(浙江省水利水電勘測(cè)設(shè)計(jì)院，杭州 310002)

1 研究背景

綜合式消力池是底流消能的重要形式之一，適應(yīng)于開(kāi)挖太大、造價(jià)不經(jīng)濟(jì)或河床不宜大量開(kāi)挖的情形。消力坎的作用是壅高坎前的水位形成消力池，其水力計(jì)算的主要任務(wù)是確定設(shè)計(jì)消力坎坎高，保障下游消能防沖安全。由于綜合式消力池的消能計(jì)算傳統(tǒng)計(jì)算方法十分復(fù)雜，特別是坎上淹沒(méi)系數(shù)計(jì)算，其計(jì)算值是坎高、下游水深、躍后共軛水深之間的復(fù)雜函數(shù)，通常采用反復(fù)查表試算法，計(jì)算繁瑣，效率低，不便于工程應(yīng)用。

目前坎式消力池坎高的計(jì)算方法主要為試算法[1]，其試算初值選取及是否收斂具有較大盲目性，過(guò)程繁瑣。黃朝煊等[2-5]對(duì)矩形斷面消力池池深極值、梯形斷面擴(kuò)散型消能計(jì)算、多級(jí)消能水力計(jì)算進(jìn)行了深入研究；文獻(xiàn)[6]、文獻(xiàn)[7]和文獻(xiàn)[8]則介紹了一種在池深d=0時(shí)(即只有消力坎消能)消力坎坎高的試算法，通過(guò)對(duì)水閘規(guī)范[1]中的坎上淹沒(méi)系數(shù)(即巴什基洛娃試驗(yàn)值)進(jìn)行數(shù)值擬合，進(jìn)而通過(guò)反復(fù)試算推求坎上淹沒(méi)系數(shù)，但計(jì)算仍較繁瑣，效率低，且坎上淹沒(méi)系數(shù)的擬合精度受到很大的限制。

Bakhtyar等[9]采用智能算法如粒子群算法(Particle Swarm Optimization,PSO)以及遺傳算法(Genetic Algorithm,GA)等對(duì)多級(jí)消力池水力參數(shù)進(jìn)行了程序優(yōu)化對(duì)比計(jì)算，但其原理與試算法基本一致。劉璐等[10]通過(guò)試驗(yàn)?zāi)Ｐ蛯?duì)消力池進(jìn)行了研究，但不能得出通用性規(guī)律。

鑒于當(dāng)前綜合式消力池坎高計(jì)算十分繁瑣且效率低的問(wèn)題，本文通過(guò)數(shù)學(xué)分析理論，結(jié)合MatLab數(shù)值分析軟件對(duì)考慮池深組合消能影響下綜合式消力池坎高的計(jì)算進(jìn)行深入研究。

2 綜合式消力池消能計(jì)算基本理論

2.1 綜合式消力池消能計(jì)算方程

綜合式消力池消能計(jì)算基本方程為[1]：

(1)

(2)

(3)

(4)

式中：c坎為坎高；σ0為水躍淹沒(méi)系數(shù)，可取1.05～1.10；h′c為躍后水深(m)；H10為消力坎坎上水頭(m)；q為單寬流量(m2/s)；g為重力加速度常數(shù)；d為組合消能中消力池池深(m)；m1為消力坎坎上的流量系數(shù)，與消力坎的形狀及池內(nèi)水力狀態(tài)有關(guān)，依據(jù)規(guī)范可取0.42；σs為坎上淹沒(méi)系數(shù)，與hs/H10有關(guān)，可按水閘規(guī)范[1]選取，其中hs=ht-c坎，ht為下游水深；hc為收縮斷面水深(m)；α為收縮斷面處水流動(dòng)能校正系數(shù)，可取1.0～1.05；T0為以收縮斷面底部為基準(zhǔn)面的泄水建筑物上游總水頭(m)；φ為流速系數(shù)，可取0.95。綜合式消能計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖1所示。

圖1 綜合式消能計(jì)算簡(jiǎn)圖Fig.1 Calculation sketch for comprehensive energy dissipation

