數(shù)學(xué)思維空間成就數(shù)學(xué)思維品質(zhì)
——對2018年浙江省臺州市中考數(shù)學(xué)試題第16題的思考

王國順

一年一度的中考已經(jīng)落下帷幕，在以能力立意，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的今天，今年浙江省臺州市卷的第16題（填空題）重在考察學(xué)生數(shù)學(xué)知識的整合能力、探索解題過程的思維品質(zhì)，為初中數(shù)學(xué)教學(xué)起到了很好的導(dǎo)向作用。可以說此題是簡約而不簡單，更是一道考查學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力與思維品質(zhì)的好題。因此，筆者以此題為例，進(jìn)行了思考與探索，和各位專家、同仁一起探討。

一、原題呈現(xiàn)

【例1】如圖1，在正方形ABCD中，AB=3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在CD，AD上，CE=DF，BE，CF相交于點(diǎn)G.若圖中陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2：3，則△BCG的周長為______。（2018浙江省臺州市中考數(shù)學(xué)試題第16題）

二、思路剖析

一方面，根據(jù)CE=DF，在正方形中，因?yàn)锽C=CD，∠BCE=∠CDF=90°∴△BCE≌△DCF，

∴∠CBE=∠DCF ∵∠DCF＋∠BCF=∠BCD=90o

∴∠CBE＋∠BCF=90°，∴∠BGC=90°（即BE⊥CF）

∴△BCG是直角三角形。題目中的隱含條件被進(jìn)一步挖掘，并凸顯出來。在直角三角形中，要確定邊與邊的關(guān)系，自然而然會聯(lián)想到勾股定理，不妨設(shè)CG=x，BG=y，則x2＋y2=32。

另一方面，題中的面積關(guān)系也是思考的方向，我們研究的重點(diǎn)是△BCG，根據(jù)“圖中陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2：3”，轉(zhuǎn)化為“圖中空白部分的面積與正方形ABCD的面積之比為1：3”，

∵△BCE≌△DCF ∴S△BCE=S△CDF，

∴S△BCE-S△CEG=S△CDF-S△CEG，∴S△BCG=S四邊形EDFG，

∴S△BCG=

這時(shí)只要運(yùn)用整體思想，求出（x＋y）的值即可。而

（x＋y）2=x2＋y2＋2xy=9＋6=15，

筆者分析學(xué)生可能受到習(xí)慣性思維的干擾，一心只想精準(zhǔn)求出兩直角邊的值，把y=）2=9，方程化為x4-9x2＋9=0，先把x2看成整體，設(shè)x2=a，方程化為關(guān)于a的一元二次方程a2-9a＋9=0，解得a=，那么x2=或x2=∵x＞0，∴x1=或x2=，

代入x2＋y2=9得x2＋（

相應(yīng)地y1=或y2=

由于學(xué)生所學(xué)知識的局限性，導(dǎo)致含雙重根號的結(jié)果無法化簡，除非你平時(shí)接觸到過利用配方法化簡這一類特殊形式二次根式，例如，x1

這些同學(xué)思維不可謂不縝密、計(jì)算能力不可謂不強(qiáng)，可結(jié)果正確與否的擔(dān)憂卻無法消除。為什么會在考試的時(shí)候出現(xiàn)這種既浪費(fèi)時(shí)間又繁瑣易錯(cuò)的思路呢？問題的根本在于平時(shí)的訓(xùn)練過于機(jī)械，思路單一、缺少發(fā)散性，導(dǎo)致在緊張的考試中思維品質(zhì)不升反降。“解題時(shí)邁進(jìn)的每一步，如果越來越簡單，你會感到路走對了，勝利就在前頭，如果越來越復(fù)雜，越來越艱難，你也應(yīng)該發(fā)現(xiàn)前景不妙，希望渺茫，簡單自然，往往是你判斷的標(biāo)準(zhǔn)?！保?］

三、引發(fā)的思考

1.良好思維品質(zhì)的形成，需要學(xué)生“見多識廣”良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的形成，首先需要老師在平時(shí)的教學(xué)活動中多關(guān)注、狠落實(shí)，只有經(jīng)常接觸舉一反三、一題多解、多題歸一的教學(xué)，才能夠在單打獨(dú)斗時(shí)，妙想絕處生捷徑自然成.例如“變式1”，我們可以將剛才的靜態(tài)問題升華為動態(tài)問題進(jìn)行變式探索，使學(xué)生的思維活動在不同的方向和不同的層次上得到發(fā)展.【變式1】如圖2，在正方形ABCD中，AB=3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在CD，AD上，CE=DF，BE，CF相交于點(diǎn)G，連接DG.在點(diǎn)E從C運(yùn)動到D的過程中，求①點(diǎn)G 運(yùn)動的路徑長為__________；②DG的最小值為；__________；③當(dāng)DG=DF時(shí)，CE的值__________.

