L1范數(shù)探測(cè)粗差失效的觀測(cè)量識(shí)別方法

閆廣峰，岑敏儀

1. 西南交通大學(xué)地球科學(xué)與環(huán)境工程學(xué)院，四川 成都 611756; 2. 高速鐵路運(yùn)營(yíng)安全空間信息技術(shù)國(guó)家地方聯(lián)合工程實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610031; 3. 高速鐵路線路工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610031

觀測(cè)值中含有粗差時(shí)，采用最小二乘法求得的參數(shù)估值會(huì)嚴(yán)重偏離其真值，消除或削弱粗差的影響是獲取精確、可靠參數(shù)估值的必要前提。以最小二乘估計(jì)為基礎(chǔ)的粗差探測(cè)方法，無(wú)論是均值漂移模型[1-3]中統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)量的建立，還是方差膨脹模型[4-7]中等價(jià)權(quán)的構(gòu)造，都依賴最小二乘殘差或單位權(quán)中誤差。然而對(duì)最小二乘估計(jì)，粗差只能部分地反映在相應(yīng)的觀測(cè)值殘差上，甚至含有粗差的觀測(cè)值不一定對(duì)應(yīng)著大的改正數(shù)[8-9]，因此容易導(dǎo)致粗差的誤判。實(shí)際上，對(duì)線性最小二乘估計(jì)，最小二乘殘差是各個(gè)觀測(cè)值的線性函數(shù)，在數(shù)值上與各觀測(cè)值組成的條件方程閉合差相等但符號(hào)相反[10]。當(dāng)觀測(cè)值含有粗差時(shí)，在相應(yīng)的條件方程閉合差中，L1范數(shù)估計(jì)較LS估計(jì)更能集中反映粗差，因此探測(cè)粗差的能力更強(qiáng)。對(duì)L1范數(shù)估計(jì)在測(cè)量數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用，國(guó)內(nèi)外學(xué)者作了大量的研究工作。文獻(xiàn)[11]根據(jù)Bahadur型線性表達(dá)式導(dǎo)出了L1范數(shù)估計(jì)的方差-協(xié)方差矩陣，在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[12]導(dǎo)出了L1范數(shù)估計(jì)的巴爾達(dá)統(tǒng)計(jì)量并討論了其可靠性。文獻(xiàn)[13]采用線性規(guī)劃的單純形法進(jìn)行攝影測(cè)量中相對(duì)定向的粗差檢測(cè)。文獻(xiàn)[14]采用單純形法討論了L1范數(shù)估計(jì)在測(cè)量控制網(wǎng)觀測(cè)值粗差探測(cè)中的應(yīng)用。文獻(xiàn)[15]研究了秩虧高斯馬爾可夫模型下的L1范數(shù)估計(jì)單純形算法。文獻(xiàn)[16]研究了線性平差模型的L1范數(shù)估計(jì)的遞歸算法。文獻(xiàn)[17]通過(guò)對(duì)相關(guān)觀測(cè)值進(jìn)行去相關(guān)化處理，將單純形法用于GNSS基線網(wǎng)的粗差探測(cè)。