圖2 坎上淹沒(méi)系數(shù)σs與 hs/H10關(guān)系曲線(xiàn)Fig.2 Relation between submergence coefficient σs and hs/H10

關(guān)于坎上淹沒(méi)系數(shù)，水閘規(guī)范[1]實(shí)際采用巴什基洛娃的淹沒(méi)系數(shù)試驗(yàn)成果，淹沒(méi)系數(shù)σs與淹沒(méi)度hs/H10的關(guān)系如圖2所示。根據(jù)規(guī)范，當(dāng)hs/H10>0.45時(shí)，坎上流態(tài)為淹沒(méi)出流，σs<1.0；當(dāng)hs/H10≤0.45時(shí)，坎上流態(tài)為非淹沒(méi)出流，σs=1.0。巴什基洛娃淹沒(méi)系數(shù)和淹沒(méi)度的關(guān)系是以表格形式給出的，無(wú)計(jì)算公式，不便于工程實(shí)際迭代試算。為了彌補(bǔ)不足，張志昌等[7]給出淹沒(méi)系數(shù)計(jì)算公式為

(5)

崔起麟[8]給出的淹沒(méi)系數(shù)計(jì)算公式為

(6)

通過(guò)計(jì)算驗(yàn)證對(duì)比分析，式(5)相對(duì)較簡(jiǎn)潔，并且式(5)最大相對(duì)誤差基本<1%，滿(mǎn)足工程實(shí)際應(yīng)用需求，因此，本文建議采用式(5)，其關(guān)系曲線(xiàn)如圖2所示。

由式(5)變換可得

(7)

由式(7)結(jié)合式(2)，消去參數(shù)H10得

由式(1)結(jié)合式(2)可得

(9)

結(jié)合式(8)、式(9)，消去c坎得

(10)

記式(10)等號(hào)右邊無(wú)量綱參數(shù)為

(11)

則式(11)可變換為

(13)

由式(13)可知，在相關(guān)水力參數(shù)確定的情況下，可根據(jù)無(wú)量綱參數(shù)K計(jì)算坎上淹沒(méi)系數(shù)σs。

根據(jù)大量工程水力計(jì)算經(jīng)驗(yàn)可知，參數(shù)K滿(mǎn)足關(guān)系式0

圖3 坎上淹沒(méi)系數(shù)σs與無(wú) 量綱參數(shù)K之間的關(guān)系曲線(xiàn)Fig.3 Relation between submergence coefficient σs and dimensionless parameter K

由圖3可知，當(dāng)無(wú)量綱參數(shù)K≥0.6時(shí)，坎上淹沒(méi)系數(shù)σs≥0.999，工程實(shí)際計(jì)算中可取σs=1，即認(rèn)為坎上流態(tài)為非淹沒(méi)出流。當(dāng)無(wú)量綱參數(shù)K<0.6時(shí)，根據(jù)MatLab軟件高精度數(shù)值計(jì)算分析，給出由無(wú)量綱參數(shù)K直接計(jì)算坎上淹沒(méi)系數(shù)σs的高精度解析計(jì)算式，即

σs=1.004-0.943exp(-9.02K) ，

K<0.6 。

(14)

無(wú)量綱參數(shù)K與坎上淹沒(méi)系數(shù)σs的計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1。由表1數(shù)值對(duì)比分析可知，本文高精度計(jì)算式(式(14))的最大相對(duì)誤差為0.405%，表明其計(jì)算精度完全滿(mǎn)足工程實(shí)際應(yīng)用要求。

表1 坎上淹沒(méi)系數(shù)σs與無(wú)量綱參數(shù)K計(jì)算結(jié)果Table 1 Calculated result of submergence coefficient σs and dimensionless parameter K

2.2 消力池水躍參數(shù)的簡(jiǎn)化計(jì)算分析

(15)

式中Fr為弗勞德數(shù)。

由于躍前收縮水深hc滿(mǎn)足三次方程，可以利用卡當(dāng)公式解求解，即無(wú)量綱收縮水深為

(16)

根據(jù)數(shù)值分析理論，對(duì)消力池躍后水深h′c進(jìn)行簡(jiǎn)化分析，利用MatLab軟件數(shù)值分析得h′c高精度擬合式為

