航天器多艙段多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)整體式拓?fù)洳季謨?yōu)化設(shè)計(jì)

郭文杰，王立凱，聶小華，段世慧，朱繼宏

（1. 中國(guó)飛機(jī)強(qiáng)度研究所，西安，710065；2. 西北工業(yè)大學(xué)，西安，710072）

0 引 言

結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)經(jīng)過(guò)30余年的發(fā)展和完善，在理論和工程應(yīng)用中取得顯著成就，已逐步成為結(jié)構(gòu)概念設(shè)計(jì)階段的一項(xiàng)重要技術(shù)，在提高飛行器結(jié)構(gòu)性能、減輕結(jié)構(gòu)質(zhì)量上扮演著重要的角色[1~5]。尤其在航天器等包含部件艙段的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)過(guò)程中，往往需要同時(shí)考慮組件設(shè)備的空間布局以及支撐結(jié)構(gòu)的材料布局，這類同時(shí)考慮組件設(shè)備布局以及支撐結(jié)構(gòu)材料布局的整體式拓?fù)洳季謨?yōu)化問(wèn)題已經(jīng)引起相關(guān)學(xué)者的關(guān)注，并取得了一定的研究進(jìn)展[6~13]。

結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的整體式拓?fù)洳季謨?yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題面臨的主要挑戰(zhàn)是如何有效避免不同組件設(shè)備之間的幾何干涉。工程中較為常用的方法是 Zhu[14]等提出的采用有限包絡(luò)圓方法（Finite Circle Method，F(xiàn)CM）近似描述組件設(shè)備的外形，將不同組件設(shè)備之間的幾何干涉約束轉(zhuǎn)換為不同包絡(luò)圓圓心距的約束，解決了幾何干涉問(wèn)題，但是為優(yōu)化問(wèn)題引入了大量的干涉約束函數(shù)，增加了求解的難度。一些學(xué)者提出使用 KS函數(shù)[15]等約束凝聚方法縮減約束數(shù)目，但對(duì)于處理包含數(shù)百個(gè)干涉約束的含有部件艙段的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)整體式拓?fù)洳季謨?yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題還存在一定困難。

在前期工作的基礎(chǔ)上[16,17]，進(jìn)一步將方法加以完善和改進(jìn)，應(yīng)用FCM描述組件設(shè)備的外形，應(yīng)用多點(diǎn)約束技術(shù)（Multi-point Constraints，MPC）模擬組件、部件艙段、主體結(jié)構(gòu)之間的連接關(guān)系，提出新的處理大量組件干涉約束的罰函數(shù)方法，以結(jié)構(gòu)的整體剛度最大化為設(shè)計(jì)目標(biāo)，對(duì)包含部件艙段、組件設(shè)備的航天器結(jié)構(gòu)系統(tǒng)進(jìn)行整體式拓?fù)洳季謨?yōu)化設(shè)計(jì)。

1 優(yōu)化設(shè)計(jì)模型定義

事實(shí)上，包含干涉約束的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的整體式拓?fù)洳季謨?yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，一般以結(jié)構(gòu)系統(tǒng)剛度最大化為目標(biāo)，本工作引入的懲罰函數(shù)只對(duì)優(yōu)化模型中的干涉約束進(jìn)行處理，其他約束條件不予懲罰?？紤]如下所示的約束優(yōu)化問(wèn)題：

式中f(x)為目標(biāo)函數(shù)；gm為由 FCM 描述的任意一個(gè)干涉約束函數(shù)，這種形式的干涉約束函數(shù)的數(shù)目記為M。下文首先以傳統(tǒng)的內(nèi)、外點(diǎn)懲罰函數(shù)方法為例引出本工作提出的罰函數(shù)方法。

1.1 傳統(tǒng)的內(nèi)、外點(diǎn)懲罰函數(shù)方法[18]

對(duì)于上述優(yōu)化問(wèn)題，應(yīng)用內(nèi)點(diǎn)法可以將其轉(zhuǎn)化為無(wú)干涉約束的優(yōu)化問(wèn)題，形式為

通過(guò)內(nèi)點(diǎn)法，所有滿足約束條件的非零約束函數(shù)都被以反比例函數(shù)的形式予以懲罰，這樣的滿足約束條件的解如果在可行域內(nèi)部靠近了可行域邊界，那么其懲罰項(xiàng)會(huì)被放大，構(gòu)筑起類似于“高墻”一樣的界限，阻止或避免解跳出可行域。

與內(nèi)點(diǎn)法相對(duì)，根據(jù)懲罰函數(shù)的相關(guān)理論，傳統(tǒng)的外點(diǎn)懲罰函數(shù)方法可以寫成如下形式：