L1范數(shù)估計(jì)在測(cè)量領(lǐng)域受到廣泛的關(guān)注和研究，正是因?yàn)樗哂辛己玫目共钚再|(zhì)，不僅求得的未知參數(shù)估值少受甚至不受粗差觀測(cè)值的影響，而且粗差能夠集中反映在相應(yīng)的閉合差中，從而有助于粗差的發(fā)現(xiàn)與定位。然而，在采用L1范數(shù)估計(jì)解決粗差探測(cè)問(wèn)題的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，存在一類觀測(cè)值，雖然具有粗差發(fā)現(xiàn)和定位能力，但其含有的粗差無(wú)論是多大量級(jí)都不能準(zhǔn)確定位。若測(cè)量系統(tǒng)存在L1抗差性失效點(diǎn)(robustness failpoint inL1-norm estimation,RFP-L1)，由于其在平差系統(tǒng)中的位置及是否含有粗差等情況都是未知的，因此無(wú)法確?；贚1范數(shù)的粗差探測(cè)結(jié)果的準(zhǔn)確性和可靠性，因?yàn)橹挥挟?dāng)RFP-L1不含粗差時(shí)結(jié)果才會(huì)是可靠的，而這無(wú)疑會(huì)使得粗差定位結(jié)果帶有不確定性。對(duì)此，RFP-L1的識(shí)別及其粗差的探測(cè)將是解決該問(wèn)題的關(guān)鍵[18]，因?yàn)橹挥写_定測(cè)量系統(tǒng)中不存在RFP-L1，或存在時(shí)能夠準(zhǔn)確識(shí)別其位置并對(duì)其是否含有粗差作出準(zhǔn)確判斷，這種不確定性才能得以消除?？紤]到最小二乘的選權(quán)迭代法(iteratively reweighed least squares,IRLS)和線性規(guī)劃的單純形法等兩種L1范數(shù)估計(jì)的求解方法中，IRLS方法要依賴最小二乘殘差確定初始迭代權(quán)，當(dāng)初始值偏離真值較大時(shí)最終的估計(jì)結(jié)果將會(huì)極不可靠[8,16]，從而會(huì)引入新的不確定性因素。單純形法求解過(guò)程不需要進(jìn)行最小二乘運(yùn)算。因此，本文從觀測(cè)方程出發(fā)，結(jié)合單純形法L1范數(shù)平差算法，探索研究測(cè)量系統(tǒng)中RFP-L1觀測(cè)值的一般特征和識(shí)別方法。

1 條件方程與影響系數(shù)

平差問(wèn)題的函數(shù)模型為

(1)

式中，L為觀測(cè)值向量；B為設(shè)計(jì)矩陣；X為未知參數(shù)向量；d為常數(shù)向量。

由式(1)，經(jīng)矩陣初等變換運(yùn)算或采用單純形法，可導(dǎo)出條件方程[19-20]

(2)

式中，[L1L2]T為觀測(cè)值向量；E為L(zhǎng)1對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣且為單位矩陣；-J為L(zhǎng)2對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣；W為閉合差向量。

實(shí)際上，式(2)中的J為粗差判斷方程的判斷矩陣。令A(yù)=E-J，A即為條件方程的系數(shù)矩陣。A矩陣中第j列向量Aj元素絕對(duì)值和ζj為

(3)

觀測(cè)值Lj中若含有大小為Δg的粗差，其對(duì)閉合差向量帶來(lái)的影響ΔWg為

ΔWg=AjΔg

(4)

從式(4)可以看出，向量Aj實(shí)質(zhì)上就是Lj中粗差在閉合差向量中的投影向量。

設(shè)r個(gè)條件方程閉合差的絕對(duì)值和為Z，則由式(3)、式(4)可知，Lj中的粗差Δg反映在Z上的大小決定于ζj，當(dāng)式(2)中Lj在L1時(shí)，ζj=1，粗差等量反映在Z中；當(dāng)Lj在L2中時(shí)，ζj不一定為1，粗差會(huì)被放大或縮小后反映在Z中。ζj反映的是粗差Δg對(duì)函數(shù)Z影響程度的大小，為敘述方便，本文稱ζj為觀測(cè)值Lj的粗差對(duì)閉合差絕對(duì)值和(Z)的影響系數(shù)，簡(jiǎn)稱影響系數(shù)。

若以殘差絕對(duì)值和最小為準(zhǔn)則，采用單純形法對(duì)測(cè)量系統(tǒng)的觀測(cè)方程進(jìn)行求解[14]，根據(jù)其解的結(jié)構(gòu)可知，在單純形解中，有t個(gè)未知參數(shù)和r個(gè)觀測(cè)值殘差為基變量，剩余的t個(gè)觀測(cè)值殘差為取值為零的非基變量。這就說(shuō)明，t個(gè)未知參數(shù)是由t個(gè)非基變量決定的[10]，可以由非基變量對(duì)應(yīng)的觀測(cè)方程組求得，而余下的r個(gè)多余觀測(cè)值殘差可以通過(guò)t個(gè)未知參數(shù)計(jì)算得到，目標(biāo)函數(shù)等于r個(gè)作為基變量的觀測(cè)值殘差的絕對(duì)值和[21]。由此可知，采用單純形法可以得到形如式(2)的條件方程，而此時(shí)各條件方程閉合差的絕對(duì)值和Z實(shí)質(zhì)上就是采用單純形法取得最優(yōu)解時(shí)的目標(biāo)函數(shù)，對(duì)于給定的測(cè)量系統(tǒng)，要使得Z取得最小值，在偶然誤差服從正態(tài)分布時(shí)，不考慮粗差相互抵消的情況，Lj中的粗差對(duì)Z的貢獻(xiàn)應(yīng)達(dá)到最小，即觀測(cè)值Lj的影響系數(shù)ζj取各種可能取值中的最小值ζjMIN。