(17)

同樣，可得水躍共軛水深比的高精度簡(jiǎn)潔計(jì)算式，即

η=h′c/hc=1.856 3×0.089 42λ×λ-0.270 38。(18)

相對(duì)躍后水深h′c/T0式(17)計(jì)算值與高精度數(shù)值解的關(guān)系見(jiàn)圖4，式(17)、式(18)的相對(duì)誤差均基本<0.3%，精度較高，完全滿(mǎn)足計(jì)算工程計(jì)算要求。

00.050.100.150.200.250.300.20.30.40.50.60.70.8 hc/T0

圖4 消力池相對(duì)躍后水深與無(wú)量綱參數(shù)λ的關(guān)系曲線(xiàn)
Fig.4 Relation between relative water depth afterhydraulic jump and dimensionless parameterλ

圖6 不同相對(duì)消力池深d/T0下c坎/T0與λ，ht/h′c關(guān)系曲面Fig.6 Surfaces of c坎/T0 against λ and ht/h′c in the presence of different values of d/T0

3 綜合式消力池坎高計(jì)算

對(duì)式(2)無(wú)量綱化，消力坎坎上水頭無(wú)量綱計(jì)算式為

(19)

對(duì)式(1)無(wú)量綱化，消力坎坎高無(wú)量綱計(jì)算式為

消力坎坎上淹沒(méi)系數(shù)σs由本文簡(jiǎn)潔計(jì)算式(式(14))直接給出；根據(jù)式(20)可知，由3個(gè)無(wú)量綱變量λ，ht/T0，d/T0可確定無(wú)量綱參數(shù)K值，進(jìn)而根據(jù)式(14)確定坎上淹沒(méi)系數(shù)σs，同時(shí)躍后相對(duì)水深h′c/T0可直接由無(wú)量綱參數(shù)λ給出，最后利用式(20)可計(jì)算相對(duì)坎高c坎/T0，其余參數(shù)為常數(shù)。

圖5為本文簡(jiǎn)潔的無(wú)量綱化坎高直接解析計(jì)算流程，下游水深可采用黃朝煊等[11-12]的解析算法求解。

圖5 無(wú)量綱值消力坎簡(jiǎn)化解析算法流程示意圖Fig.5 Flowchart of the simplified dimensionless analytical solution

為了便于直觀反映各變量之間的互相影響關(guān)系，依據(jù)本文簡(jiǎn)潔計(jì)算理論，通過(guò)MatLab編程數(shù)值計(jì)算分析，其中相對(duì)消力池深分別取d/T0=0，0.05，0.10，0.15共4組數(shù)據(jù)。通過(guò)數(shù)值分析計(jì)算，在不同相對(duì)消力池深d/T0下，相對(duì)消力坎坎高c坎/T0與λ，ht/h′c的關(guān)系曲面見(jiàn)圖6。

通過(guò)對(duì)圖6分析研究，可知在消力池與消力坎組合消能計(jì)算中，具有以下變化規(guī)律：

(1)消力池池深越大，消力坎坎高就越小，兩者近似滿(mǎn)足線(xiàn)性負(fù)相關(guān)關(guān)系，其原因主要為坎上淹沒(méi)系數(shù)σs與無(wú)量綱參數(shù)K之間關(guān)系的影響，即當(dāng)K≥0.6時(shí)，坎上淹沒(méi)系數(shù)σs=1，為非淹沒(méi)出流，此時(shí)，消力池池深與消力坎坎高滿(mǎn)足線(xiàn)性負(fù)相關(guān)關(guān)系；當(dāng)K<0.6時(shí)，坎上出流為淹沒(méi)出流，此時(shí)受淹沒(méi)系數(shù)σs<1的非線(xiàn)性影響，消力池池深與消力坎坎高呈現(xiàn)非線(xiàn)性影響關(guān)系。

