二階微分方程初探

李紅巖

【摘要】在十八世紀(jì)，數(shù)學(xué)家在用微積分解決物理問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)某些比較困難的問題用初等函數(shù)來計(jì)算積分已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，這樣微分方程就應(yīng)運(yùn)而生。有幾類物理問題激發(fā)了微分方程的研究，其中對(duì)彈性理論也就是一個(gè)物體在外力作用下的形狀問題的研究對(duì)微分方程的發(fā)展起到了很大的推動(dòng)作用。其中伯努利父子以及泰勒和歐拉更是其中的的佼佼者。

【關(guān)鍵詞】二階微分方程;伯努利;歐拉;里卡蒂方程

早在十七世紀(jì)末，詹姆斯.伯努利在研究船帆風(fēng)力狀態(tài)下的形狀問題時(shí)，提出了一個(gè)二階方程d2x/ds2=（dy/ds）3，這里s為弧長(zhǎng)。隨后約翰.伯努利在微積分的教科書中處理了這個(gè)問題，并且證明了這個(gè)方程在懸鏈線問題上的數(shù)學(xué)一致性。

二階微分方程在討論彈性振動(dòng)弦的形狀問題上也得到了運(yùn)用，比如論證小提琴弦的振動(dòng)形狀。泰勒在研究一個(gè)古老問題時(shí)也用到了這個(gè)主題。畢達(dá)哥拉斯的追隨者在數(shù)學(xué)以及音樂的研究中也一直在運(yùn)用二階微分方程。貝內(nèi)代蒂（Giovanni Battista Benedetti）、貝克曼（IsaacBeeckman）、梅森、笛卡爾、惠更斯和伽利略也在研究二階微分方程方面有各自的杰出貢獻(xiàn)。一根弦在振動(dòng)時(shí)有許多種模式，那么如果把一根弦分成k部分，它在振動(dòng)時(shí)所產(chǎn)生的音是第k諧音或是第k-1泛音。這些信息很大程度上都是通過索佛爾（Joseph Sauveur，1653—1716）的實(shí)驗(yàn)在18世紀(jì)初就已經(jīng)被英國(guó)人所熟知。

泰勒推導(dǎo)出了一根振動(dòng)弦的基頻，并且解出了方程a2x=syy′，這里s=x2+y2，微商是把時(shí)間看做是自變量，他還給出了方程y=Asin（x/a）來刻畫弦在任何時(shí)刻的狀態(tài)，其中a=l/π，l表示弦的長(zhǎng)度。泰勒關(guān)于振動(dòng)弦的基頻公式就是我們現(xiàn)在見到的v=12lTσ（T為弦的張力，σ=m/g，m是單位長(zhǎng)度的質(zhì)量，g是重力加速度）

約翰.伯努利在研究振動(dòng)弦問題時(shí)，1727年曾經(jīng)給他的兒子丹尼爾.伯努利的一封信中提出了無重量的彈性弦這個(gè)概念;1728年歐拉開始考慮研究二階微分方程，他在他的力學(xué)研究中對(duì)這個(gè)問題產(chǎn)生了興趣，他在對(duì)阻尼介質(zhì)中的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行研究時(shí)就用到了二階微分方程。歐拉還在空氣對(duì)投射體的阻力影響的研究中討論了一類二階微分方程，他利用變量替換把這類二階微分方程轉(zhuǎn)化為一階微分方程。也就是方程axmdxp=yndyp-2d2y或者它的微商形式的方程（dydx）p-2d2ydx2=axmyn。歐拉通過變量替換y=evt（v），x=eαv引入新的變量t和v，其中α是待定的常數(shù)。而x和y是關(guān)于v的參數(shù)方程，這樣就可以計(jì)算dy/dx和d2y/dx2，這樣帶入上述的二階微分方程就可以得到v作為自變量t作為函數(shù)的一個(gè)二階方程，然后通過固定α從而消去指數(shù)因子，再通過變量替換z=dv/dt，二階微分方程就轉(zhuǎn)化給一個(gè)一階微分方程。

