采樣開關(guān)進(jìn)行周期性閉合和斷開。當(dāng)爐溫出現(xiàn)誤差時，誤差信號只有在開關(guān)閉合時才能傳遞，使電機(jī)旋轉(zhuǎn)，進(jìn)行爐溫調(diào)節(jié)。當(dāng)開關(guān)斷開時，電動機(jī)立刻停下來，閥門位置固定，讓爐溫自動變化，直到下一次采樣開關(guān)閉合，再根據(jù)爐溫的誤差進(jìn)行調(diào)節(jié)。由于電動機(jī)時轉(zhuǎn)時停，爐溫大幅度超調(diào)現(xiàn)象將受到抑制，即使采用較大的開環(huán)放大倍數(shù)，系統(tǒng)仍能保持穩(wěn)定。加入零階保持器的線性離散爐溫控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，如圖3所示。

圖3 線性離散爐溫控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

當(dāng)系統(tǒng)的開環(huán)增益k1k2=0.2，滯后系數(shù)τ=10，慣性系數(shù)Ta=120，采樣周期T=10 s時，離散控制系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為：

(1)

由式(1)知，離散系統(tǒng)有3個開環(huán)極點(diǎn)、1個開環(huán)零點(diǎn)。

3 離散控制系統(tǒng)的分析

3.1 離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

對于線性離散系統(tǒng)，時域中的數(shù)學(xué)模型是線性定常差分方程，z域中的數(shù)學(xué)模型是脈沖傳遞函數(shù)。由s域到z域的映射關(guān)系知，線性定常離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是離散系統(tǒng)特征方程的全部特征根均分布在z平面上的單位圓內(nèi)[5]。離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與系統(tǒng)的開環(huán)增益有關(guān)，可以根據(jù)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)繪制系統(tǒng)的根軌跡，確定系統(tǒng)穩(wěn)定時開環(huán)增益的取值范圍(圖4)?；蛘呃L制系統(tǒng)的Bode圖，使幅值裕度和相角裕度均大于零的范圍，則系統(tǒng)穩(wěn)定(圖5)。

圖4是系統(tǒng)的開環(huán)增益從0變化到無窮時，閉環(huán)極點(diǎn)的根軌跡。由圖4知，使系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)增益取值范圍為(0,0.702)。相較于連續(xù)系統(tǒng)，此時離散系統(tǒng)的開環(huán)增益得到大大提高，有利于改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能，減少穩(wěn)態(tài)誤差。由圖5可知，系統(tǒng)穩(wěn)定時的相角裕度為15.8°，小于通常所達(dá)到較好動態(tài)品質(zhì)的30°，可對系統(tǒng)進(jìn)行改善。

圖4 爐溫控制系統(tǒng)的根軌跡

圖5 爐溫控制系統(tǒng)的Bode圖

3.2 離散控制系統(tǒng)的時域分析

應(yīng)用z變換法分析線性定常離散系統(tǒng)的動態(tài)性能，通常有時域法、根軌跡法和頻域法，其中時域法最簡便[7]。下面主要分析單位階躍信號輸入下采樣周期和開環(huán)增益對系統(tǒng)穩(wěn)定性和動態(tài)性能的影響。

采樣周期為10 s，開環(huán)增益為0.08、0.1、0.2、0.8時，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)如圖6所示。

圖6 k1k2為0.08、0.1、0.2、0.8時系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

由圖6可知，開環(huán)增益越大，系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線振蕩越劇烈，動態(tài)性能也依次變差，甚至由原來的穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定。因此，采樣周期一定時，改變開環(huán)增益會使離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性發(fā)生改變。

當(dāng)開環(huán)增益取0.1，采樣周期取10、50、100、200時，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)如圖7所示。

由圖7知，當(dāng)開環(huán)增益一定時，隨著采樣周期的增大，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線階梯越來越明顯。雖然調(diào)節(jié)時間有所減少，但超調(diào)量逐漸增大，振蕩次數(shù)越來越多。因此，采樣周期越長，信息丟失的越多，對離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性及動態(tài)性能均不利。

圖7 采樣周期為10、50、100、200時系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

4 基于PID數(shù)字控制器的設(shè)計(jì)與仿真

4.1 PID數(shù)字控制器的設(shè)計(jì)

PID控制是工業(yè)過程控制中應(yīng)用最廣泛的經(jīng)典控制器。它是根據(jù)系統(tǒng)偏差的比例、微分、積分進(jìn)行線性組合的一種控制方式[8]，對積分項(xiàng)和微分項(xiàng)應(yīng)用向后差分法，其離散化的數(shù)字PID控制器輸出形式為：

(2)

其中，KP是PID的比例系數(shù)；KI是PID的積分系數(shù)；KD是PID的微分系數(shù)。離散系統(tǒng)某時刻的輸出不僅與輸入有關(guān)，還與前一刻的輸出有關(guān)。PID數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)為輸出與離散偏差之比，其形式為：

