“新知”遇上“舊知”：引導(dǎo)學(xué)生想通想透
——從一篇學(xué)生寫作說起

江蘇省海安市海陵中學(xué) 吳 晶

一、從一篇學(xué)生習(xí)作說起

這是筆者所帶班級(jí)在初學(xué)一元二次方程后，安排學(xué)生所寫數(shù)學(xué)周記，從中收集的一篇優(yōu)秀學(xué)生寫作.

當(dāng)一元二次方程遇上線段

小柯（學(xué)生化名）

從小學(xué)開始，我們便與線段打交道，有關(guān)線段的問題更是數(shù)不勝數(shù)，那么，當(dāng)線段遇上一元二次方程時(shí)又會(huì)擦出什么樣的火花呢？下面，我將用一道例題和大家探討一元二次方程與線段的關(guān)系.

問題：如圖1，線段AB的長(zhǎng)為1.

圖1

（1）線段AB上的點(diǎn)C滿足關(guān)系式AC2=BC·AB，求線段AC的長(zhǎng)度.

（2）線段AC上的點(diǎn)D滿足關(guān)系式AD2=CD·AC，求線段AD的長(zhǎng)度.

（3）線段AD上的點(diǎn)E滿足關(guān)系式AE2=DE·AD，求線段AE的長(zhǎng)度.

解：設(shè)AC=x，則BC=AB-AC=1-x.

因?yàn)锳C2=BC·AB，所以x2=1×（1-x）.

整理得x2=1-x，解得（不合題意，舍去），所以AC的長(zhǎng)度為

類似的，可設(shè)AD=x，則CD=AC-x.

因?yàn)锳D2=CD·AC，所以x2=AC·（AC-x），則x2+AC·x-AC2=0.

經(jīng)整理發(fā)現(xiàn)：AB∶AC=AC∶BC.我在網(wǎng)上檢索了一下這種奇異的性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)這是一種“黃金分割”的概念，也就是若線段AB上的點(diǎn)C滿足關(guān)系式AC2=BC·AB，則稱點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn).據(jù)網(wǎng)上介紹，黃金分割在大自然界、動(dòng)植物、藝術(shù)、建筑等領(lǐng)域有著非常廣泛的存在.看來當(dāng)一元二次方程遇上線段之后，又得到了線段的一個(gè)奇異性質(zhì)“黃金分割”，數(shù)學(xué)的世界真是博大、美妙，有待我們進(jìn)一步探索和發(fā)現(xiàn).

簡(jiǎn)評(píng)：小柯同學(xué)這篇數(shù)學(xué)寫作關(guān)注了線段“黃金分割點(diǎn)”問題，運(yùn)用新學(xué)一元二次方程的工具研究了這個(gè)新的概念.小文章的標(biāo)題中有關(guān)鍵詞“遇上”，這個(gè)“遇上”是值得一說的.因?yàn)閿?shù)學(xué)來源于生活，抽象于生活，并獲得了一種數(shù)學(xué)活力，繼續(xù)生長(zhǎng)，不斷擴(kuò)張，幾千年來，越來越多的數(shù)學(xué)概念被創(chuàng)造（發(fā)明）或發(fā)現(xiàn)，而運(yùn)用這些新的數(shù)學(xué)概念或新的數(shù)學(xué)工具解決（有時(shí)換一種視角進(jìn)行再認(rèn)識(shí)）一些“舊問題”或“經(jīng)典問題”，往往就能獲得更多、更新及更有深度的認(rèn)識(shí)和理解.

二、初中數(shù)學(xué)“新概念”遇上“舊概念”的案例

由學(xué)生提到的一個(gè)新概念遇上之前的舊概念，引發(fā)我們思考在初中階段的很多類似案例，下面列舉一些案例，供研討.

案例1：“新的運(yùn)算”遇上“運(yùn)算律”

初中階段數(shù)系進(jìn)一步擴(kuò)充，從七年級(jí)一開始就引入負(fù)數(shù)，數(shù)系擴(kuò)充到有理數(shù)范圍，在有理數(shù)的一些相關(guān)概念（如相反數(shù)、數(shù)軸、絕對(duì)值等）學(xué)習(xí)之后，就是學(xué)習(xí)有理數(shù)的運(yùn)算，有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方運(yùn)算都有各自的運(yùn)算法則，都不同于小學(xué)階段的整數(shù)和分?jǐn)?shù)的運(yùn)算法則.然而它們遵循一個(gè)共性——“運(yùn)算通性”（加法交換律、結(jié)合律，乘法對(duì)加法的分配律）.這就是說，當(dāng)一類新數(shù)（或式）的運(yùn)算引進(jìn)之后，先討論了它的運(yùn)算法則，接下來還需要靈活運(yùn)用“運(yùn)算通性”（運(yùn)算律）進(jìn)行簡(jiǎn)化運(yùn)算，這也就使得運(yùn)算不只是機(jī)械、死算，而是需要“相機(jī)行事”和智慧決策.在初中各個(gè)階段教學(xué)進(jìn)程中，要注意向?qū)W生傳遞數(shù)式運(yùn)算的研究路徑：數(shù)式的概念及相關(guān)概念→數(shù)式的運(yùn)算→靈活利用“運(yùn)算通性”簡(jiǎn)化運(yùn)算.

案例2：“平行”遇上“平分”

七年級(jí)圖形初步認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)時(shí)，往往對(duì)幾何的基本圖形直線、射線、線段研究之后，就重點(diǎn)學(xué)習(xí)“角”.而與角相關(guān)的一個(gè)要素或概念就是角的平分線，對(duì)角的平分線的研究只涉及它的定義、性質(zhì)（由定義得到的性質(zhì)）.當(dāng)后續(xù)繼續(xù)學(xué)習(xí)平行線之后，在同一個(gè)圖形中，角平分線往往會(huì)與平行線相遇，這時(shí)就會(huì)得到基本圖形（如圖2），AB∥CD、AD平分∠CAB.一定有∠CAD=∠CDA.

