李 玲， 云強(qiáng)強(qiáng)， 李治強(qiáng)， 蔡安江， 段志善

(西安建筑科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院 西安，710055)

引 言

為了滿足特定的要求，絕大部分機(jī)械設(shè)備由許多零件、部件及其相互連接的結(jié)合面組成[1]，結(jié)合面的種類很多，但都是相互接觸的粗糙表面且起著傳遞運(yùn)動(dòng)、載荷和能量的重要作用。實(shí)際工程中普遍采用潤(rùn)滑劑和添加涂層等方式降低摩擦因數(shù)，減少表面磨損，提高設(shè)備使用壽命，但會(huì)引起結(jié)合面復(fù)雜多變的接觸特性。

針對(duì)這一問題，國內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量的研究[2-3]。Greenwood和Williamson基于Hertz理論提出粗糙表面的接觸模型(簡(jiǎn)稱GW模型[4])，將單個(gè)剛性球體與彈性半空間的接觸擴(kuò)展為一個(gè)剛性平面與一個(gè)粗糙表面間的接觸，通過統(tǒng)計(jì)學(xué)方法分析多種因素對(duì)結(jié)合面的影響規(guī)律；但該模型受假設(shè)條件的約束，忽略了微凸體的塑性變形、微凸體之間的相互作用以及基體變形，無法準(zhǔn)確地描述粗糙表面的接觸特性。為了修正GW模型的假設(shè)條件，Chang等[5]提出了一種用于分析粗糙表面接觸的彈塑性模型(CEB模型)，該模型基于塑性變形期間微凸體的體積守恒，獲得了微凸體的臨界塑性變形。Kogut和Etsion基于CEB模型提出了彈塑性微觀接觸模型(K-E模型[6-7])，使用有限元方法研究了單個(gè)球體與剛性平板的接觸問題，揭示了微凸體從彈性、彈塑性到完全塑性的3個(gè)不同階段。進(jìn)一步地，Chandrasekar等[8]利用有限元方法對(duì)粗糙表面接觸過程進(jìn)行仿真，發(fā)現(xiàn)微凸體相互作用對(duì)結(jié)合面接觸特性有著明顯的影響，所提出的模型能很好地反映結(jié)合面的法向載荷-變形關(guān)系。Iida等[9]基于Green函數(shù)計(jì)算相鄰微凸體側(cè)向接觸引起的位移，研究了微凸體之間的相互作用。Wang等[10]基于彈性理論，獲得了微凸體相互作用引起的變形，提出了考慮微凸體相互作用影響的分形接觸剛度模型。

關(guān)于混合潤(rùn)滑條件下結(jié)合面的研究，文獻(xiàn)[11-12]基于Greenwood和Tripp模型給出了結(jié)合面彈流潤(rùn)滑的數(shù)值解，考慮了微凸體相互作用對(duì)液體介質(zhì)厚度的影響。Gonzalez-Valadez等[13]基于界面的超聲反射系數(shù)與接觸剛度之間的關(guān)系，采用超聲反射回波測(cè)試方法獲得混合潤(rùn)滑結(jié)合面的接觸剛度，實(shí)現(xiàn)了固體表面接觸剛度與液體介質(zhì)接觸剛度的耦合。上述文獻(xiàn)均基于傳統(tǒng)模型研究了潤(rùn)滑狀態(tài)下粗糙接觸界面的接觸特性，忽略了基體變形的影響。但是，如果粗糙表面上包含硬涂層或表面膜時(shí)，粗糙表面將由表面涂層與基體組成，此時(shí)傳統(tǒng)模型無法準(zhǔn)確地描述其接觸行為。

為進(jìn)一步分析混合潤(rùn)滑狀態(tài)下結(jié)合面的接觸特性，彌補(bǔ)上述模型不能研究基體變形的不足，筆者基于二維分形理論建立了混合潤(rùn)滑狀態(tài)下考慮基體變形的結(jié)合面接觸模型。綜合單微凸體-基體系統(tǒng)模型，獲得考慮基體變形的固體表面接觸剛度。同時(shí)，利用固體表面的接觸剛度計(jì)算液體介質(zhì)的等效厚度，推導(dǎo)了液體介質(zhì)的接觸剛度。