(3)

式(3)為PID控制器的脈沖傳遞函數(shù)形式。

4.2 PID數(shù)字控制器參數(shù)整定方法

PID數(shù)字控制器需要確定的參數(shù)包括比例系數(shù)、積分系數(shù)、微分系數(shù)和采樣周期。由3.2知，采樣周期必須滿足香農(nóng)定理，并且受到滯后和控制精度的制約。工程上根據(jù)經(jīng)驗(yàn)溫度的采樣周期一般為10～20 s或等于純滯后時間。PID參數(shù)整定的方法有很多，主要有兩類：①理論計(jì)算法。根據(jù)數(shù)學(xué)模型，計(jì)算數(shù)字控制器的參數(shù)。此種方法的缺點(diǎn)是所得參數(shù)必須經(jīng)過工程實(shí)際進(jìn)行調(diào)整。②工程整定法。包括Ziegler-Nichols整定法、擴(kuò)充臨界比例度法、曲線衰減法等。其特點(diǎn)是按照工程經(jīng)驗(yàn)公式對控制器參數(shù)進(jìn)行確定，方法簡便、易于掌握。本文采用二級擴(kuò)充臨界比例度法調(diào)整PID數(shù)字控制器的參數(shù)。二級擴(kuò)充臨界比例度法是令PID控制器的積分項(xiàng)和微分項(xiàng)等于零，求出系統(tǒng)階躍響應(yīng)為等幅振蕩時的比例系數(shù)KP和振蕩周期Tk。為了得到更精確的比例系數(shù)，對KP進(jìn)行二級步長搜索，再根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式求出控制度和對應(yīng)的積分、微分系數(shù)。流程圖如圖8所示。

圖8 臨界擴(kuò)充比例度法的PID參數(shù)整定

具體步驟如下：

步驟1 選擇最小采樣周期Tmin=10 s(采樣周期等于純滯后時間)，令KI=0，KD=0。

步驟2 根據(jù)系統(tǒng)的根軌跡選擇KP的初始值，求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線。

步驟3 以0.1為步長，逐步改變KP的值，獲得系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)，直到出現(xiàn)不等幅振蕩。

步驟4 為了精確臨界比例，以0.01為步長，改變?yōu)镵P的值，判斷是否出現(xiàn)等幅振蕩。

4.3 實(shí)驗(yàn)仿真與結(jié)果

線性離散系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法主要有模擬化設(shè)計(jì)和離散化設(shè)計(jì)兩種。模擬化設(shè)計(jì)方法，把控制系統(tǒng)按模擬化進(jìn)行分析，求出數(shù)字部分的等效連續(xù)環(huán)節(jié)，然后按連續(xù)系統(tǒng)理論設(shè)計(jì)校正裝置，再將該校正裝置數(shù)字化。離散化設(shè)計(jì)方法，又稱直接數(shù)字設(shè)計(jì)法，把控制系統(tǒng)按離散化進(jìn)行分析，求出系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)，然后按離散系統(tǒng)理論設(shè)計(jì)數(shù)字控制器[4]。本文主要采用直接數(shù)字設(shè)計(jì)方法，因?yàn)樵撛O(shè)計(jì)方法簡便，更具有一般性，適合更復(fù)雜的系統(tǒng)。因此，根據(jù)離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型和PID數(shù)字控制器，建立Simulink仿真模型如圖9所示。

圖9 爐溫離散控制系統(tǒng)的Simulink模型

通過調(diào)節(jié)PID控制器的參數(shù)，首先確定KI=0，KD=0時，系統(tǒng)出現(xiàn)等幅振蕩的單位階躍響應(yīng)(圖10)。最后將已確定參數(shù)的PID數(shù)字控制器進(jìn)行設(shè)置，獲得校正后系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)如圖11所示。

圖10 等幅振蕩

圖11 加入PID數(shù)字控制器的單位階躍響應(yīng)

5 結(jié)語

工業(yè)爐溫控制系統(tǒng)具有多樣性和復(fù)雜性，不同型號的爐子具有不同的傳遞函數(shù)和數(shù)學(xué)模型，采用Matlab-Simulink軟件對其進(jìn)行仿真分析與設(shè)計(jì)是十分簡單、高效的。本文所設(shè)計(jì)工業(yè)爐溫系統(tǒng)具有較大的慣性和滯后特性，極大地制約了溫度調(diào)節(jié)的精度。通過研究發(fā)現(xiàn)，建立爐溫離散控制系統(tǒng)能夠更好地消除動態(tài)過程出現(xiàn)的反超調(diào)情況，改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)性能。另外，為了符合實(shí)際需求，設(shè)計(jì)了PID數(shù)字控制器，并對控制器參數(shù)進(jìn)行二級擴(kuò)充臨界比例度法整定，實(shí)現(xiàn)對溫度變化的精確穩(wěn)定控制，減小溫度調(diào)節(jié)時間，具有較強(qiáng)的實(shí)用價值。