2 最小影響系數(shù)與RFP-L1

為方便進(jìn)一步分析最小影響系數(shù)與RFP-L1間的關(guān)系，結(jié)合式(2)引入RFP-L1，即具有粗差發(fā)現(xiàn)與定位能力的觀測(cè)值L′，無(wú)論其含有多大量級(jí)的粗差，單純形法求得的式(2)中，其始終位于L2，粗差無(wú)法被準(zhǔn)確定位[19]。

下面就非RFP-L1和RFP-L1最小影響系數(shù)ζMIN的可能取值情況進(jìn)行分析。

對(duì)觀測(cè)值Lj為非RFP-L1的情況，當(dāng)Lj中的粗差足夠大時(shí)，單純形解中，其以多余觀測(cè)值的形式出現(xiàn)，從而粗差可以被準(zhǔn)確發(fā)現(xiàn)和定位。由單純形解構(gòu)造的條件方程中，Lj在L1中，其影響系數(shù)ζj取得最小值，且ζjMIN=1。

對(duì)觀測(cè)值Lj為RFP-L1的情況，顯然，單純形法得到的條件方程中，Lj必然位于L2。由式(2)構(gòu)造適用于粗差探測(cè)問(wèn)題的線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)型[10]。

(1) 目標(biāo)函數(shù)

(5)

(2) 約束條件

(6)

采取以下的原則選取初始基變量。

容易理解，如此選取的初始基變量V′實(shí)際上就是單純形法的最優(yōu)解形式。

在單純形法求解過(guò)程中，檢驗(yàn)數(shù)r為[13]

r=CGG-1N-CN

(7)

式中，CG=[1,1,…,1]和CN=[1,1,…,1]分別為基變量和非基變量對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)式(5)中的1×r和1×(2n-r)系數(shù)向量；G為r×r基變量系數(shù)矩陣，由式(6)中E和-E的列向量組成；N為r×(2n-r)非基變量系數(shù)矩陣，由式(6)中E、-E、J和-J的列向量組成。

(8)

(9)

(10)

式中，Jj為單純形法求得的條件方程式(2)系數(shù)矩陣中粗差觀測(cè)值Lj對(duì)應(yīng)的列向量。

由于粗差觀測(cè)值Lj的影響系數(shù)ζj在由單純形解構(gòu)造的條件方程中取得最小值ζjMIN，結(jié)合式(10)可知，RFP-L1觀測(cè)值Lj的最小影響系數(shù)

(11)

