中考題的“源頭活水”在教材

張浩杰

縱觀各地的中考數(shù)學(xué)試題，總能發(fā)現(xiàn)有些試題直接來源于教材中的習(xí)題或例題。如果我們?cè)谄綍r(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，能夠關(guān)注到這一點(diǎn)，充分挖掘教材習(xí)題、例題的價(jià)值，將會(huì)讓我們的學(xué)習(xí)過程充滿挑戰(zhàn)感，也必將為我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)插上騰飛之翼。

例 （2019·黑龍江綏化）如圖1，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AC上，且BD=BC=AD，則∠A= ? ? ? ? ? ? ? ?度。

【思路解析】從已知條件中，我們發(fā)現(xiàn)該圖中存在三個(gè)等腰三角形，則可以利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)（外）角和定理打通角與角之間的聯(lián)系，聯(lián)合方程思想，進(jìn)而解決問題。

【解法呈現(xiàn)】∵BD=AD，

設(shè)∠A=∠ABD=x°，

∴∠BDC=2x°。

∵BD=BC，

∴∠C=∠BDC=2x°，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C=2x°，

∴x+2x+2x=180，

即x=36，

∴∠A=36°。

【教材之影】蘇科版《數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)第2章第5節(jié)“等腰三角形的軸對(duì)稱性”習(xí)題第7題。

如圖2，∠C=36°，∠B=72°，∠BAD=36°。

（1）求∠1和∠2的度數(shù);

（2）找出圖中的等腰三角形。

【變式探究】

（1）如圖1，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC。證明：△DCB為等腰三角形。

（2）如圖1，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，BD∶DC=m∶n。求△ABD與△BDC的面積比。

（3）如圖1，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，BD=m，DC=n。求△ABD的周長。

（4）如圖3，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°。仿照?qǐng)D4，請(qǐng)你再設(shè)計(jì)兩種不同的分法，將△ABC 分割成 3 個(gè)三角形， 使得每個(gè)三角形都是等腰三角形。（ 注： 如果兩個(gè)圖中分割出的 3 個(gè)三角形分別全等而只是分割線的具體位置不同，則視為同一種分割方法。）

提示：如圖5、圖6、圖7。

（5）如圖8，把等邊三角形ABC分成四個(gè)等腰三角形。

提示：（1）如圖9，取三邊中點(diǎn)D、E、F，連接DE、DF、EF;（2）如圖10，取三邊中點(diǎn)D、E、F，連接DE、AE、EF。

【同類鏈接】

（2019·浙江衢州）“三等分角”大約是在公元前五世紀(jì)由古希臘人提出來的，借助如圖11所示的“三等分角儀”能三等分任一角。這個(gè)“三等分角儀”由兩根有槽的棒OA、OB組成，兩根棒在O點(diǎn)相連并可繞O轉(zhuǎn)動(dòng)。C點(diǎn)固定，OC=CD=DE，點(diǎn)D、E可在槽中滑動(dòng)。若∠BDE=75°，則∠CDE的度數(shù)是（ ? ? ? ? ）。

A.60° ?B.65° ?C.75° ?D.80°

提示：∵OC=CD=DE，

∴∠O=∠CDO，∠DCE=∠CED，

∵∠DCE=2∠O，

∴∠EDB=3∠O=75°，

∴∠O=25°，∠CED=∠ECD=50°，

∴∠CDE=80°，故選D。

（作者單位：江蘇省海門市東洲國際學(xué)校）