丹尼爾·伯努利以一篇題為《關(guān)于用柔軟細(xì)繩聯(lián)結(jié)起來的一些物體以及垂直懸掛的鏈線的振動(dòng)定理》中提出，上端固定的懸鏈線，在沒有重量但帶有等間隔的重荷條件下，當(dāng)線振動(dòng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)可以通過懸掛點(diǎn)的垂線做不同振幅的振動(dòng)，這些振動(dòng)的重荷都有各自的特征頻率。對(duì)于一定長(zhǎng)度的均勻的懸鏈線，丹尼爾.伯努利給出了從最低點(diǎn)x到位移y的微分方程αddx（xdydx）+y=0，這個(gè)方程的解是一個(gè)無窮級(jí)數(shù)，這個(gè)方程的解在現(xiàn)在的教科書中表示為y=AJ0（2xα），其中J0是零階的貝塞爾函數(shù)Jn（x）=（x2）n∑∞k=0（-1）k（x/2）2kk?。╧+n）?。╪是正整數(shù)或0），其中α滿足J0（2lα）=0，其中l(wèi)代表懸鏈的長(zhǎng)度，丹尼爾.伯努利斷定上述方程有無數(shù)個(gè)根，并且這些根會(huì)越來越小并趨于零，他還求得了α的最大值，而每一個(gè)α值都對(duì)應(yīng)著一個(gè)振動(dòng)模式和一個(gè)特征頻率。他在弦的振動(dòng)諧音以及高階模式的研究上超過了前輩。在關(guān)于懸鏈線的論文中，丹尼爾討論了非均勻的振動(dòng)鏈，在論文中他引進(jìn)了微分方程αddxg（x）dydx+ydg（x）dx=0，其中g(shù)（x）=（x/l）2，他求解了這個(gè)微分方程的級(jí)數(shù)解，我們現(xiàn)在可以把它寫成y=2A（2xα）-12J1（22xα），其中J1（22lα）=0，J1是第一類一階的貝塞爾函數(shù)。

不難看出，丹尼爾的解答中有兩處失誤：第一，他沒有指出位移s是時(shí)間t的函數(shù)，所以，他在數(shù)學(xué)上的研究就停留在常微分方程的范疇;第二，他沒意識(shí)到所研究的簡(jiǎn)單運(yùn)動(dòng)模式可以疊加成復(fù)雜運(yùn)動(dòng)。在丹尼爾完成了一篇以樂聲為主題的論文《建立在諧振原理基礎(chǔ)上的音樂理論的研究》之后，歐拉緊隨其后，以一篇題為《關(guān)于帶有任意多個(gè)重量的柔軟細(xì)繩的振動(dòng)》推導(dǎo)出了和丹尼爾相仿的結(jié)論，只不過歐拉在丹尼爾研究的基礎(chǔ)上，對(duì)數(shù)學(xué)問題的掌握和推導(dǎo)更精細(xì)，表達(dá)的數(shù)學(xué)結(jié)論也更精確。對(duì)于重力正比于xn的特殊情形，歐拉推導(dǎo)出的方程為xn+1d2ydx2+dydx+yα=0，歐拉推導(dǎo)出的級(jí)數(shù)解Lv（z）=∑

SymboleB@ n=0（z/2）v+2nn！Γ（v+n+1），我們現(xiàn)在的表達(dá)式為y=Aq-n2In（2q），q=-（n+1）xα，由于n是任意的常數(shù)，所以歐拉就引進(jìn)了任意實(shí)指數(shù)的貝塞爾函數(shù)，他還推導(dǎo)出了用積分表示的解y= A∫10（1-t2）（2n-1）/2cosh2t（n+1）xαdt∫10（1-τ2）（2n-1）/2dx。這應(yīng)該是二階微分方程的解用積分表示的最早結(jié)果。

參考文獻(xiàn)：

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