由以上分析可得，非RFP-L1和RFP-L1的最小影響系數(shù)分別具有以下特征：

(1) 非RFP-L1觀測(cè)值Lj的影響系數(shù)在其為多余觀測(cè)值時(shí)可取得最小值，最小影響系數(shù)ζjMIN=1。

(2) RFP-L1觀測(cè)值Lj的影響系數(shù)在其為必要觀測(cè)值時(shí)可取得最小值，最小影響系數(shù)ζjMIN<1。

在常見的測(cè)量問(wèn)題中，高程控制網(wǎng)的函數(shù)模型(觀測(cè)方程)是線性的，其設(shè)計(jì)矩陣中僅含有±1和0，設(shè)計(jì)矩陣只與控制點(diǎn)個(gè)數(shù)、構(gòu)網(wǎng)形式有關(guān)，而與控制點(diǎn)高程和空間位置無(wú)關(guān)[24]。然而，對(duì)測(cè)邊網(wǎng)、測(cè)角(或測(cè)方向)網(wǎng)、邊角網(wǎng)等平面控制網(wǎng)或三維控制網(wǎng)，其函數(shù)模型是非線性的，通常采用給定未知參數(shù)概略值線性化得到函數(shù)模型，其設(shè)計(jì)矩陣除了與控制點(diǎn)個(gè)數(shù)、網(wǎng)形結(jié)構(gòu)有關(guān)外，還與控制點(diǎn)的空間位置有關(guān)。此外，對(duì)線性回歸、坐標(biāo)轉(zhuǎn)換等問(wèn)題的函數(shù)模型雖然是線性的，但其設(shè)計(jì)矩陣也同樣與樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)、空間分布及位置有關(guān)，以上這兩類測(cè)量系統(tǒng)的線性化(或線性)函數(shù)模型中未知參數(shù)前的系數(shù)不會(huì)再僅含有±1和0。由線性代數(shù)理論可知，對(duì)設(shè)計(jì)矩陣中僅含有±1、0的函數(shù)模型，經(jīng)過(guò)矩陣初等變換得到的判斷矩陣J[20]中也僅會(huì)含有±1和0值，由此可以推斷，對(duì)具有粗差發(fā)現(xiàn)和定位能力的觀測(cè)值(判斷矩陣J中其對(duì)應(yīng)列向量非零元素個(gè)數(shù)不小于2的觀測(cè)值)，其位于條件方程式(2)的L2時(shí)，該觀測(cè)值對(duì)應(yīng)的列向量元素絕對(duì)值和始終不小于2，只有位于條件方程式(2)的L1時(shí)可取得影響系數(shù)的最小值。

綜合以上分析可以得出：

(1) 對(duì)觀測(cè)值具有粗差發(fā)現(xiàn)和定位能力且設(shè)計(jì)矩陣僅含±1和0的測(cè)量系統(tǒng)，所有觀測(cè)值的最小影響系數(shù)均等于1，觀測(cè)值中不存在RFP-L1。

(2) 對(duì)設(shè)計(jì)矩陣除含有±1和0(或不含±1和0)外還含有其他元素的測(cè)量系統(tǒng)，觀測(cè)值中可能會(huì)存在RFP-L1，觀測(cè)值Lj(j=1,2,…,n)的最小影響系數(shù)ζjMIN<1時(shí)，Lj為RFP-L1。

3 RFP-L1的識(shí)別

根據(jù)函數(shù)模型設(shè)計(jì)矩陣的數(shù)值特點(diǎn)不難判斷出測(cè)量系統(tǒng)是否會(huì)存在RFP-L1。對(duì)一個(gè)可能存在RFP-L1的測(cè)量系統(tǒng)，由于非RFP-L1和RFP-L1的最小影響系數(shù)呈現(xiàn)出明顯的差異性，據(jù)此也不難判斷觀測(cè)值是否為RFP-L1，而其中最為關(guān)鍵的是計(jì)算觀測(cè)值的最小影響系數(shù)ζMIN。粗差觀測(cè)值Lj的影響系數(shù)在利用單純形法得到的條件方程下可以取得最小值，考慮到間接平差函數(shù)模型的計(jì)算機(jī)自動(dòng)建立過(guò)程比較簡(jiǎn)便[24]，給出一種從觀測(cè)方程出發(fā)計(jì)算每個(gè)觀測(cè)值ζMIN的算法。

結(jié)合式(1)，設(shè)計(jì)的算法為：

(1) 對(duì)觀測(cè)值具有粗差發(fā)現(xiàn)和定位能力的測(cè)量系統(tǒng)，式(1)中設(shè)計(jì)矩陣B，如果其僅含有±1和0值，則所有觀測(cè)值的最小影響系數(shù)等于1，算法結(jié)束，否則執(zhí)行步驟(2)。

(2) 根據(jù)式(1)構(gòu)造線性規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)型，取目標(biāo)函數(shù)為殘差絕對(duì)值和最小，采用單純形法求解條件方程，得到多余觀測(cè)值向量L1和必要觀測(cè)值向量L2，令i=1。