當(dāng)約束違背約束條件后，由于二次函數(shù)的作用，其目標(biāo)函數(shù)值被放大，優(yōu)化算法在尋找新的極小值時(shí)，為了得到極小解，需保證懲罰項(xiàng)足夠小，算法會(huì)違背約束條件的約束函數(shù)拉進(jìn)或拉近可行域，從而起到懲罰的作用。

圖1和圖2為2種懲罰方法的原理性示意圖。

圖1 內(nèi)點(diǎn)法原理示意Fig.1 Interior Penalty Term of gm

圖2 外點(diǎn)法原理示意Fig.2 Exterior Penalty Term of gm

內(nèi)點(diǎn)法能夠處理的約束必須嚴(yán)格落在可行域內(nèi)部，且初始點(diǎn)也需要落在可行域內(nèi)部，在迭代過(guò)程中，每一組解都是可行域內(nèi)部的解，可以作為原優(yōu)化問(wèn)題的近似解，但是，如果問(wèn)題的解在優(yōu)化過(guò)程中不慎跳出可行域，那么內(nèi)點(diǎn)法就失效了；外點(diǎn)法以其構(gòu)造簡(jiǎn)便、對(duì)初始點(diǎn)要求不高而被廣泛應(yīng)用于求解包含等式約束、不等式約束等問(wèn)題中，但其在優(yōu)化過(guò)程中只能對(duì)那些位于可行域外部的解進(jìn)行懲罰，且最終獲得的解往往位于可行域邊界上，對(duì)于落在可行域內(nèi)部的解其不做任何懲罰，也就是說(shuō)對(duì)于已滿足約束條件的解，外點(diǎn)法不能對(duì)其構(gòu)成懲罰，無(wú)法避免解跳出可行域。

實(shí)際上，如果解在可行域外部，要將其拉進(jìn)可行域，如果落入可行域內(nèi)部，阻止其跳出，這樣更利于優(yōu)化問(wèn)題快速得到最優(yōu)解。

1.2 改進(jìn)的懲罰函數(shù)方法

對(duì)于式（1），考慮構(gòu)造一種形如式（4）的懲罰函數(shù)：

關(guān)于變量t的分段函數(shù)為

式中 a，b，c，w，h為分段函數(shù)控制參數(shù)。懲罰函數(shù)在約束條件滿足時(shí)，用指數(shù)形式的函數(shù)實(shí)現(xiàn)對(duì)約束的微小懲罰，在約束條件違背時(shí)，用二次函數(shù)形式進(jìn)行懲罰，違背越大，懲罰力度越大。

為便于優(yōu)化算法求解，希望得到一種能夠連續(xù)且可導(dǎo)的懲罰項(xiàng)，因?yàn)槿绻诜侄吸c(diǎn)上函數(shù)不可導(dǎo)，則無(wú)法為避免組件干涉提供尋優(yōu)方向。為了保證函數(shù)在t=0時(shí)的連續(xù)性和可導(dǎo)性，參數(shù)a，b，c，w和h必須滿足一定的條件，即：

這樣，可以得到控制參數(shù)之間的關(guān)系：

根據(jù)式（6）~（9），將包含大量非干涉約束條件的優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不含非干涉約束條件的優(yōu)化問(wèn)題，減少了優(yōu)化算法需要單獨(dú)處理的約束條件的數(shù)目，為求解包含大量組件、大量干涉約束的多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)布局優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題提供了有效的技術(shù)手段。分段函數(shù)如圖3所示。

圖3 懲罰項(xiàng)φ(t)示意曲線Fig.3 Curve of the Proposed Penalty Term φ(t)

由圖3可以看出，整個(gè)函數(shù)的形態(tài)完全由二次函數(shù)的系數(shù)決定，這也表明所提出的方法具有較強(qiáng)的可控性，取二次項(xiàng)系數(shù)a為可變參數(shù)，取b和c為不變參數(shù)，不同a的取值下的形態(tài)如圖4所示。

圖4 不同a的取值下φ(t)的形態(tài)示意Fig.4 Illustration of φ(t) Under Different Values of a

在多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)布局優(yōu)化設(shè)計(jì)中，當(dāng)不同組件之間發(fā)生干涉時(shí)，違背了約束條件的干涉約束的懲罰程度大小由二次項(xiàng)系數(shù)決定，而且干涉程度越大，懲罰程度也會(huì)越大。與此同時(shí)，當(dāng)干涉約束條件滿足時(shí)，仍然有圖4中o點(diǎn)右側(cè)部分保證每個(gè)干涉約束都受到一定的懲罰，這就在一定程度上保證了組件不會(huì)因處于可行解時(shí)而不受約束地跳出可行域，在一般情況下設(shè)置b為一個(gè)非零正數(shù)，因?yàn)樵诟缮婕s束為0時(shí)，希望有一個(gè)明確的尋優(yōu)方向，如果分段函數(shù)在自變量為0時(shí)有一個(gè)負(fù)的梯度，基于梯度的優(yōu)化算法，將指引組件從干涉向分開(kāi)的趨勢(shì)運(yùn)動(dòng)。

