山區(qū)大跨窄懸索橋抖振響應(yīng)時(shí)域有限元分析

周 戈，盛光祖，李浩然

（1.武漢地產(chǎn)開發(fā)投資集團(tuán)有限公司，湖北 武漢 430022；2.防災(zāi)減災(zāi)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（三峽大學(xué)），湖北 宜昌 443002）

0 引 言

山區(qū)大跨度窄懸索橋是一種柔性的高次超靜定結(jié)構(gòu)，具有跨越能力大、內(nèi)力分布均勻、外形輕盈美觀等優(yōu)點(diǎn)，逐漸受到橋梁界的高度關(guān)注。但該類橋梁的加勁梁寬度一般設(shè)置為2～5 m，隨著跨徑的增大，整體結(jié)構(gòu)高跨比和寬跨比急劇降低，使得窄懸索橋豎向與橫向剛度削弱，導(dǎo)致橋梁整體結(jié)構(gòu)的動(dòng)力穩(wěn)定性變差[1]。在風(fēng)雨、車輛和環(huán)境激勵(lì)下極容易產(chǎn)生較大振幅，降低了行人車輛的舒適度和結(jié)構(gòu)安全性，因此開展窄懸索橋結(jié)構(gòu)的風(fēng)振響應(yīng)研究具有重要意義。

針對(duì)山區(qū)大跨度窄橋面懸索橋的抗風(fēng)問題，許多學(xué)者開展了廣泛的研究。李春光等人采用增量分析方法，研究了某在建窄橋面大跨度懸索橋的靜風(fēng)失穩(wěn)的全過程[2]。長安大學(xué)李加武等人提出了提高窄懸索橋抗風(fēng)能力的措施[3]。研究表明，自然風(fēng)分解為平均風(fēng)速（平均風(fēng)）和脈動(dòng)風(fēng)速ui（脈動(dòng)風(fēng)）兩部分，相對(duì)應(yīng)的風(fēng)荷載也分為靜風(fēng)荷載和脈動(dòng)風(fēng)荷載。其中，平均風(fēng)是指在固定的一段時(shí)間內(nèi)，風(fēng)速大小、方向?yàn)楣潭ㄖ?，不隨時(shí)間而改變，平均風(fēng)的周期較長，其性質(zhì)相當(dāng)于靜力作用，而脈動(dòng)風(fēng)是由大氣的不規(guī)則運(yùn)動(dòng)造成，脈動(dòng)風(fēng)速大小、方向均隨時(shí)間按隨機(jī)規(guī)律變化，周期較短，其性質(zhì)相當(dāng)于動(dòng)力作用。目前，對(duì)于脈動(dòng)風(fēng)隨機(jī)場模擬主要有以下四種方法：諧波合成法（WAWS）[4]，本征正交分解法（POD）[5]，線性濾波法[6]（AR或ARMA）以及小波變換法。線性濾波法優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算量小、效率高、耗時(shí)少，是需要滿足特定條件的一種模擬方法，在模擬過程中往往需要根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)判斷，模擬精確度不能保證；小波變換法[7]的優(yōu)勢在于模擬非平穩(wěn)信號(hào)，但是模擬結(jié)果的精確度不穩(wěn)定，容易受所選小波基以及小波系數(shù)的影響，該方法不建議在模擬平穩(wěn)隨機(jī)過程時(shí)使用，容易造成不可忽視的誤差;諧波合成法理論簡單明了易掌握，將隨機(jī)脈動(dòng)風(fēng)速看成一系列余弦波的疊加，并且可以生成無條件穩(wěn)定的高精度模擬結(jié)果。

因此，本文以某山區(qū)加勁梁窄懸索橋?yàn)楣こ萄芯勘尘埃捎弥C波合成與FFT轉(zhuǎn)換技術(shù)相結(jié)合的方法，模擬某山區(qū)加勁梁窄懸索橋的三維脈動(dòng)風(fēng)場，基于ANSYS大型有限元分析軟件中APDL語言建立窄懸索橋風(fēng)振響應(yīng)模型，分析山區(qū)大跨度窄懸索橋結(jié)構(gòu)的抖振響應(yīng)。

