具Intraguild捕食的非自治三種群Lotka-Volterra模型的正周期解

陳柳娟

（福建教育學院，福建 福州 350025）

文［1］研究了一類關于資源競爭的Intraguild捕食的非自治三種群Lotka-Volterra模型（1.1）的持久生存，文章進一步研究模型（1.1）的正周期解。

1.引理

設X，Z是賦范向量空間，L:DomL?X→Z是一個線性映射，N:X→Z是一個連續(xù)映射。如果dimKerL=codim ImL＜+∞且ImL是Z中的閉子集，則稱映射L是指標為零Fredholm映射。如果L是指標為零的Fredholm映射且存在連續(xù)投影P:X→X和Q:Z→Z使得ImP=KerL，ImL=KerQ=Im(I-Q)，則L|DomL∩KerP:(I-P)X→ImL可逆，記其逆映射為KP。設Ω為X中的有界開集，若有界且是緊的，則稱映射N在上是L-緊的。由于ImQ與KerL同構(gòu)，因而存在同構(gòu)映射J:ImQ→KerL。

引理1［2］（重合度延拓定理）令L是指標為零的Fredholm映射且N在上是L-緊的。假設

為了方便，記 ，這里g是ω-周期連續(xù)函數(shù)。

2.主要結(jié)果

本節(jié)證明模型(1.1)正周期解的存在性，其中所有的參數(shù)關于時間t都是連續(xù)且是ω-周期的。

則

且ImL是Z中的閉集，因而L是指標為零的Fredholm映射。此外，P，Q是連續(xù)投影使得ImP=KerL，KerQ=ImL=Im(I-Q)，所以L的逆映射KP:ImL→DomL∩KerP存在且

顯然，QN和KP(I-Q)N連續(xù)且對任一有界開集，有界。由Arzela-Ascoli定理易知是緊的。從而，對任一有界開集，L在上是L-緊的。相應的算子方程，有

從而有

即

和

由(2.4)和(2.7)可得

由(H2)易知

由(2.5)、(2.8)和 (2.10)可得

由(H3)易知

類似地，由(2.6)、(2.9)、(2.10)和 (2.11)可得

若(H4)成立，顯然有，從而，由(H1)和(H4)可得

再由(2.10)、(2.11)和(2.12)可得

顯然，Ri(i=1,2,3)與λ無關?？紤]下列的代數(shù)方程：

這里μ∈(0,1)是一個參數(shù)，(μ1,μ2,μ3)∈R3。如前面類似的討論可得當μ∈(0,1)時，系統(tǒng)（2.14）的任意一個解滿足。

另一方面，考慮同倫

這里