(3) 往L2中第i個(gè)觀測(cè)值L2i對(duì)應(yīng)的約束條件常數(shù)項(xiàng)l2i中添加一個(gè)大粗差Δg(如1000倍觀測(cè)中誤差)。

(4) 采用單純形法得到條件方程，并根據(jù)式(3)計(jì)算觀測(cè)值L2i的最小影響系數(shù)ζiMIN。

(5) 如果i=t，算法結(jié)束，否則剔除在步驟(3)加入l2i的粗差，令s=i+1，并令i=s，執(zhí)行步驟(3)。

通過(guò)以上步驟，可以求得必要觀測(cè)值向量L2中各個(gè)觀測(cè)值的最小影響系數(shù)，由此即可判斷L2中的觀測(cè)值L2i(i=1,2，…，t)是否為RFP-L1，若ζiMIN=1，觀測(cè)值為非RFP-L1；若ζjMIN<1，觀測(cè)值為RFP-L1。由于RFP-L1不會(huì)出現(xiàn)在單純形解的多余觀測(cè)中，因此多余觀測(cè)向量L1中的觀測(cè)值不會(huì)是RFP-L1、最小影響系數(shù)均等于1。

觀測(cè)值最小影響系數(shù)的計(jì)算步驟和RFP-L1判別方法，首先進(jìn)行單純形求解，將觀測(cè)值分為L(zhǎng)1和L2兩部分，然后逐個(gè)地把L2中的每一個(gè)觀測(cè)值作為研究對(duì)象，從局部來(lái)逐一考察并判別每一個(gè)觀測(cè)值是否為RFP-L1。為闡述方便，稱為局部分析識(shí)別法(local analysis identification method,LAIM)。

需要說(shuō)明的是，前文的公式推導(dǎo)視觀測(cè)值為獨(dú)立且等權(quán)，雖然如此，相關(guān)結(jié)論及RFP-L1識(shí)別算法同樣適用于觀測(cè)值獨(dú)立但不等權(quán)的情況，只是在求解時(shí)目標(biāo)函數(shù)采用加權(quán)殘差絕對(duì)值和最小。對(duì)于相關(guān)觀測(cè)的情況，可以首先采用Cholesky分解法[25]將相關(guān)觀測(cè)等價(jià)地轉(zhuǎn)換為獨(dú)立觀測(cè)，然后再利用LAIM進(jìn)行求解。盡管本文的討論是基于單個(gè)粗差假設(shè)，不考慮粗差相互抵消的情況，相關(guān)結(jié)論同樣適用于多維粗差情形。此外，對(duì)于有t個(gè)必要觀測(cè)的測(cè)量系統(tǒng)，LAIM共需進(jìn)行(t+1)次單純形法運(yùn)算，計(jì)算效率主要決定于單純形算法的執(zhí)行效率。

4 算例分析

為驗(yàn)證設(shè)計(jì)矩陣中僅含“±1”和“0”的測(cè)量系統(tǒng)觀測(cè)值最小影響系數(shù)的數(shù)值特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了水準(zhǔn)網(wǎng)仿真試驗(yàn)；為了進(jìn)一步檢驗(yàn)最小影響系數(shù)與RFP-L1觀測(cè)值的判別關(guān)系，并對(duì)LAIM方法的有效性進(jìn)行評(píng)價(jià)，采用線性回歸測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真試驗(yàn)。

4.1 水準(zhǔn)網(wǎng)

如圖1所示為一水準(zhǔn)網(wǎng)，B點(diǎn)高程已知，其余9個(gè)點(diǎn)高程待求，全網(wǎng)共計(jì)高差觀測(cè)值18個(gè)。

圖1 水準(zhǔn)網(wǎng)Fig.1 Leveling network

觀測(cè)量對(duì)應(yīng)的觀測(cè)方程為

Lm=Hj-Hi

(12)

式中，Lm為第m個(gè)高差觀測(cè)值(m=1,2,…,18)；下標(biāo)i、j為水準(zhǔn)點(diǎn)點(diǎn)名(A～J);H為水準(zhǔn)點(diǎn)高程參數(shù)值或已知高程。