(2)當(dāng)d/T0=0時(shí)，無(wú)量綱參數(shù)在0.01<λ<0.06范圍內(nèi)，消力坎坎高c坎受λ變化的影響很小(即0.2030.8時(shí)，隨著下游相對(duì)水深ht/h′c的增大，消力坎坎高逐漸減小，下游水深則起到水墊作用。

在工程實(shí)際運(yùn)行中，下泄單寬流量是動(dòng)態(tài)變化的，因此實(shí)際設(shè)計(jì)中可偏保守地取最不利單寬流量計(jì)算消力坎坎高，因此，最不利單寬流量下相對(duì)消力坎坎高最大值為cmax/T0=0.220 1。

(3)當(dāng)d/T0=0.05時(shí)，無(wú)量綱參數(shù)在0.015<λ<0.07范圍內(nèi)，消力坎坎高c坎受λ變化影響很小(即0.16

(4)當(dāng)d/T0=0.10和0.15時(shí)，由于消力池池深此時(shí)較大，消力坎坎高則明顯減小。當(dāng)d/T0=0.10時(shí)，最不利單寬流量下消力坎坎高最大值為cmax/T0=0.121。當(dāng)d/T0=0.15時(shí)，最不利單寬流量下相對(duì)消力坎坎高最大值為cmax/T0=0.069。

4 算例計(jì)算

4.1 算例1

采用文獻(xiàn)[5]中的算例，某隧洞出口接矩形消力池，為消力坎式消力池，即池深d=0，已知護(hù)坦面以上總水頭T0=11.6 m，相應(yīng)下游水深ht=3.5 m，設(shè)計(jì)護(hù)坦段單寬流量q=8.3 m3/(m·s)，其中出口至消力池的流速系數(shù)φ=0.95。試求：①根據(jù)下游水流銜接形式，判別是否設(shè)置消能設(shè)施；②如下游消能采用消力坎結(jié)構(gòu)，試求消力坎的設(shè)計(jì)高度。

與文獻(xiàn)[5]中先試算求出收縮水深hc，再求躍后水深的繁瑣算法相比，本文算法更直接快捷，且躍后水深計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[5]中給出的4.573 m基本一致，相對(duì)誤差僅為0.14%。

由于h′c>ht=3.5 m，所以需要修建消力池。

(2)計(jì)算淹沒(méi)系數(shù)。根據(jù)本文理論，無(wú)量綱參數(shù)K計(jì)算式為

根據(jù)式(14)可直接計(jì)算坎上淹沒(méi)系數(shù)為

σs=1.004-0.943exp(-9.02K) =1.004-

0.943exp(-9.02×0.536 5)=0.996 5 。

即坎上淹沒(méi)系數(shù)σs=0.996 5，與文獻(xiàn)[5]中繁瑣的試算法給出的淹沒(méi)系數(shù)σs=0.996 5完全一致。

(3)計(jì)算消力坎高度。先計(jì)算相對(duì)消力坎坎高

與文獻(xiàn)[5]中計(jì)算值2.237 m基本一致，可見(jiàn)本文理論計(jì)算精度完全可靠，且計(jì)算快捷方便，無(wú)需繁瑣的反復(fù)試算。

值得說(shuō)明的是，在d/T0=0時(shí)，依據(jù)本文對(duì)不同單寬流量參數(shù)λ、不同下游水深ht等各種工況下MatLab軟件計(jì)算曲面圖可知，cmax=(c坎/T0)maxT0=0.2201×11.6 m=2.553 m,大于本文在特定工況下的坎高計(jì)算值2.237 m，說(shuō)明本文數(shù)值計(jì)算理論合理可靠；因此在實(shí)際工程設(shè)計(jì)中可無(wú)需進(jìn)行各工況下的詳細(xì)計(jì)算，可以偏保守地取設(shè)計(jì)消力坎坎高最大值2.553 m作為工程實(shí)際設(shè)計(jì)值。

4.2 算例2

以文獻(xiàn)[13]《水力學(xué)》(下冊(cè))中算例為例，某溢流壩在單寬流量q=6.0 m2/s時(shí)，已知壩址收縮斷面水深及其共軛水深分別為hc=0.42 m，h′c=3.96 m，若下游水深ht=3.5 m，試設(shè)計(jì)其坎式消力池消力坎坎高，其中坎上流量系數(shù)m=0.42。