分析與解：由原題的剖析知道，在點(diǎn)E從C運(yùn)動到D的過程中，△BCG是始終是以BC為斜邊的直角三角形，因此，點(diǎn)G在以BC為直徑的圓（如圖3，圓心記為O）上運(yùn)動，它的路徑是一段圓?。ㄋ姆种粋€(gè)圓），第①問解決；在①的基礎(chǔ)上，當(dāng)D，G，O共線時(shí)，DG最小，DG最小值=；對于問題③，只有當(dāng)∠DFG=∠FGD時(shí)，DG=DF∵AD∥BC∴∠DFG=∠OCG，

根據(jù)OG=OC，∠OGC=∠OCG，當(dāng)D，G，O共線時(shí)，∠OGC=∠FGD

∴∠DFG=∠FGD∴DF=DG，又∵CE=DF，即CE=

這里為什么不把③設(shè)置為“當(dāng)△DFG為等腰三角形時(shí)，求CE的值”這樣的開放式的問題呢？解決時(shí)要進(jìn)行分類討論，不是更能夠鍛煉學(xué)生的思維能力嗎？是的，剛剛的CE=是情形之一，另一種情形就是當(dāng)G與H重合時(shí)，GD=GF，此時(shí)CE=CD=3；情形三，DF=FG時(shí)，如圖4，連接EF，則Rt△BCE≌Rt△DCF，

∴GE=DE，設(shè)CE=DF=FG=x，∴GE=DE=3-x，

化為整式方程得，2x3-6x2＋18x-27=0，不是特殊形式一元三次方程，初等數(shù)學(xué)無法解決（需要用高等數(shù)學(xué)“卡爾丹公式法”或“盛金公式法”求解，它的實(shí)數(shù)解約為1.94）。因此，作為思維訓(xùn)練，培養(yǎng)探究能力，也未嘗不可，但作為考試題，我們在設(shè)計(jì)的時(shí)候必須要規(guī)避。

2.良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的形成，需要教師“精心編導(dǎo)”舉一反三、一題多解、一題多變能夠有效的鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和品質(zhì)，類比學(xué)習(xí)對鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是非常有效的，類比對知識的全面掌握與方法的遷移、能力的提升，都有十分重要的作用。“素材選用不僅有利于學(xué)生理解所學(xué)知識的內(nèi)涵，還能夠更好地揭示相關(guān)數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，有利于學(xué)生從整體上理解數(shù)學(xué)，構(gòu)建數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)?！保?］如下面的變式2，就是從考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力方面進(jìn)行構(gòu)建，以激發(fā)學(xué)生的分散性思維。

【變式2】如圖5，在正方形ABCD中，AB=3，點(diǎn)E在CD上，F(xiàn)在AD上，F(xiàn)E⊥BE，M是EF的中點(diǎn)，MH⊥CD。在點(diǎn)E從C運(yùn)動到D的過程中，線段MH的最大值為__________。

分析與解：易得MH是△DEF的中位線，要使MH最大，只要DF最大，這里∠C=∠FEB=∠D=90°，那么∠CBE=∠DEF，∴Rt△BCE∽Rt△EDF，∴，設(shè)CE=x，DF=y，則DE=3-x，，y=＋x，即y=，

正如陳永明教授在“習(xí)題教學(xué)的歸一原則”中所指出的——“多解歸一、多題歸一、舉一反三，就是要找同類問題的共同點(diǎn)，把共同的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)出來，以便運(yùn)用到新的場合”。［2］在變式2中，我們改變了原題中的條件，解決問題的方法就從原來的兩個(gè)三角形全等遷移到兩個(gè)三角形相似，利用相似比，得到二次函數(shù)，并用二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值，知識都是初中數(shù)學(xué)體系中的核心知識。

四、結(jié)語

學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成應(yīng)該是漸進(jìn)的、逐步累積的結(jié)果，絕不是一蹴而就的。教師只有在平時(shí)的教學(xué)活動中多展現(xiàn)鍛煉數(shù)學(xué)思維的課例、多滲透思考問題的方法與步驟、使學(xué)生能夠會知識遷移和方法類比，學(xué)生心里才能埋下形成良好數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的種子，數(shù)學(xué)課堂必定大放異彩，成效更顯著，正如史寧中教授所說“用數(shù)學(xué)的眼光看世界，用數(shù)學(xué)的思維分析世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界”的核心素養(yǎng)必能得到極大提升。