文陳曉麗

（作者單位：江南大學(xué)附屬實驗中學(xué)）

各地中考中關(guān)于圓的考查，一般是圍繞圓的基本概念與性質(zhì)、與圓有關(guān)的角、直線與圓的位置關(guān)系、扇形及圓錐的相關(guān)問題，常以計算或證明形式出現(xiàn)。下面結(jié)合2019年一些中考題來看一看。

考點一：與圓相關(guān)的推理

例1 （2019·安徽）如圖1，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD⊥AB于點D，若⊙O的半徑為2，則CD的長為 ____。

圖1

圖2

【分析】連接OA、OC，根據(jù)∠COA=2∠CBA=90°可求出AC=，然后在Rt△ACD中利用三角函數(shù)即可求得CD的長。

解：連接OA、OC，如圖2，

∵∠COA=2∠CBA=90°，

∴在Rt△AOC中，

∵CD⊥AB，

∴在Rt△ACD中，

【點評】本題考查了圓周角定理以及銳角三角函數(shù)，根據(jù)題意作出常用輔助線是解題關(guān)鍵。

例2 （2019·嘉興）如圖3，在⊙O中，弦AB=1，點C在AB上移動，連接OC，過點C作CD⊥OC交⊙O于點D，則CD的最大值為 ___ 。

圖3

圖4

【分析】連接OD，如圖4，利用勾股定理得到CD，利用垂線段最短得到當(dāng)OC⊥AB時，OC最小，根據(jù)勾股定理求出OC，代入求出CD即可。

解：連接OD，如圖4，

∵CD⊥OC，∴∠OCD=90°，

當(dāng)OC的值最小時，CD的值最大，

而只有當(dāng)OC⊥AB時，OC最小，

【點評】本題考查了垂線段最短、勾股定理和垂徑定理等知識點，能求出點C的位置是解此題的關(guān)鍵。

考點二：與圓相關(guān)的計算

例3 （2019·寧波）如圖5，矩形紙片ABCD中，AD=6cm，把它分割成正方形紙片ABFE和矩形紙片EFCD后，分別裁出扇形ABF和半徑最大的圓，恰好能作為一個圓錐的側(cè)面和底面，則AB的長為（ ）。

圖5

A.3.5cm B.4cm C.4.5cm D.5cm

【分析】先設(shè)AB=x，根據(jù)扇形的弧長計算公式算出弧AF的長，根據(jù)該弧長等于直徑為（6-x）的圓的周長，列出方程，求解即可。

解：設(shè)AB=x，由題意，

故答案為：B。

【點評】對于圓錐問題，首先要理解側(cè)面展開的扇形弧長等于底面圓周長，然后利用公式進(jìn)行計算。

例4 （2019·四川南充改編）如圖6，在半徑為6的⊙O中，點A、B、C都在⊙O上，四邊形OABC是平行四邊形，則圖中陰影部分的面積為 。

圖6

【分析】連接OB，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB=OC，推出△AOB是等邊三角形，得到∠AOB=60°，利用扇形的面積公式即可得到結(jié)論。

“不過，這些玉器受老人的福澤，日久通靈，已然有了神性。本應(yīng)散在宅院各處，結(jié)果又被放在一起，靈性相互沖突，生了異變。好在被封在箱子里，多年來也相安無事。結(jié)果壞就壞在這個小伙子身上了，半年前他也不知道為什么打開了箱子的封條，才引出他們一村的騷動。這些玉器只想著護(hù)主，不知不覺奪了旁人的福氣?！?/p>

圖7

解：連接OB，如圖7，

∵四邊形OABC是平行四邊形，

∴AB=OC，∴AB=OA=OB，

∴△AOB是等邊三角形，

∴∠AOB=60°，

∵OC∥AB，∴S△AOB=S△ABC，

∴圖中陰影部分的面積=S扇形AOB

【點評】本題考查的是扇形面積的計算，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，將△ABC的面積轉(zhuǎn)化為△AOB的面積，從而將不規(guī)則圖形（陰影部分）的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形（扇形AOB）的面積。掌握扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵。

考點三：圓的綜合運(yùn)用

例5 （2019·衢州）如圖8，在等腰△ABC中，AB=AC，以AC為直徑作⊙O交BC于點D，過點D作DE⊥AB，垂足為E。

圖8

（1）求證：DE是⊙O的切線。

【分析】（1）連接OD，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和等量代換得∠1=∠B，由垂直定義和三角形內(nèi)角和定理得∠2+∠B=90°，等量代換得∠2+∠1=90°，由平角定義得∠ODE=90°，從而可得證。

（2）連接AD，由圓周角定理得∠ADC=90°，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)可得∠AOD=60°，在Rt△DEB中，由直角三角形性質(zhì)得BD=CD=2 3，在Rt△ADC中，由直角三角形性質(zhì)得OA=OC=2，再由弧長公式計算即可求得答案。

（1）證明：如圖9，連接OD。

圖9

∵OC=OD，AB=AC，

∴∠1=∠C，∠C=∠B，∴∠1=∠B，

∵DE⊥AB，∴∠2+∠B=90°，

∴∠2+∠1=90°，∴∠ODE=90°，

∴DE為⊙O的切線。

（2）解：連接AD，

∵AC為⊙O的直徑，∴∠ADC=90°。

∵AB=AC，∴∠B=∠C=30°，BD=CD，

∴∠AOD=60°。

【點評】本題考查了切線的判定，有兩種方法：①過半徑外端，且垂直于半徑；②圓心到直線的距離等于半徑。問題（1）用的就是第①種方法。問題（2）中要求弧長，須知弧所對圓心角和所在圓的半徑這兩個條件，證得∠AOD=60°是解題的關(guān)鍵。