1 脈動(dòng)三維風(fēng)場理論分析及數(shù)值建模

1.1 脈動(dòng)三維風(fēng)場理論分析

脈動(dòng)風(fēng)能量在頻域范圍中的分布情況通常采用脈動(dòng)風(fēng)功率譜函數(shù)來表達(dá)，脈動(dòng)風(fēng)功率譜函數(shù)反映了脈動(dòng)風(fēng)中不同頻率成分對(duì)湍流脈動(dòng)總動(dòng)能的影響，根據(jù)脈動(dòng)風(fēng)風(fēng)向進(jìn)行分類，可以劃分為順風(fēng)向脈動(dòng)風(fēng)速譜和豎向脈動(dòng)風(fēng)速譜。我國《公路橋梁抗風(fēng)設(shè)計(jì)規(guī)范》（JTG_TF50—2011）中順風(fēng)向脈動(dòng)風(fēng)速譜采用隨高度變化的Kaimal-Simiu譜，其表達(dá)式為：

式中：u2*為氣流剪切速度，m/s；f為無綱量莫寧（或相似率）坐標(biāo),，（z）=uln（z/z），其中 z*0為高度，z0為地面粗糙長度，m；k為卡曼常數(shù)，取0.4。

而豎向脈動(dòng)風(fēng)速功率譜采用Panofsky譜，表達(dá)式為：

一般在湍流風(fēng)場中，一定空間內(nèi)兩個(gè)不同坐標(biāo)點(diǎn)的風(fēng)速大小和方向往往會(huì)有所差別，也可能是完全不相關(guān)的情況[8]。在窄懸索橋結(jié)構(gòu)上某一個(gè)模擬點(diǎn)的脈動(dòng)風(fēng)荷載達(dá)到了最大值時(shí)，與該點(diǎn)距離較遠(yuǎn)的另一個(gè)點(diǎn)的脈動(dòng)風(fēng)荷載一般不會(huì)在同一時(shí)間里也達(dá)到上限值，因此在一定空間范圍之內(nèi)，與該模擬點(diǎn)距離越遠(yuǎn)，其脈動(dòng)風(fēng)荷載就越不可能同時(shí)達(dá)到上限值。隨機(jī)風(fēng)場并非完全一樣，這是因?yàn)閮蓚€(gè)點(diǎn)之間距離越遠(yuǎn)，脈動(dòng)風(fēng)速的相關(guān)性就隨之越小，其中相干函數(shù)的值域范圍在（0，1）之間，該值越大，說明兩點(diǎn)之間的相關(guān)性越強(qiáng)。本文采用Davenport建議的空間相干函數(shù)模型來描述橋面水平向兩點(diǎn)i與j之間的相關(guān)性，表達(dá)式為：

式中：Coh（Δij，ω） 為空間 i和 j兩點(diǎn)的相干函數(shù)；cx為水平向衰減因子。

1.2 諧波合成-FFT

（1）諧波合成法

脈動(dòng)風(fēng)速可以看成一個(gè)一維n變量零均值的高斯隨機(jī)過程 ｛（ft）｝ ，這個(gè)隨機(jī)過程包含 f（1t）、f（2t）、f（3t）、...、fn（t）共n個(gè)變量。根據(jù)Shinozuka理論，脈動(dòng)風(fēng)速過程可以用下式表示：

式中：Vi（t）為脈動(dòng)風(fēng)速，m/s；N為頻率采樣個(gè)數(shù)，取 210；Δω 為圓頻率增量，rad/s；ωjk為雙索引頻率；為隨機(jī)相位角，rad。

（2）FFT加速技術(shù)