1.3 多艙段多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)布局優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型

本文應(yīng)用 MPC[19]模擬組件與其支撐結(jié)構(gòu)之間的剛性連接，引入多點(diǎn)約束技術(shù)后，多點(diǎn)約束方程和邊界條件方程可以統(tǒng)一寫成：

式中 H為由系統(tǒng)的有限單元、多點(diǎn)約束連接單元以及邊界條件共同確定的系數(shù)矩陣；u為系統(tǒng)的總體節(jié)點(diǎn)位移向量?？紤]多點(diǎn)約束方程后，修訂后的系統(tǒng)勢(shì)能為

式中 K為系統(tǒng)的總體剛度矩陣；f為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)總體節(jié)點(diǎn)載荷矢量；λ為引入的拉格朗日乘子向量。求解式（11）的駐點(diǎn)為

求解式（12）可以得到位移向量u和乘子向量λ。在優(yōu)化過(guò)程中，要考慮部件布局、組件布局、部件材料拓?fù)?、主體結(jié)構(gòu)材料拓?fù)溥@4類設(shè)計(jì)變量，即：

航天器多艙段多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)布局優(yōu)化設(shè)計(jì)以系統(tǒng)的總體剛度最大化為設(shè)計(jì)目標(biāo)，在給定部件隔框、主體結(jié)構(gòu)材料用量以及系統(tǒng)質(zhì)心位置約束的情況下，尋求合適的材料拓?fù)洳季?、組件、部件隔框的布局?？梢员硎鰹?/p>

式中 Vm，VmU分別為主體結(jié)構(gòu)上拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)所用材料體積分?jǐn)?shù)及其上限；Vf，VfU分別為編號(hào)為f的部件隔框拓?fù)鋬?yōu)化所用材料體積分?jǐn)?shù)及其上限；xG為系統(tǒng)的質(zhì)心位置分量；xGL，xGU為其上、下限。

為了避免部件隔框的組件之間、組件與設(shè)計(jì)區(qū)域邊界之間、部件隔框之間發(fā)生干涉，用有限包絡(luò)圓方法描述組件、部件隔框及其設(shè)計(jì)區(qū)域邊界的輪廓，這種約束可以寫成集合的形式：

引入改進(jìn)的懲罰函數(shù)后，優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)以及約束條件可以寫為

建立了包含部件隔框的多艙段多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)布局優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。

1.4 靈敏度求解

本文提出了使用改進(jìn)的罰函數(shù)處理大量的組件干涉約束，根據(jù)式（14）可知，目標(biāo)函數(shù)的靈敏度包括2個(gè)部分，即：系統(tǒng)應(yīng)變能及懲罰項(xiàng)的靈敏度，系統(tǒng)應(yīng)變能靈敏度的求解過(guò)程可參見(jiàn)文獻(xiàn)[17]、[18]，懲罰項(xiàng)的靈敏度可根據(jù)式（7）求得，體積分?jǐn)?shù)、質(zhì)心位置等約束的靈敏度均可以根據(jù)其物理表達(dá)式求得。

2 數(shù)值算例

以某航天器多艙段多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)布局優(yōu)化設(shè)計(jì)為例，證明本工作提出的方法的可行性。整個(gè)系統(tǒng)包含 2個(gè)可以沿艙體軸向 X平動(dòng)的部件隔框 B1，B2和1個(gè)不可動(dòng)部件隔框，每個(gè)隔框上布置3個(gè)互不相同的組件，各個(gè)組件在所屬部件隔框上運(yùn)動(dòng)，隔框與其組件組成一個(gè)部件系統(tǒng)，組件與部件隔框之間、部件隔框與主體結(jié)構(gòu)之間的連接均采用多點(diǎn)約束技術(shù)建立。

在整個(gè)筒體在頂部受扭矩T為300 N·m作用，扭矩通過(guò)剛性區(qū)域傳遞到筒體邊緣，整個(gè)艙內(nèi)承受0.1 MPa的內(nèi)壓力，為系統(tǒng)施加豎直向上的49 m/s2的加速度，整個(gè)筒體底邊通過(guò)4個(gè)區(qū)域的節(jié)點(diǎn)完全約束。初始時(shí)描述部件隔框 B1和 B2距艙體底座距離的位置設(shè)計(jì)變量h1和h2分別設(shè)定為0.40 m和1.00 m，艙段總體沿X向高度H為1.50 m。組件初始在各自隔框情況如圖5所示。