1 混合潤(rùn)滑條件下結(jié)合面接觸模型

兩粗糙表面之間的接觸可以簡(jiǎn)化為剛性平面與等效粗糙表面之間的接觸，混合潤(rùn)滑狀態(tài)下，它們之間的間隙由潤(rùn)滑劑填充，如圖1(a)所示。此時(shí)，基于剛度分配思想，結(jié)合面的法向接觸剛度K由固體部分和潤(rùn)滑劑部分并聯(lián)連接[14]，如圖1(b)所示，可表示為

K=KS+KL

(1)

其中：KS和KL分別為固體表面的接觸剛度和液體介質(zhì)的接觸剛度。

圖1 混合潤(rùn)滑條件下結(jié)合面接觸示意圖Fig.1 Schematic diagram of joint surface in mixed lubrication

1.1 單微凸體-基體系統(tǒng)建模

當(dāng)機(jī)械表面含有硬質(zhì)涂層，粗糙表面被假設(shè)為基體與微凸體的組合。作用于表面的法向載荷通過微凸體傳遞到基體，此時(shí)微凸體和基體可以假設(shè)為兩個(gè)串聯(lián)的彈簧，如圖2所示。

圖2 接觸模型原理圖Fig.2 Schematic of the contact model

圖2中系統(tǒng)的總變形量δ是微凸體變形量δa與基體變形量δb之和，如式(2)[15]所示

(2)

其中：k為微凸體-基體系統(tǒng)的剛度；ka為微凸體的剛度；kb為基體的剛度。

根據(jù)剛度的定義，單個(gè)微凸體的法向接觸剛度[16]可以表示為

(3)

基于彈性理論，基體表面的變形量[5]表示為

根據(jù)平衡條件，微凸體變形引起的基體變形量為

(6)

聯(lián)立式(5)和式(6)，可以得到基體的剛度kb為

(7)

聯(lián)立式(2)～(7)可知

(8)

化簡(jiǎn)得

(9)

令δa=f(δ)，式(9)可以表示為

(10)

利用不動(dòng)點(diǎn)迭代法，可以得到式(10)的近似解，則式(10)又可以表示為

(11)

其中：n=0，1，…，∞，迭代的次數(shù)越多得到的結(jié)果越精確。

為計(jì)算方便，取起始點(diǎn)f0為

(12)

將式(12)代入式(11)進(jìn)行迭代，發(fā)現(xiàn)只需迭代2次得到的近似解就非常接近于計(jì)算得到的數(shù)值解，且誤差不超過5%，因此微凸體的變形量可以近似為前2次迭代的解

(13)

圖3描述了采用數(shù)值解法的式(8)和近似解法的式(13)求得的微凸體形變量在不同涂層下的對(duì)比。其中：橫坐標(biāo)表示系統(tǒng)實(shí)際位移；縱坐標(biāo)表示微凸體的位移量；κ表示微凸體材料與基體材料復(fù)合彈性模量的比值。由圖3可知，對(duì)于不同的κ值，數(shù)值解與近似解都基本重合，滿足誤差范圍，所以采用近似解替代數(shù)值解是有效的。當(dāng)κ<1時(shí)，微凸體材料比基體材料軟，微凸體的變形占主導(dǎo)作用；當(dāng)κ>1時(shí)，隨著微凸體材料硬度的增加，微凸體的形變量減小，基體的形變量增大，此時(shí)基體的變形量占主導(dǎo)地位。從上述結(jié)果可知，表面涂層較硬時(shí)，基體的變形對(duì)接觸行為的影響很大。

圖3 微凸體形變量數(shù)值解與近似解的對(duì)比Fig.3 Comparisons of single asperity deformation with applied displacement between the numerical solution and approximate solution

基于Weierstrass-Mandelbrot函數(shù)(W-M函數(shù))粗糙表面的表面輪廓[17]可以表征為

(14)

其中：z(x)為隨機(jī)表面輪廓高度；L為試樣取樣長(zhǎng)度；D為分形維數(shù)(1

根據(jù)式(14)可得單個(gè)微凸體產(chǎn)生的變形為基波波峰與波谷之間的距離

δ=2(4-1.5D)G(D-1)(lnγ)0.5π(0.5D-1)a(1-0.5D)

(15)

此時(shí)微凸體的實(shí)際變形量可表示為

(16)