雖然諧波合成法能高精度的模擬出脈動(dòng)風(fēng)速過程，但是計(jì)算量通常較大，耗時(shí)長，用時(shí)較長主要和以下兩點(diǎn)有關(guān)：（1）隨機(jī)脈動(dòng)風(fēng)速的諧波項(xiàng)疊加過于復(fù)雜，該計(jì)算過程需要占用大量的時(shí)間；（2）每一個(gè)對(duì)應(yīng)的頻率項(xiàng)都需要進(jìn)行互譜密度矩陣的Cholesky分解，而且隨著模擬節(jié)點(diǎn)數(shù)量n增加，功率譜密度矩陣維數(shù)也越來越大，所以計(jì)算量會(huì)按照n2/2的速度增加，為了提高脈動(dòng)風(fēng)速過程的計(jì)算效率，本文引入FFT轉(zhuǎn)換技術(shù)。首先，將式（4）轉(zhuǎn)換為以下表達(dá)形式[9]：

式中：Re表示復(fù)數(shù)的實(shí)部；Δt為時(shí)間增量，s;p=1，2，...，M×n-1；M=2N；q 為 p/M 的余數(shù)，q=1，2，...，M-1；其余量的含義同式（4）。

其中Bji（mΔω）按照下式計(jì)算：

1.3 脈動(dòng)風(fēng)速值模擬計(jì)算結(jié)果

根據(jù)上述計(jì)算原理，本文采用MATLAB數(shù)學(xué)編程軟件，實(shí)現(xiàn)脈動(dòng)風(fēng)速值模擬的計(jì)算機(jī)算法。數(shù)值模擬時(shí)主要參數(shù)取值見表1。圖1和圖2所示為10#模擬點(diǎn)脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程，圖3和圖4為10#模擬點(diǎn)脈動(dòng)風(fēng)功率譜與目標(biāo)譜的對(duì)比。

表1 諧波合成法模擬脈動(dòng)風(fēng)速主要參數(shù)

圖1 部分模擬點(diǎn)順風(fēng)向脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程

圖2 部分模擬點(diǎn)豎風(fēng)向脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程

基于諧波合成法（WAWS）與FFT結(jié)合的方法，模擬了窄懸索橋主梁上共19個(gè)點(diǎn)的順風(fēng)向和豎風(fēng)向脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程，并展示了其中最具代表性的幾個(gè)點(diǎn)。從圖中可清晰的看到，模擬出來的空間多點(diǎn)脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程隨機(jī)性較好。如圖1和圖2可知，模擬點(diǎn)的順風(fēng)向脈動(dòng)風(fēng)速在-15～15 m/s范圍之間波動(dòng)，豎風(fēng)向脈動(dòng)風(fēng)速在-6～6 m/s范圍之間波動(dòng)，反映了脈動(dòng)風(fēng)隨時(shí)間隨機(jī)規(guī)律變化的特性。

圖3和圖4可知，模擬出的自功率譜函數(shù)和互功率譜函數(shù)與目標(biāo)譜都有相同的變化趨勢，模擬功率譜曲線在目標(biāo)譜曲線周圍有規(guī)律的波動(dòng)。在低頻區(qū)域（10-3～10-1Hz）范圍內(nèi)，功率譜曲線擬合較好，0.1 Hz以后，兩種曲線差距開始發(fā)散，整體擬合度較好，說明模擬出來的功率譜精確度高。

