一個(gè)無理分式不等式猜想的證明

浙江湖州市雙林中學(xué) (郵編：313012)

《數(shù)學(xué)通報(bào)》2016年9月號(hào)問題2325[1]：

設(shè)x、y是滿足xy=1的正數(shù)，λ≥0，求證：

文[2]從項(xiàng)數(shù)入手，給出了上述不等式的“元”推廣：

①

故而文[2]改從指數(shù)入手，給出問題2325的指數(shù)推廣為：

設(shè)x、y>0,xy=1,2≤m∈N*,λ≥0，則

②

基于①、②二式，文[2]末作者自然提出如下靚麗的猜想：

③

這是集問題2325指數(shù)推廣與“元”推廣于一體的綜合性推廣，是一個(gè)很有意義的不等式之“夢(mèng)”. 幾經(jīng)思考、幾經(jīng)挫折，終得以修成正果. 下面給出猜想的證明.

④

并作輔助函數(shù)：

易知猜想等價(jià)于以下不等式：

③′

為此，考察函數(shù)f(t)的凹凸性，即f″(t)的符號(hào)，可得：

⑤

>0(因m≥2).

所以，函數(shù)f(t)在(-∞,+∞)內(nèi)是下凹函數(shù)，故而

③′式成立，即③式成立. 猜想得證.

從以上猜想的證明過程⑤式，易知：

λ2(m-1)2e2t+λm(2m-3)et+m2

≥λm(2m-3)et+2·λ(m-1)et·m

=λm(4m-5)et,

⑥