圖5 航天器設(shè)備艙結(jié)構(gòu)系統(tǒng)工況示意Fig.5 Load Condition Illustration of a Instrument Cabin System

續(xù)圖5

組件幾何模型及其有限包絡(luò)圓劃分情況如圖6所示。

圖6 組件幾何及有限包絡(luò)圓描述Fig.6 Discription of Components’ Geometry and FCM

系統(tǒng)材料屬性如表1所示。

表1 艙體系統(tǒng)材料屬性Tab.1 Material Property of the Cabin System

本算例中，每個(gè)部件隔框的設(shè)計(jì)區(qū)域邊界用2個(gè)大小不同的同心圓描述，這2個(gè)同心圓形成了組件所在的環(huán)形可動(dòng)空間，整個(gè)系統(tǒng)包含484個(gè)干涉約束，所有的干涉約束均用提出的改進(jìn)懲罰函數(shù)描述。約束主體結(jié)構(gòu)及部件隔框拓?fù)鋬?yōu)化所需材料用量上限均為40%。

首先，不考慮系統(tǒng)的質(zhì)心位置約束，聯(lián)合組件、部件隔框、主體結(jié)構(gòu)進(jìn)行拓?fù)洳季謪f(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)。如圖7~9所示，最終所有組件、部件隔框協(xié)同主體結(jié)構(gòu)共同承載并獲得了清晰的結(jié)構(gòu)構(gòu)型和組件的不干涉位置布局。優(yōu)化結(jié)果中h1=0.60 m，h2=1.20 m，系統(tǒng)的應(yīng)變能C收斂于12.50 J。由于引入了內(nèi)壓力和扭矩，筒體上形成了許多環(huán)向的支撐筋，最上、最下設(shè)計(jì)區(qū)域面板均形成了分散著的支撐結(jié)構(gòu)，部件隔框?yàn)橹谓M件設(shè)備、筒體，形成了扇區(qū)一樣的構(gòu)型。優(yōu)化結(jié)果中系統(tǒng)的質(zhì)心位置為（0.680 m，0.0305 m，-0.0250 m）。

圖7 第20次迭代，C=20.94JFig.7 The 20th Iteration, C=20.94J

圖8 第40次迭代，C=13.85JFig.8 The 40th Iteration, C=20.94J

圖9 優(yōu)化結(jié)果，C=12.50JFig.9 Optimized Result, C=12.50J

由于整個(gè)筒體內(nèi)各個(gè)組件在部件隔框上的可動(dòng)范圍不大，而且部件隔框的材料分布對(duì)筒體橫向質(zhì)心位置分量影響不大，引入系統(tǒng)在X軸方向上的質(zhì)心位置約束，約束其上限為0.65 m。保持其余條件不變進(jìn)行計(jì)算，系統(tǒng)最終的優(yōu)化構(gòu)型如圖10所示。

圖10 加質(zhì)心約束的優(yōu)化結(jié)果Fig.10 Optimized Design with Centroid Constraint

從圖10中可以看出，與不加質(zhì)心位置約束相比，本次優(yōu)化結(jié)果中，其中靠下的一個(gè)可動(dòng)部件隔框明顯向下移動(dòng)，以滿足系統(tǒng)的質(zhì)心位置要求，最終系統(tǒng)的質(zhì)心位置為（0.637 m，0.0318 m，-0.0248 m），部件隔框的位置分別為：h1=0.39 m，h2=1.20 m。圖11和圖12分別給出了有無(wú)質(zhì)心位置約束情況下系統(tǒng)的應(yīng)變能迭代曲線和軸向質(zhì)心位置分量變化曲線。

圖11 系統(tǒng)的應(yīng)變能變化曲線Fig.11 Design History of Global Strain Energy

圖12 系統(tǒng)X向質(zhì)心位置變化曲線Fig.12 Design History of Centroid Position in X Direction

3 結(jié) 論

本文結(jié)合工程實(shí)際，描述了一種多艙段多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，以傳統(tǒng)的多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)布局優(yōu)化設(shè)計(jì)研究為基礎(chǔ)，建立了多艙段多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)布局優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，為處理大量的組件干涉約束提出了改進(jìn)的懲罰函數(shù)方法，并應(yīng)用該方法完成了典型多艙段多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的拓?fù)洳季謪f(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)，驗(yàn)證了提出方法的可行性，拓寬了多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)布局優(yōu)化方法的應(yīng)用范圍，對(duì)解決復(fù)雜工程問(wèn)題有一定的參考意義。