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      神奇的“三線合一”

      2019-11-25 02:40:30崔客根
      初中生世界·八年級 2019年10期
      關(guān)鍵詞:頂角平分線過點

      崔客根

      小學時,老師經(jīng)常提到“等腰三角形是一種特殊的三角形”。當時的我并不明白老師所說的“特殊”的含義。在我的認識里,等腰三角形就是有兩條邊相等的三角形,其中相等的兩條邊稱為腰。升入初中后,我學習了“軸對稱圖形”,對等腰三角形有了新的認識:等腰三角形底邊上高線、中線以及頂角的平分線重合,也就是大家常說的“三線合一”。直到此時,我才明白小學老師所說的“等腰三角形是一種特殊的三角形”中的特殊之處。

      在處理與等腰三角形有關(guān)的問題時,我們常常運用 “三線合一”。那么如何證明“三線合一”呢?

      首先我們可以從“折疊”的角度考慮。如圖1,因為△ABC為等腰三角形,所以AB=AC。在等腰△ABC中,沿著∠BAC的角平分線AD將△ABD翻折。因為∠BAD=∠CAD,所以AB落在射線AC上;因為AB=AC,所以點B與點C重合,所以△ABD和△ACD重合。不難發(fā)現(xiàn)等腰三角形是軸對稱圖形,而且對稱軸就在頂角平分線所在的直線上。根據(jù)軸對稱的性質(zhì),我們可以得到BD=CD、AD⊥BC,所以等腰三角形底邊上的高線、中線以及頂角平分線重合。“三線合一”從而得到了驗證。

      另一方面,我們還可以從證明全等的角度進行論證。如圖1,過點A作BC邊的垂線,垂足為點D。因為AD⊥BC,所以∠ADB=∠ADC=90°。因為△ABC為等腰三角形,所以AB=AC。利用“HL”我們可以證明△ABD≌△ACD,這樣我們可以得到BD=CD,∠B=∠C,∠BAD=∠CAD,所以等腰三角形底邊上的高線、中線以及頂角平分線重合。在證明過程中我受到啟發(fā),發(fā)現(xiàn)除了過點A作BC的垂線,還可以作頂角∠BAC的平分線或者過點A作BC的中線,然后同樣利用三角形全等,證明“三線合一”。進一步研究發(fā)現(xiàn),這個命題的逆命題也是成立的,我們可以用它來判斷等腰三角形。

      “三線合一”是等腰三角形所特有的性質(zhì),在以后的學習過程中,處理與等腰三角形有關(guān)的問題,我們可以利用這個性質(zhì)添加適當?shù)妮o助線,解決問題。

      教師點評

      小作者通過預習形成了對等腰三角形“三線合一”的認識。在預習過程中,他通過將等腰三角形沿著頂角平分線AD所在直線“對折”,再“展開”,一方面切身感受到“三線合一”,另一方面也發(fā)現(xiàn)“對折”就是尋找?guī)缀握撟C中“輔助線”的過程,讓后面的幾何論證有了一種“水到渠成”的感覺。從小作者文末的這句“處理與等腰三角形有關(guān)的問題,我們可以利用這個性質(zhì)……”可以看出,小作者通過預習,已經(jīng)掌握了處理等腰三角形問題的一般方法,達到了預習效果。

      (指導教師:蘇州工業(yè)園區(qū)東延路實驗學校 王小林)

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