圖310#點(diǎn)模擬自功率譜與目標(biāo)譜

圖410#點(diǎn)模擬自功率譜與目標(biāo)譜

2 工程概況及有限元模型

2.1 工程概況

本文以某山區(qū)窄懸索橋有工程研究背景，該橋位于湖北省興山縣古洞口水庫。某山區(qū)加勁梁窄懸索橋整體布置圖、加勁梁橫截面如圖5所示。

圖5某山區(qū)加勁梁窄懸索橋全橋布置圖（單位：cm）

橋梁總跨徑185.4 m，主橋?yàn)?50 m單跨雙鉸地錨式懸索橋，主橋主梁采用縱橫梁格鋼結(jié)構(gòu)體系，橋面全寬4.0 m，人行道凈寬3.5 m。橫梁型鋼使用雙拼[32a槽鋼，中橫梁順橋向間距為2.0 m。橫梁兩端開孔，用于錨固抗風(fēng)拉索的上端錨頭。雙拼[32a橫梁上沿順橋向布置14根縱梁，其中12根[16槽鋼以及位于兩側(cè)的[40槽鋼，與橫梁通過焊接連接。橋面板采用10 mm厚花紋鋼板。引橋橫斷面為混凝土小箱梁。全橋共73根吊桿，吊桿間距2.0 m（兩端為加強(qiáng)吊桿，間距3.0 m）。橋塔為H形鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)，截面形狀為矩形。

2.2 有限元建模

基于窄懸索橋結(jié)構(gòu)約束特點(diǎn)與設(shè)計(jì)圖紙說明，對(duì)懸索橋橋塔底部、加勁梁端部、主纜錨固端和索鞍處約束進(jìn)行力學(xué)簡化，某山區(qū)窄懸索橋有限元計(jì)算分析模型如圖6所示。采用ANSYS大型有限元計(jì)算分析程序?qū)δ成絽^(qū)加勁梁窄懸索橋進(jìn)行建模，總體坐標(biāo)系以橋跨方向?yàn)閄軸，以橋?qū)挿较驗(yàn)閅軸，以橋塔方向?yàn)閆軸。根據(jù)某山區(qū)橋梁結(jié)構(gòu)實(shí)際情況進(jìn)行有限元模擬，全橋共4083個(gè)單元。

有限元模型的加勁梁和索塔結(jié)構(gòu)采用空間梁單元BEAM4模擬，BEAM4是一種可以承受拉、壓、彎、扭的受力單元，每個(gè)節(jié)點(diǎn)各有6個(gè)自由度。主纜、吊索、抗風(fēng)系統(tǒng)采用空間桿單元LINK10模擬，LINK10為三維僅受拉或受壓單元，能夠有效模擬懸索橋索類結(jié)構(gòu)的工作狀態(tài)。欄桿、索夾等采用節(jié)點(diǎn)質(zhì)量單元MASS21模擬，橋面板采用殼單元SHELL63模擬。

圖6 加勁梁窄懸索橋有限元計(jì)算分析模型

該模型考慮了主纜外層防腐材料質(zhì)量的影響，在主纜參數(shù)設(shè)置中給主纜密度一個(gè)大于1的修正系數(shù)，主纜、吊桿、抗風(fēng)主纜和抗風(fēng)拉索的質(zhì)量密度按照規(guī)范給定容重，根據(jù)其有效截面面積進(jìn)行計(jì)算，各類構(gòu)件材料的彈性模量參考設(shè)計(jì)圖紙取值。

3 全橋抖振時(shí)域化分析

3.1 風(fēng)荷載計(jì)算

風(fēng)荷載包括三個(gè)部分：靜風(fēng)力、抖振力和氣動(dòng)自激力，其中抖振力和氣動(dòng)自激力為動(dòng)荷載，抖振力由脈動(dòng)風(fēng)引起，氣動(dòng)自激力由結(jié)構(gòu)氣動(dòng)耦合產(chǎn)生[10]。

（1）抖振力計(jì)算

根據(jù)Scanlan教授的準(zhǔn)定常氣動(dòng)理論，窄懸索橋加勁梁的抖振力可按下式計(jì)算：Lb（t）=

式中：ρ為空氣密度，kg/m3；U為來流平均風(fēng)速，m/s；B 為構(gòu)件截面沿主流方向尺寸，m；C'L、C'D、C'M分別為升力、阻力和升力矩系數(shù)曲線斜率；u（t）、w（t）分別為順風(fēng)向，m/s和豎風(fēng)向脈動(dòng)風(fēng)速，m/s。