其中：

由文獻(xiàn)[15]可知，微凸體高度可以設(shè)為實(shí)際位移的3倍，即

ha=3δ=

3×2(4-1.5D)G(D-1)(lnγ)0.5π(0.5D-1)a(1-0.5D)

(17)

根據(jù)式(14)微凸體的曲率半徑可以表示為

(18)

因此，單個(gè)微凸體彈性接觸載荷為

(19)

研究表明，微凸體的接觸變形存在彈性變形和塑性變形。其中微凸體的臨界屈服變形[5]為

(20)

其中：H為較軟材料的硬度；E′為等效彈性模量；K為較軟材料的硬度系數(shù)，K=0.464+0.41υa。

當(dāng)δ=δe時(shí)，臨界屈服接觸面積為

(21)

在完全塑性變形階段，微凸體的塑性接觸載荷[17]可以表示為

fp=λσya

(22)

1.2 結(jié)合面固體表面的法向載荷與剛度

微凸體的接觸面積分布函數(shù)n(a)與最大接觸面積al之間的關(guān)系[17]為

(23)

因此，結(jié)合面產(chǎn)生的法向載荷可以表示為

(24)

同樣地，聯(lián)立式(21)和式(23)可得結(jié)合面的接觸面積為

(25)

由于產(chǎn)生彈性變形的微凸體儲(chǔ)存彈性應(yīng)變能，所以結(jié)合面固體表面法向接觸剛度可以用彈性應(yīng)變能表示，聯(lián)立式(3)、式(21)和式(23)，得到考慮基體變形的結(jié)合面固體法向接觸剛度為

(26)

1.3 液體介質(zhì)的接觸剛度

混合潤(rùn)滑狀態(tài)下，潤(rùn)滑介質(zhì)填充于兩粗糙表面間，此時(shí)結(jié)合面的接觸剛度由固體部分和液體部分組成。假設(shè)微凸體的平均高度平面與剛性平面之間的空間充滿潤(rùn)滑油，當(dāng)液體潤(rùn)滑層中介質(zhì)很薄時(shí)，液體質(zhì)量可以忽略，此時(shí)，液體潤(rùn)滑層可以通過一系列輕質(zhì)彈簧來替代，如圖4所示。

圖4 固-液-固接觸示意圖Fig.4 Schematic diagram of body-lubricant-body contact model

此時(shí)液體介質(zhì)接觸剛度[13]可以表示為

KL=ρc2/h

(27)

其中：h為液體介質(zhì)的等效厚度；c為縱波在介質(zhì)中的傳播速度；ρ為介質(zhì)的密度。

潤(rùn)滑材料的聲學(xué)特性如表1所示。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，將油膜的厚度[13]等效為

表1 潤(rùn)滑材料的聲學(xué)特性

(28)

其中：d0為光滑剛性平面與微凸體平均高度平面之間的初始距離，d0=3σ，σ為等效粗糙表面微凸體高度的均方差；Δd為粗糙表面的等效彈性變形量；KS為固體表面的彈性接觸剛度。

聯(lián)立式(27)和式(28)得液體介質(zhì)的接觸剛度為

(29)

根據(jù)式(26)和(29)式得結(jié)合面的總接觸剛度為

K=KS+KL=

(30)

2 表面形貌參數(shù)確定

根據(jù)Majumdar等[18]的研究，結(jié)合面的表面形貌具有分形特征，采用結(jié)構(gòu)函數(shù)法將表面輪廓曲線視為一個(gè)時(shí)間序列，則具有分形特征的時(shí)間序列能使其采樣數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)函數(shù)滿足

S(τ)=αG(2D-1)τ(4-2D)

(31)

其中

(32)

其中：Γ表示第2類歐拉積分；τ為粗糙表面測(cè)量?jī)x器的最小采樣間距。

對(duì)式(31)兩端取對(duì)數(shù)得

lgS(τ)=lgα+(2D-1)lgG+(4-2D)lgτ

(33)

由此，可以通過雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中直線的斜率和截距求解粗糙輪廓的分形維數(shù)D與特征尺度系數(shù)G。假設(shè)直線的斜率為C，截距為b，則

(34)

