另辟蹊徑，解絕對(duì)值不等式

喻敏

（重慶市涪陵第一職業(yè)中學(xué)校，重慶 408100）

不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)中的主要內(nèi)容之一，很多章節(jié)的學(xué)習(xí)都要用到不等式的有關(guān)知識(shí)，其中不等式的解法是重點(diǎn)，而含絕對(duì)值的不等式的解法是難點(diǎn)之一。下面我就解含絕對(duì)值的不等式的解法談點(diǎn)粗淺的看法。

眾所周知，解絕對(duì)值不等式的基本思想，就是設(shè)法去掉絕對(duì)值符號(hào)，把不等式轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的不等式進(jìn)行求解，即將未知的知識(shí)轉(zhuǎn)化為已知的知識(shí)，而化歸思想也是我們認(rèn)識(shí)新事物，研究新問題的重要方法之一。

去掉絕對(duì)值符號(hào)的方法主要有公式法、平方法等。而公式法是最基礎(chǔ)的方法，其原理是將絕對(duì)值不等式轉(zhuǎn)化為一元一次不等式進(jìn)行求解。平方法則是將絕對(duì)值不等式進(jìn)行兩邊平方，然后進(jìn)行求解。在這里,我以例題向大家介紹一種敝人認(rèn)為更簡(jiǎn)便的解絕對(duì)值不等式的方法——“八字口訣”法：變形、解方程、用口訣。

一、“八字口訣”解絕對(duì)值不等式的由來

教材上是這樣來推導(dǎo)出絕對(duì)值不等式的解集的：

第一步：復(fù)習(xí)絕對(duì)值的幾何意義

第二步：│x│=3的幾何意義：數(shù)軸上到原點(diǎn)的距離等于3的所有點(diǎn)構(gòu)成的集合。利用圖形求出解為3和-3。

第三步：由│x│＜3的幾何意義：數(shù)軸上到原點(diǎn)的距離小于3的所有點(diǎn)構(gòu)成的集合得出解集為。

由│x│＞3的幾何意義：數(shù)軸上到原點(diǎn)的距離大于3的所有點(diǎn)構(gòu)成的集合得出不等式的解集為。

第四步：由│x│＜3和│x│＞3的解集，得出│x│＜a和│x│＞a（a＞0）的幾何意義和解集，從而得出解不等式│x│＜a和│x│＞a（a＞0）的口訣：大于取兩邊，小于取中間。。

我對(duì)以上內(nèi)容的理解為：形如│x│＜a或│x│＞a的解題關(guān)鍵是找出兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)（即，絕對(duì)等于a的兩個(gè)數(shù)），然后再利用一元二次不等式的一個(gè)訣竅（大于取兩根之外，小于取兩根之內(nèi)）寫出不等式的解集。然后我將此類不等式的解法歸納為以下八個(gè)字：①變形（變形為│x│＜a或│x│＞a(a＞0)的形式），②解方程（│x│=a），③用口（利用口訣“大于取兩根之外，小于取兩根之內(nèi)”寫出絕對(duì)值不等式的解集）?，F(xiàn)在就讓我們一起來驗(yàn)證“八字口訣”的準(zhǔn)確性。

二、用“八字口訣”解形如│x│＜a或│x│＞a(a＞0)的不等式

分析：法1：（1）題目中的形式和基本形式不同，故而要先變形為

（2）利用“大于取兩邊，小于取中間”寫出不等式的解集。

（3）由于變形后的不等號(hào)為大于，故而此不等式的解集應(yīng)該取兩根之外，通過數(shù)形結(jié)合可以得出不等式的解集。

∴利用“口訣”：大于取兩根之外，小于取兩根之內(nèi)求出不等式的解集為

注意：（1）根據(jù)不等式的符號(hào)確定解集時(shí)，一定是根據(jù)變形后的不等式的符號(hào)。

（2）由例題可以看出，“八字口訣”和公式法解絕對(duì)值不等式得出的解集一樣，這說明“八字口訣”是正確的。

（3）由于變形后的不等號(hào)為小于，故而此不等式的解集應(yīng)該取兩根之內(nèi)，通過數(shù)形結(jié)合可以得出不等式的解集。

小結(jié)：由上面兩個(gè)例題可以看出，“八字口訣”是可以用來解形如│x│＜a或│x│＞a(a＞0)的不等式的。下面我將接著用“八字口訣”解形如ax的不等式。

三、利用“八字口訣”解形如或（c＞0）的不等式

區(qū)別：絕對(duì)值里面的式子不同

聯(lián)系：都是絕對(duì)值的不等式，形式相同。

（2）我們只需將2x+1看成一個(gè)整體m，那么形式就完全與相同了，即可利用“大于取兩根之外，小于取兩根之內(nèi)”的口訣求出m的范圍，然后再解方程2x+1=m就可以求出原不等式的解集了。

解：法1：令，則不等式變形為，即

現(xiàn)將m換成2x+1，可得

根據(jù)“口訣”：大于取兩根之外，小于取兩根之內(nèi)可得不等式的解集為

四、利用“八字口訣”解形如的不等式

分析：此題看似比較復(fù)雜，學(xué)生一開始可能無從下手?，F(xiàn)在我們可以將此題看成兩個(gè)絕對(duì)值不等式和組成不等式組，然后再求不等式組解集即可。這就將未知的知識(shí)轉(zhuǎn)化為我們已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)，從而降低了解題難度，所以解題關(guān)鍵在于將未知轉(zhuǎn)化為已知。

2x-3＜5②

法1：設(shè)2x-3=m，則原不等式組化為m＞1③

m＜5④

解不等式③得m＜-1或m＞1 ⑤

解不等式④得-5＜m＜5⑥

將2x-3=m代入⑤得x＜1或x＞2；代入⑥得-1＜x＜4所以原不等式的解集為{x-1＜x＜1或2＜x＜4}

法2：令2x-3=1，解方程得x1=1,x2=2

即不等式①的解集為{xx＜1或x＞2}

令2x-3=5，解方程得x1=-1,x2=4，

即不等式②的解集為{x-1＜x＜4}

小結(jié)：由此可見，“八字口訣”仍然于解形如的不等式。

綜上所述，“八字口訣”對(duì)于一般的絕對(duì)值不等式都適用。此方法將解一元二次不等式的方法（解方程，大于取兩根之外，小于取兩根之內(nèi)）用到了解絕對(duì)值不等式之中，有效的將未知知識(shí)用已知的知識(shí)來解答，而且通過解答例題證明：此方法解形如和形如比教材上介紹的方法更簡(jiǎn)單、更準(zhǔn)確。以上皆是本人個(gè)人觀點(diǎn)，如有不對(duì)、不足的地方還請(qǐng)大家批評(píng)指正。