圖2

圖3

七年級(jí)平行線學(xué)習(xí)之后對(duì)這類問題要重視從正、反角度進(jìn)行變式訓(xùn)練，上述3個(gè)條件可以幫助學(xué)生總結(jié)出“知二推一”.因?yàn)檫@種基本圖形很容易在八年級(jí)等腰三角形中得到進(jìn)一步的應(yīng)用.比如給出圖3，在△ABC中，BF、CF分別平分∠ABC、∠ACB，過點(diǎn)F作DE∥BC，分別交AB、AC于D、E兩點(diǎn)，可以安排學(xué)生證明DE=BD+CE，或者給出AB、AC的長(zhǎng)，求△ADE的周長(zhǎng).我們一直強(qiáng)調(diào)要從學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，從學(xué)生最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，如果能多重視之前學(xué)習(xí)路上一些經(jīng)典問題，則學(xué)生往往會(huì)有一種親切感，并且運(yùn)用新知識(shí)之后可以獲得對(duì)原有問題更加深刻的理解.

案例3：“完全平方公式”遇上“非負(fù)數(shù)”

在七年級(jí)引入負(fù)數(shù)之后，數(shù)系很快擴(kuò)充到有理數(shù)、實(shí)數(shù)，并且隨著相關(guān)概念如絕對(duì)值、乘方的出現(xiàn)，有一類“非負(fù)數(shù)”的概念常常出現(xiàn)，并且在不少解題中作為關(guān)鍵步驟需要攻克.這里應(yīng)用較多的關(guān)于非負(fù)數(shù)的性質(zhì)就是：幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則這幾個(gè)非負(fù)數(shù)均為0，比如|x-2|+（y+5）2=0.

到了學(xué)習(xí)整式乘除與因式分解之后，又出現(xiàn)了完全平方式這個(gè)重要概念，形如y2+10y+25的式子可以分解為（y+5）2，稱這樣的二次三項(xiàng)式為完全平方式.類似的，可以得到：如果幾個(gè)完全平方式的和為0，則它們都為0.所以，在學(xué)習(xí)完全平方式之后常常有類似的練習(xí)，比如，已知△ABC的三邊分別是a、b、c，且它們滿足等式2a2+b2+c2-2a（b+c）=0，試判斷△ABC的形狀.

案例4：“二次函數(shù)”遇上“根的判別式”

學(xué)習(xí)一元二次方程的解法時(shí)，通過配方法演算出求根公式法，根據(jù)配方法的限制條件可知，在啟動(dòng)代入公式運(yùn)算之前，要先計(jì)算出根的判別式（b2-4ac）的值，為后續(xù)求解提供關(guān)鍵一步，因?yàn)殡S著根的判別式取值的正、0或負(fù)，一元二次方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)解的情況就能得到確定.二次函數(shù)的學(xué)習(xí)，是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)形結(jié)合的好機(jī)會(huì)，比如，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像是拋物線，拋物線y=ax2+bx+c與x軸的公共點(diǎn)的探究往往對(duì)應(yīng)著一元二次方程ax2+bx+c=0的實(shí)數(shù)解問題，可以利用根的判別式進(jìn)行演算分析，從而把拋物線的圖像問題用數(shù)式進(jìn)行理解，也就是所謂“以數(shù)馭形”.

案例5：“銳角三角函數(shù)”遇上“特殊直角三角形”

初中階段三角函數(shù)安排在最后一學(xué)期才接觸，并且只是涉及非常簡(jiǎn)單的銳角三角函數(shù)，又是基于直角三角形進(jìn)行定義和研究的，初中階段對(duì)銳角三角函數(shù)的學(xué)習(xí)與研究非常依賴特殊直角三角形，比如含30°或含45°的直角三角形，也就是學(xué)生畫圖工具中的一個(gè)三角尺形狀的三角形.另外，還有一些特殊形狀的直角三角形（如兩條直角邊之比是1∶2，或兩條直角邊之比是1∶3，還有兩條直角邊之比是3∶4等）也值得重視.教學(xué)時(shí)可引導(dǎo)學(xué)生對(duì)此前已接觸的一些特殊直角三角形，從三角函數(shù)的邊角關(guān)系的視角出發(fā)進(jìn)行研究和理解.從目前應(yīng)試指導(dǎo)的現(xiàn)實(shí)考慮，要引導(dǎo)優(yōu)秀學(xué)生擺脫過分依賴勾股定理求邊長(zhǎng)的方法，而要善于基于銳角三角函數(shù)的角度利用邊角關(guān)系直接“看”或“讀”出這些特殊直角三角形中相關(guān)線段的長(zhǎng).

三、結(jié)束語

李大潛院士曾說數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要讓學(xué)生感受到一種愉悅感，并且認(rèn)為這種愉悅感應(yīng)該來自數(shù)學(xué)在發(fā)展過程中對(duì)之前一些疑惑問題的釋然.比如，小學(xué)階段用算術(shù)解法處理雞兔同籠問題是“超級(jí)難題”，但是到了初中七年級(jí)運(yùn)用一元一次方程可輕松解決，可以引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)其中的愉悅感，感受到數(shù)學(xué)發(fā)展、工具引入的優(yōu)越感.我們?cè)谏厦嬗蓪W(xué)生的一篇習(xí)作出發(fā)，思考了初中階段一些新知“遇上”舊知的案例，并不全面，也不一定準(zhǔn)確，敬請(qǐng)批評(píng)指正.