由式(12)可以看出，水準(zhǔn)網(wǎng)的每個(gè)觀測(cè)方程中，未知參數(shù)的系數(shù)為常數(shù)1、-1或0，與各水準(zhǔn)路線兩端水準(zhǔn)點(diǎn)高程無(wú)關(guān)。以L1、L4、L5、L6、L9、L12、L14、L16、L17為必要觀測(cè)值，得到水準(zhǔn)網(wǎng)的判斷矩陣J，列于表1。

表1 水準(zhǔn)網(wǎng)判斷矩陣J

由表1可以看出，水準(zhǔn)網(wǎng)的判斷矩陣J中僅包含1、-1和0，并且每個(gè)必要觀測(cè)值對(duì)應(yīng)的列向量中非零元素個(gè)數(shù)至少為2，結(jié)合圖1的網(wǎng)形特點(diǎn)，每個(gè)水準(zhǔn)點(diǎn)的自由度均不小于3，容易得出，水準(zhǔn)網(wǎng)中的每個(gè)觀測(cè)值都有粗差發(fā)現(xiàn)和定位能力，各種必要觀測(cè)、多余觀測(cè)組合形式的判斷矩陣J中必要觀測(cè)值對(duì)應(yīng)列向量非零元素個(gè)數(shù)始終≥2。由判斷矩陣J容易得到水準(zhǔn)網(wǎng)的條件方程，可以發(fā)現(xiàn)，各個(gè)條件方程實(shí)質(zhì)上就是獨(dú)立閉合環(huán)或附合路線，不難理解，對(duì)該水準(zhǔn)網(wǎng)的各種L1、L2組合形式的條件方程，均反映的是高差觀測(cè)值之間簡(jiǎn)單的圖形條件關(guān)系，在每個(gè)條件方程中，觀測(cè)值的系數(shù)為1、-1或0。因此，這類測(cè)量系統(tǒng)中，若觀測(cè)值Lm(m=1,2,…,n)具有粗差定位能力，且位于條件方程的L2中，則對(duì)應(yīng)的系數(shù)列向量非零元素絕對(duì)值和必然≥2，即影響系數(shù)ζm≥2；如果位于L1中，則對(duì)應(yīng)的系數(shù)列向量非零元素絕對(duì)值和恒等于1，即影響系數(shù)ζm=1。綜合這兩種情況可知，對(duì)水準(zhǔn)網(wǎng)中具有粗差定位能力的觀測(cè)值Lm，最小影響系數(shù)ζmMIN=1。

4.2 線性回歸

表2為線性回歸y=2x+6的模擬數(shù)據(jù)，其中在y中添加了服從正態(tài)分布N(0,0.52)的隨機(jī)誤差。

表2 線性回歸模擬數(shù)據(jù)

對(duì)以上的線性回歸，有斜率a、截距b兩個(gè)待求參數(shù)。要確定a和b，至少在9組觀測(cè)值中選擇任意兩組來(lái)構(gòu)成觀測(cè)方程進(jìn)行解算。

采用LAIM方法求取各個(gè)觀測(cè)值的最小影響系數(shù)，列于表3。其中，ζmin為觀測(cè)值最小影響系數(shù)。

表3 觀測(cè)值的最小影響系數(shù)

從表3可以看出，L1—L8等8個(gè)觀測(cè)值的最小影響系數(shù)均等于1，而L9的最小影響系數(shù)小于1，由此不難判斷，L9為RFP-L1，而其他觀測(cè)值不是。為了驗(yàn)證這一結(jié)論，設(shè)計(jì)隨機(jī)粗差試驗(yàn)：選擇Lm(m=1,2，…，9)中的一個(gè)添加粗差，粗差大小介于5～20倍測(cè)量中誤差之間(2.5～10)，粗差的正負(fù)號(hào)隨機(jī)，遍歷所有觀測(cè)值，每個(gè)觀測(cè)值添加粗差的試驗(yàn)進(jìn)行100次，每次試驗(yàn)采用以殘差絕對(duì)值和最小為目標(biāo)函數(shù)的單純形法進(jìn)行求解。分別統(tǒng)計(jì)各個(gè)觀測(cè)值的100次隨機(jī)粗差試驗(yàn)中，單純形解中其作為多余觀測(cè)值、必要觀測(cè)值出現(xiàn)的次數(shù)，列于表4。