選用3組測(cè)量試樣，結(jié)合面的名義接觸面積為An=0.01 m2，材料為20CrMo，表面通過銑削加工，利用Talysurf表面輪廓儀測(cè)量表面形貌，放大倍率為1 000倍。選用測(cè)定微凸體高度標(biāo)準(zhǔn)偏差分別為0.72，2.68和5.63 μm的試樣，根據(jù)式(34)可求得分形維數(shù)D和分形粗糙度系數(shù)G的參數(shù)值見表2。

表2 不同粗糙度下的D與G值

Tab.2 Fractal parameters values in different surfaceroughness

σ/μmDG/m0.721.521×10-112.681.461×10-115.631.465×10-11

3 模型驗(yàn)證與結(jié)果分析

3.1 模型驗(yàn)證

為了驗(yàn)證第1節(jié)所建模型的正確性，將模型計(jì)算的剛度值與Gonzalez-Valadez等[13]采用超聲反射系數(shù)獲得的潤(rùn)滑界面剛度值進(jìn)行對(duì)比。試驗(yàn)選用的材料為40CrNiMoA(EN24)，其中潤(rùn)滑劑為油，測(cè)試試樣的表面粗糙度Ra=3.90 μm，其他參數(shù)如表1所示。式(26)和式(29)獲得的剛度值與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比如圖5所示。由圖可知，無論固體接觸剛度還是液體介質(zhì)接觸剛度，模型所得結(jié)果都與參考試驗(yàn)結(jié)果一致，說明筆者提出的模型可以有效地預(yù)測(cè)混合潤(rùn)滑狀態(tài)下結(jié)合面的接觸特性。

圖5 新模型計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig.5 Comparison of the new model results and experimental results

3.2 基體變形對(duì)結(jié)合面的影響

當(dāng)粗糙表面含有硬質(zhì)涂層時(shí)，基體對(duì)結(jié)合面接觸特性的影響不可忽略，通過傳統(tǒng)接觸模型分析的結(jié)果會(huì)產(chǎn)生偏差。圖6為法向載荷隨真實(shí)接觸面積的變化規(guī)律，橫坐標(biāo)為真實(shí)接觸面積與名義接觸面積的比值(無量綱參數(shù))，結(jié)合面分形參數(shù)取D=1.52，G=1×10-11m。由圖6(a)可知，當(dāng)真實(shí)接觸面積一定時(shí)，通過新模型計(jì)算的法向載荷明顯低于不考慮基體變形的模型。此外，涂有不同硬度的材料時(shí)，結(jié)合面的法向載荷隨真實(shí)接觸面積的變化規(guī)律如圖6(b)所示。圖中有3組曲線，分別為κ=0.1，κ=1，κ=10，κ表示微凸體材料與基體材料復(fù)合彈性模量的比值。從圖中可以看出，當(dāng)真實(shí)接觸面積一定時(shí)，法向載荷隨著κ值的增加而增加。

圖6 法向載荷隨真實(shí)接觸面積的變化規(guī)律Fig.6 Variation of normal load with real contact area

大部分微凸體的球形區(qū)域被認(rèn)為包含在基體中，所以式(3)和式(7)中包括了基體接觸變形的影響。因此當(dāng)微凸體和基體材料相同時(shí)，即κ=1，新模型計(jì)算的接觸變形量將高于實(shí)際接觸變形量。為了得到一個(gè)確切的接觸剛度解，需對(duì)式(3)進(jìn)行修改，排除其中基體對(duì)微凸體剛度的影響。然而，當(dāng)微凸體材料比基體材料硬時(shí)，較軟基體的接觸變形在整個(gè)接觸過程中占主導(dǎo)地位，因此式(3)使用Hertz解的影響將會(huì)很小，最終導(dǎo)致的誤差可以忽略。

3.3 不同表面形貌對(duì)結(jié)合面的影響

不同表面形貌時(shí)結(jié)合面的法向載荷和法向接觸剛度-真實(shí)接觸面積關(guān)系曲線如圖7所示。選取σ分別為0.72，2.68和5.63 μm的3組試樣進(jìn)行對(duì)比分析，σ越大表面越粗糙。圖7(a)為不同表面形貌下結(jié)合面的法向載荷隨真實(shí)接觸面積的變化規(guī)律，由圖可知，法向載荷隨真實(shí)接觸面積的增加而增加，當(dāng)真實(shí)接觸面積一定時(shí)，表面越光滑所需的法向載荷越小。同樣地，圖7(b)為不同表面形貌下結(jié)合面法向接觸剛度隨真實(shí)接觸面積的變化規(guī)律，與圖7(a)相反，當(dāng)真實(shí)接觸面積一定時(shí)，表面越光滑結(jié)合面的接觸剛度越大。這是由于表面越光滑，單位面積上微凸體個(gè)數(shù)越多，單個(gè)微凸體承受的法向載荷越小，單位變形的法向載荷越大。