（2）氣動(dòng)自激力計(jì)算

大跨加勁梁窄懸索橋主梁的氣動(dòng)自激力可以參考Scanlan教授提出的自激空氣動(dòng)力計(jì)算方法，作用在窄懸索橋主梁結(jié)構(gòu)單位長度上受到的氣動(dòng)升力Lae、氣動(dòng)阻力Dae和氣動(dòng)扭矩Mae，可以分別表示為豎向位移h、水平位移p和扭轉(zhuǎn)位移α的函數(shù)，采用無量綱氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)H*i、P*i、A*i（i=1，2，...，6）來表達(dá)，計(jì)算公式如下：

式中：U、ρ、B 同（10）～（11）；K 為無量綱頻率，K=Bω/U；ω 為振動(dòng)圓頻率，rad/s；氣動(dòng)導(dǎo)數(shù) H*i、P*i、A*i（i=1，2，...，6）是無綱量風(fēng)速 U*=U/fB或者無量綱頻率的函數(shù)，他們的取值與窄懸索橋加勁梁截面的尺寸有關(guān)。

3.2 抖振響應(yīng)時(shí)域化分析

根據(jù)脈動(dòng)風(fēng)速模擬結(jié)果計(jì)算出脈動(dòng)風(fēng)產(chǎn)生的抖振力，靜風(fēng)荷載根據(jù)設(shè)計(jì)基準(zhǔn)風(fēng)速Vd=29.03 m/s進(jìn)行計(jì)算，氣動(dòng)自激力由主梁結(jié)構(gòu)氣動(dòng)耦合引起，采用ANSYS中MATRIX27矩陣模擬加勁梁氣動(dòng)剛度與氣動(dòng)阻尼?？紤]三種荷載的共同作用，基于ANSYS中APDL編程功能實(shí)現(xiàn)窄懸索橋結(jié)構(gòu)抖振時(shí)域化分析，跨中主梁節(jié)點(diǎn)抖振位移響應(yīng)時(shí)程如圖7和圖8所示。

圖7 某山區(qū)加勁梁窄懸索橋跨中橫向位移抖振時(shí)程響應(yīng)

從圖7和圖8可以清晰看出，橫向與豎向抖振時(shí)程響應(yīng)均有明顯上限限值，橫向位移振動(dòng)上限值為16.4 cm，豎向位移振動(dòng)上限值為8.8 cm，從橫向與豎向振動(dòng)幅值來分析，可以看出橫向振動(dòng)位移較大，說明該橋橫向抗彎剛度較小，自振頻率較低，需要采取一定的抗風(fēng)措施來對(duì)橫向剛度進(jìn)行加強(qiáng)。

圖8某山區(qū)加勁梁窄懸索橋跨中豎向位移抖振時(shí)程響應(yīng)

另一方面也能說明抖振為限幅振動(dòng)，一般不具有災(zāi)害性的破壞，但是考慮到發(fā)生的頻率較高，故也容易引起局部構(gòu)件疲勞損傷。

4 結(jié) 語

本文采用諧波合成與FFT轉(zhuǎn)換技術(shù)相結(jié)合的方法，模擬了某山區(qū)加勁梁窄懸索橋三維脈動(dòng)風(fēng)場，考慮平均風(fēng)引起的靜風(fēng)荷載，脈動(dòng)風(fēng)引起的抖振力和主梁氣動(dòng)耦合引起的氣動(dòng)自激力。運(yùn)用ANSYS大型有限元計(jì)算分析程序中APDL編程功能，實(shí)現(xiàn)加勁梁窄懸索橋抖振響應(yīng)時(shí)域化分析。計(jì)算結(jié)果得出，該橋橫向抖振位移上限值為16.4 cm，豎向位移振動(dòng)上限值為8.8 cm，說明某山區(qū)橫向抗彎剛度更小，出現(xiàn)橫向彎曲振型頻率會(huì)更低，需要采取一定的抗風(fēng)措施加強(qiáng)橫向剛度。另一方面也能看出抖振位移響應(yīng)時(shí)程表現(xiàn)為明顯的限幅振動(dòng)，一般不具有災(zāi)害性的破壞，但是考慮到發(fā)生的頻率較高，故也容易引起局部構(gòu)件疲勞損傷。