表4 隨機(jī)粗差試驗(yàn)結(jié)果

從表4可以看出，L1—L8中的每個(gè)觀測(cè)值在添加粗差時(shí)，單純形解中，粗差觀測(cè)值都出現(xiàn)在多余觀測(cè)值中，從而粗差可以完全反映在相應(yīng)的觀測(cè)值殘差上，粗差均可以定位；L9中無(wú)論添加小粗差還是大粗差，單純形解中都以必要觀測(cè)值出現(xiàn)，這樣粗差就被分配在7個(gè)多余觀測(cè)值殘差中，從而粗差無(wú)法準(zhǔn)確定位。由此可以得出，L1—L9中L9為RFP-L1。為了檢驗(yàn)傳統(tǒng)粗差處理方法是否能夠解決RFP-L1的粗差探測(cè)問(wèn)題，進(jìn)行以上試驗(yàn)時(shí)，同時(shí)采用數(shù)據(jù)探測(cè)法和抗差最小二乘法分別進(jìn)行粗差檢核和抗差估計(jì)，結(jié)果表明，對(duì)L1—L8，兩種方法可以識(shí)別到絕大多數(shù)的粗差，但對(duì)L9，對(duì)介于5～20倍中誤差的粗差，兩種方法均無(wú)法發(fā)現(xiàn)粗差。進(jìn)一步地，往L9中加入更大量級(jí)的粗差進(jìn)行試驗(yàn)，結(jié)果表明，當(dāng)粗差足夠大時(shí)，數(shù)據(jù)探測(cè)法可以探測(cè)到L9中的粗差，抗差最小二乘法也能夠識(shí)別L9中的粗差。雖然兩種傳統(tǒng)的粗差處理方法可以處理L9中較大量級(jí)的粗差，但均無(wú)法有效解決大小為5～20倍中誤差的粗差探測(cè)問(wèn)題，而這樣量級(jí)的粗差卻是粗差探測(cè)中更為關(guān)注的。

為了進(jìn)一步分析線性回歸算例中L1—L8為非RFP-L1，而L9為RFP-L1的現(xiàn)象，保持L1—L8各觀測(cè)值中的x和y不變，L9中的x依次取值23～49，對(duì)應(yīng)y值取2x+6，并在y中加入服從N(0,0.52)的隨機(jī)誤差。采用LAIM方法計(jì)算各觀測(cè)值的最小影響系數(shù)，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)對(duì)L9的各種取值情況，L1—L8的最小影響系數(shù)均為1，L9中x取值與其對(duì)應(yīng)的最小影響系數(shù)如圖2所示。同時(shí)，對(duì)L9的各種取值情況，均往L9的y中添加大小為10的粗差，并采用L1范數(shù)估計(jì)和LS估計(jì)方法求得線性回歸的斜率a和截距b，結(jié)果分別如圖3、圖4所示。