圖7 不同表面形貌時(shí)載荷和剛度隨真實(shí)接觸面積的變化曲線Fig.7 Relationship between load and stiffness and real contact area with different surface topography

圖8 不同潤(rùn)滑介質(zhì)時(shí)剛度隨真實(shí)接觸面積的變化曲線Fig.8 Relationship between stiffness and real contact area for different lubricant

3.4 不同潤(rùn)滑介質(zhì)對(duì)結(jié)合面的影響

混合潤(rùn)滑狀態(tài)下，結(jié)合面的接觸剛度等效為液體介質(zhì)的接觸剛度和固體表面的彈性接觸剛度。圖8為不同潤(rùn)滑介質(zhì)時(shí)剛度隨真實(shí)接觸面積的變化曲線。圖8(a)表示潤(rùn)滑劑為油時(shí)結(jié)合面的接觸剛度隨真實(shí)接觸面積的變化規(guī)律，其中：圓圈表示液體油膜的接觸剛度；三角形表示固體表面的彈性接觸剛度；正方形表示結(jié)合面的總接觸剛度。從圖中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)真實(shí)接觸面積較小時(shí)，液體油膜的接觸剛度遠(yuǎn)大于固體表面的接觸剛度，此時(shí)液體油膜的剛度占主導(dǎo)作用。隨著真實(shí)接觸面積的增加，液體油膜剛度緩慢增加但固體表面的接觸剛度遞增速率明顯大于液體油膜接觸剛度，液體油膜剛度占總剛度的比率逐漸降低(表面越光滑減小的越快)，最后轉(zhuǎn)變?yōu)楣腆w的接觸剛度主導(dǎo)結(jié)合面的接觸剛度,如圖9所示。

圖9 不同表面形貌時(shí)液體介質(zhì)剛度的占比情況Fig.9 The proportion of lubricat stiffness in different surface topography

圖8(b)為干摩擦結(jié)合面的接觸剛度隨真實(shí)接觸面積的變化規(guī)律，潤(rùn)滑劑默認(rèn)為空氣。由圖可知，圓圈表示空氣的接觸剛度，幾乎趨近于零；三角形表示固體表面的彈性接觸剛度，與正方形表示的結(jié)合面總接觸剛度基本重合。這說明該模型同樣適用于干摩擦情況下結(jié)合面的接觸特性研究。

4 結(jié) 論

1) 當(dāng)粗糙表面含有硬涂層時(shí)，基體的接觸變形不可忽略，通過傳統(tǒng)接觸模型分析的結(jié)果會(huì)產(chǎn)生偏差。當(dāng)真實(shí)接觸面積一定時(shí)，通過新模型計(jì)算的法向載荷明顯低于不考慮基體變形的模型，且粗糙表面的法向載荷隨著涂層硬度的增加而增加。

2) 隨著表面粗糙度的增加，單位面積上微凸體個(gè)數(shù)減少，單個(gè)微凸體承受的法向載荷增加，單位變形的法向載荷(剛度)減小，即當(dāng)真實(shí)接觸面積一定時(shí)，結(jié)合面的法向載荷隨著表面粗糙度的增加而增加，而法向接觸剛度隨著表面粗糙度的增加而減少。

3) 混合潤(rùn)滑狀態(tài)下結(jié)合面的接觸剛度由固體表面的接觸剛度和液體介質(zhì)的接觸剛度組成。在接觸前期結(jié)合面的接觸剛度主要由液體介質(zhì)接觸剛度主導(dǎo)，隨著真實(shí)接觸面積的增加液體接觸剛度占總剛度的比率越來越小，最后轉(zhuǎn)變?yōu)楣腆w接觸剛度主導(dǎo)結(jié)合面的接觸剛度。