由于相對(duì)池深d/T0=0，根據(jù)式(12)可知

根據(jù)式(14)可直接計(jì)算坎上淹沒(méi)系數(shù)為

σs=1.004-0.943exp(-9.02K)=

1.004-0.943exp(-9.02×0.350)=0.963 。

即坎上淹沒(méi)系數(shù)σs=0.963，文獻(xiàn)[5]中繁瑣的試算法(坎上淹沒(méi)系數(shù)采用直線(xiàn)內(nèi)插法)給出的淹沒(méi)系數(shù)σs=0.956，由于本文坎上淹沒(méi)系數(shù)σs為光滑曲線(xiàn)擬合給出，因此計(jì)算結(jié)果稍有差異，但誤差僅為0.82%，完全滿(mǎn)足工程實(shí)際應(yīng)用要求。

最后根據(jù)基本方程(1)和(2)給出消力坎高為

即消力坎坎高c坎=2.07 m，與文獻(xiàn)[12]中試算法成果2.02 m基本一致，誤差主要是坎上淹沒(méi)系數(shù)稍有0.82%的相對(duì)誤差導(dǎo)致的。因此，本文算法精度可靠、方便快捷，且便于工程應(yīng)用。

5 結(jié)論與建議

現(xiàn)有底流消能計(jì)算中綜合式消力池坎高與池深組合計(jì)算的傳統(tǒng)試算法十分繁瑣，特別是坎上淹沒(méi)系數(shù)計(jì)算為躍后共軛水深、下游水深、坎高、消力池深等多個(gè)變量的復(fù)雜非線(xiàn)性函數(shù)，通常采用盲目性試算法求解，費(fèi)神耗時(shí)，效率低。因此，本文根據(jù)水力學(xué)理論和數(shù)學(xué)推導(dǎo)，結(jié)合MatLab軟件數(shù)值分析，對(duì)綜合式消力池坎高計(jì)算進(jìn)行深入研究，主要結(jié)論如下：

(1)本文通過(guò)無(wú)量綱原理、數(shù)學(xué)推導(dǎo)及MatLab軟件數(shù)值分析，巧妙地給出了坎上淹沒(méi)系數(shù)簡(jiǎn)潔的高精度解析計(jì)算式，繪制了坎上淹沒(méi)系數(shù)隨無(wú)量綱參數(shù)K之間的關(guān)系圖，通過(guò)對(duì)比分析表明該解析計(jì)算式最大相對(duì)誤差僅0.405%，便于工程應(yīng)用。

(2)通過(guò)無(wú)量綱原理，給出躍后共軛水深隨無(wú)量綱單寬流量參數(shù)λ的高精度解析計(jì)算式, 其相對(duì)誤差<0.3%。在考慮消力池深與消力坎的組合消能作用下，給出簡(jiǎn)潔的無(wú)量綱消力坎坎高的解析計(jì)算式，并繪制簡(jiǎn)潔的無(wú)量綱化坎高直接解析計(jì)算流程圖。

(3)通過(guò)MatLab軟件給出了無(wú)量綱坎高隨無(wú)量綱單寬流量λ、下游水深以及消力池池深之間的曲面關(guān)系圖，便于工程實(shí)際查算應(yīng)用。通過(guò)數(shù)值分析研究，認(rèn)為消力池池深、消力坎坎高兩者近似滿(mǎn)足線(xiàn)性負(fù)相關(guān)關(guān)系，且該關(guān)系主要受坎上淹沒(méi)系數(shù)σs與無(wú)量綱參數(shù)K關(guān)系的影響。

(4)通過(guò)2個(gè)工程算例計(jì)算對(duì)比分析，認(rèn)為本文簡(jiǎn)潔算法精度高且方便快捷。值得說(shuō)明的是，工程實(shí)際運(yùn)行中下泄單寬流量是動(dòng)態(tài)變化的，因此實(shí)際設(shè)計(jì)中可偏保守地取消力坎坎高最大值作為實(shí)際設(shè)計(jì)值。