徐濤

計數(shù)原理這一章的某些問題，諸如：分組問題和環(huán)排問題和恒等證明問題，不少同學感到甚是棘手，其實教材已給出了解決之道：歸一法.

研究組合數(shù)Cm?n的公式，教材的處理如下：

考查模型（Ⅰ）：從n個不同的元素中任取m個元素可組成多少個排列？

法一：由排列知識可知：從n個不同的元素中任取m個元素可組成Am?n個排列;

法二：第一步：從n個不同的元素中取出m個元素，共有Cm?n種取法，第二步：將取出的m個元素做全排列，共有Am?m種排法，由分步乘法計數(shù)原理得：從n個不同的元素中任取m個元素可組成Cm?n·Am?m個排列.

因法一、法二都解決了模型（Ⅰ），故有：Am?n=Cm?n·Am?m，解得：Cm?n=Am?nAm?m.

一、分組問題

例1有9本不同的書，將其分成如下3組，各有多少種分法？

（1）每組3本;

（2）一組5本，另兩組各2本;

（3）一組2本，一組3本，一組4本.

解：（1）考查模型（Ⅱ）：將9本書平分給甲、乙、丙三人，共有多少種分法？

法一：第一步：甲分3本書，有C3?9種分法，第二步：乙分3本書，有C3?6種分法，第三步：丙分3本書，有C3?3種分法.由分步乘法計數(shù)原理得：甲、乙、丙各得3本，共有C3?9·C3?6·C3?3種分法.

法二：第一步：將9本書分成3組，每組3本，設(shè)有x?1種分法;第二步：將這3組分給甲、乙、丙3人共有A3?3種分法.由分步乘法計數(shù)原理得：甲、乙、丙各得3本，共有x?1·A3?3種分法.因法一、法二都解決了模型（Ⅱ），故有：C3?9·C3?6·C3?3=x?1·A3?3，解得：x?1=C3?9C3?6C3?3A3?3.

（2）考查模型（Ⅲ）：將9本書分給甲、乙、丙三人，甲得5本，乙、丙各得2本，共有多少種分法？

法一：第一步：甲分5本書，有C5?9種分法;第二步：乙分2本書，有C2?4種分法;第三步：丙分2本書，有C2?2種分法.由分步乘法計數(shù)原理得：甲得5本，乙、丙各得2本，共有C5?9·C2?4·C2?2種分法.

法二：第一步：將9本書分成3組，一組5本，另兩組各2本，設(shè)有x?2種分法;第二步：將這3組分給甲、乙、丙3人共有A2?2種分法.由分步乘法計數(shù)原理得：甲得5本，乙、丙各得2本，共有x?2·A2?2種分法.因法一、法二都解決了模型（Ⅲ），故有：C5?9·C2?4·C2?2=x?2·A2?2，解得：x?2=C5?9·C2?4·C2?2A2?2.

（3）考查模型（Ⅳ）：將9本書分給甲、乙、丙三人，甲得2本，乙得3本、丙得4本，共有多少種分法？

法一：第一步：甲分2本書，有C2?9種分法;第二步：乙分3本書，有C3?7種分法;第三步：丙分4本書，有C4?4種分法.由分步乘法計數(shù)原理得：甲得2本，乙得3本、丙得4本，共有C2?9·C3?7·C4?4種分法.

法二：第一步：將9本書分成3組，一組2本，一組3本，一組4本，設(shè)有x?3種分法，第二步：將這三組分給甲、乙、丙三人共有1種分法，由分步乘法計數(shù)原理得：甲得2本，乙得3本、丙得4本，共有x?3·1種分法.

因法一、法二都解決了模型（Ⅳ），故有：C2?9·C3?7·C4?4=x?3·1，解得：x?3=C2?9·C3?7·C4?4.

評析：解決分組問題，可構(gòu)建一個組合模型，用歸一法解決.

二、恒等證明

例2證明：（C0?n）2+（C1?n）2+（C2?n）2+…+（Cn?n）2=Cn?2n.

證明：考查模型（Ⅵ）：某校高一年級1班和2班各有n個同學，從這兩個班選出n個同學去養(yǎng)老院為老人打掃衛(wèi)生，共有多少種選法？

法一：第一類：1班選0個同學，2班選n個同學，有C0?n·Cn?n=（C0?n）2種選法，第二類：1班選1個同學，2班選n-1個同學，有C1?n·Cn-1?n=（C1?n）2種選法，第三類：1班選2個同學，2班選n-2個同學，有C2?n·Cn-2?n=（C2?n）2種選法，…，第n+1類：1班選n個同學，2班選0個同學，有Cn?n·C0?n=（Cn?n）2種選法，由分類加法計數(shù)原理得：共有（C0?n）2+（C1?n）2+（C2?n）2+…+（Cn?n）2種選法.

法二：兩班共計2n個同學，從這2n個同學選出n個，共有Cn?2n種選法.

因法一、法二都解決了模型（Ⅵ），故有：（C0?n）2+（C1?n）2+（C2?n）2+…+（Cn?n）2=Cn?2n.

評析：解決恒等證明問題，可構(gòu)建一個排列或組合模型，用歸一法解決.