圖3 L9位置變化時(shí)的斜率Fig.3 Slope corresponding to different positions of L9

圖4 L9位置變化時(shí)的截距Fig.4 Intercept corresponding to different positions of L9

由圖2可以看出，L9中x的取值較小時(shí)，L9距離其他樣本點(diǎn)較近，樣本點(diǎn)的空間分布相對(duì)均勻，所有觀測(cè)值的最小影響系數(shù)均為1，測(cè)量系統(tǒng)中不存在RFP-L1。隨著L9中x取值的增大，L9遠(yuǎn)離其他樣本點(diǎn)，其最小影響系數(shù)小于1，并逐漸減小，此時(shí)單純形解中，L9中的粗差將被縮放后分配在7個(gè)多余觀測(cè)值殘差中，粗差無(wú)法正確定位。而且當(dāng)L9距離其他樣本點(diǎn)足夠遠(yuǎn)時(shí)，對(duì)多余觀測(cè)值殘差進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)甚至可能無(wú)法發(fā)現(xiàn)粗差。從圖3、圖4可以發(fā)現(xiàn)，L9中含有粗差，無(wú)論L9中x如何取值，LS估計(jì)求得的斜率a和截距b均嚴(yán)重偏離真實(shí)值；當(dāng)L9不為RFP-L1時(shí)，L1范數(shù)估計(jì)求得的斜率a和截距b不受L9中粗差的影響，但隨著L9中x取值增大而變?yōu)镽FP-L1，求得的斜率a和截距b嚴(yán)重偏離真實(shí)值。由此可見，對(duì)線性回歸問(wèn)題，測(cè)量系統(tǒng)存在RFP-L1且含有粗差時(shí)，無(wú)論是LS估計(jì)還是L1范數(shù)估計(jì)，求得的未知參數(shù)均會(huì)受到粗差的較大影響；樣本點(diǎn)的空間分布是測(cè)量系統(tǒng)是否存在RFP-L1的重要影響因素，在采用L1范數(shù)估計(jì)進(jìn)行粗差探測(cè)分析前，若沒進(jìn)行RFP-L1的識(shí)別分析，粗差探測(cè)的結(jié)果是不可靠的。

綜合以上兩個(gè)算例的試驗(yàn)分析結(jié)果可以得出，觀測(cè)值粗差是否能完全反映在條件方程閉合差函數(shù)Z中，與L1、L2的組合形式有關(guān)，L1范數(shù)估計(jì)的目標(biāo)函數(shù)對(duì)取得最優(yōu)解時(shí)L1、L2的組合形式起到了約束作用，而最小影響系數(shù)ζMIN刻畫了觀測(cè)值粗差投影到L1范數(shù)估計(jì)目標(biāo)函數(shù)時(shí)變化程度的大??；若觀測(cè)值的最小影響系數(shù)小于1，則其為RFP-L1；LAIM可以有效識(shí)別出測(cè)量系統(tǒng)中的RFP-L1；對(duì)函數(shù)模型的設(shè)計(jì)矩陣僅含有1、-1和0的測(cè)量系統(tǒng)，不存在RFP-L1觀測(cè)值。

5 結(jié) 論

針對(duì)采用L1范數(shù)估計(jì)進(jìn)行粗差探測(cè)分析時(shí)，存在有一類觀測(cè)值粗差始終無(wú)法準(zhǔn)確定位的問(wèn)題。本文由條件方程，推導(dǎo)出觀測(cè)值的影響系數(shù)計(jì)算式，得到最小影響系數(shù)大小與RFP-L1觀測(cè)值的關(guān)系，根據(jù)矩陣初等變換理論，獲得從設(shè)計(jì)矩陣判斷存在RFP-L1觀測(cè)值的一般性規(guī)律。通過(guò)算例驗(yàn)證基于最小影響系數(shù)識(shí)別RFP-L1方法的有效性，并得到如下結(jié)論：

(1) 采用L1范數(shù)估計(jì)探測(cè)粗差時(shí)，若存在RFP-L1觀測(cè)值，則粗差會(huì)被分配到其他觀測(cè)值的殘差中，粗差將不能準(zhǔn)確定位。因此，利用L1范數(shù)估計(jì)進(jìn)行粗差檢驗(yàn)時(shí)應(yīng)先進(jìn)行觀測(cè)值的RFP-L1識(shí)別，否則粗差探測(cè)的結(jié)果將會(huì)是錯(cuò)誤的。

(2) 最小影響系數(shù)直觀地描述了觀測(cè)值粗差對(duì)L1范數(shù)估計(jì)目標(biāo)函數(shù)的影響關(guān)系，在殘差絕對(duì)值和最小的準(zhǔn)則下，非RFP-L1的最小影響系數(shù)為1，RFP-L1的最小影響系數(shù)小于1。

(3) 設(shè)計(jì)矩陣中僅含有±1和0的測(cè)量系統(tǒng)，具有粗差發(fā)現(xiàn)和定位能力的觀測(cè)值，最小影響系數(shù)均等于1，不存在RFP-L1問(wèn)題。

篇幅所限，有關(guān)RFP-L1問(wèn)題解決方法的研究將另文介紹。