何之煜,楊志杰,呂旌陽

(1.中國鐵道科學(xué)研究院研究生部,北京 100081； 2.中國鐵道科學(xué)研究院集團有限公司通信信號研究所,北京 100081； 3.北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院,北京 100876)

迭代學(xué)習(xí)控制(Iterative Learning Control， ILC)是在有限區(qū)間內(nèi)處理重復(fù)運行系統(tǒng)跟蹤控制問題最有效的方法之一，其特點是原理簡單、易于實現(xiàn)且對模型要求不高，是一種近乎無模型的前饋學(xué)習(xí)控制算法。自1978年日本學(xué)者Uchiyama提出迭代學(xué)習(xí)控制理論至今[1]，國內(nèi)外專家學(xué)者對其做了大量的工作[2-5]，逐步形成了具有嚴(yán)格數(shù)學(xué)描述的控制理論體系。目前，對迭代學(xué)習(xí)控制的研究和應(yīng)用已遍及工業(yè)生產(chǎn)的方方面面，如工業(yè)機器人[6，7]、數(shù)控機床[8]、工業(yè)化學(xué)反應(yīng)堆[9]、注模機[10]、列車自動駕駛系統(tǒng)[11]和汽車防抱死系統(tǒng)[12]等。

高速列車自動駕駛系統(tǒng)是一個具有高度重復(fù)性的控制系統(tǒng)，具體表現(xiàn)為運行環(huán)境的重復(fù)性、運行計劃的重復(fù)性、運行目標(biāo)的重復(fù)性以及列車動力學(xué)模型的重復(fù)性。文獻(xiàn)[13]首次將ILC思想引入到列車自動駕駛系統(tǒng)中，文獻(xiàn)[14]研究了距離域反饋、迭代域前饋學(xué)習(xí)的列車自動駕駛控制方法，基于距離域建模，結(jié)合壓縮映射方法，控制列車逐漸逼近期望軌跡。文獻(xiàn)[15]提出預(yù)測迭代學(xué)習(xí)控制算法來處理系統(tǒng)輸入受限問題，實現(xiàn)對期望軌跡的精確跟蹤，但需要知道控制系統(tǒng)的精確模型。文獻(xiàn)[16]設(shè)計了一個動態(tài)建模的ILC算法，通過遞推最小二乘法辨識模型參數(shù)，基于范數(shù)最優(yōu)理論，實現(xiàn)對跟蹤誤差關(guān)于2范數(shù)收斂，但沒有考慮系統(tǒng)初態(tài)和受限問題。

系統(tǒng)受限問題普遍存在于現(xiàn)代工業(yè)控制系統(tǒng)中，主要表現(xiàn)為輸入受限和狀態(tài)受限。目前，對于控制系統(tǒng)受限問題下的迭代學(xué)習(xí)控制研究已有了大量的研究成果，文獻(xiàn)[17]設(shè)計了一個雙環(huán)ILC控制器來解決系統(tǒng)輸入受限問題，ILC環(huán)1用來學(xué)習(xí)標(biāo)稱系統(tǒng)的控制器，ILC環(huán)2則用來擬合非線性控制輸入項，但是雙環(huán)結(jié)構(gòu)復(fù)雜且獨立工作。文獻(xiàn)[18]以受限狀態(tài)下的Euler-Bernoulli梁結(jié)構(gòu)為研究對象，在非周期性分布式擾動和邊界擾動作用下，建立了基于時間加權(quán)的Lyapunov-Krasovskii能量函數(shù)，實現(xiàn)了跟蹤誤差沿迭代軸的漸進(jìn)收斂。文獻(xiàn)[19-20]將飽和函數(shù)sat(·)引入輸入受限控制系統(tǒng)的研究中。文獻(xiàn)[21]針對一個線性狀態(tài)受限的系統(tǒng)，將迭代學(xué)習(xí)控制問題轉(zhuǎn)化為凸函數(shù)優(yōu)化問題，證明了算法的跟蹤誤差是關(guān)于2范數(shù)收斂的，但是沒有對非線性系統(tǒng)進(jìn)行深入研究。文獻(xiàn)[22]利用雙曲正切函數(shù)和飽和函數(shù)處理機械手控制系統(tǒng)輸入受限問題，實現(xiàn)跟蹤誤差隨迭代軸的漸進(jìn)收斂。

與大多數(shù)工業(yè)控制系統(tǒng)相同，高速列車自動駕駛系統(tǒng)也是一個受限的控制系統(tǒng)，主要體現(xiàn)為執(zhí)行器物理結(jié)構(gòu)對控制輸入的限制、線路的固定限速和臨時限速等。本文充分考慮上述限制因素，針對時變、非線性的高速列車自動駕駛控制系統(tǒng)，提出一種受限狀態(tài)下的迭代學(xué)習(xí)控制算法，建立類Lyapunov函數(shù)的復(fù)合能量函數(shù)，對所設(shè)計的算法的收斂性進(jìn)行證明，通過計算機仿真驗證，證明了算法的有效性。

1 問題描述

為便于描述，通常將列車看作是一個剛性質(zhì)點，理想狀態(tài)下的列車動力學(xué)模型可以表示為

(1)

式中，i為系統(tǒng)迭代運行次數(shù)；x1，i(t)為列車運行距離，m；x2，i(t)為列車運行速度，m/s；f(Xi，t)為列車運行的單位非線性阻力函數(shù)，N/kg；b為系統(tǒng)的輸入增益，這里取列車的質(zhì)量的倒數(shù)1/M；ui(t)為列車的輸入牽引力/制動力，kN；fb(t)為列車的單位基本阻力，N/kg；fa(s)為線路上的單位附加阻力，包括坡道附加阻力fg、曲線附加阻力fc和隧道附加阻力ft，N/kg；a0，a1，a2分別為列車基本阻力函數(shù)的系數(shù)。

列車在實際運行過程中會受到以下兩方面的限制。

(1)輸入受限

umin(t)≤ui(t)≤umax(t)

(2)

式中，umax(t)，umin(t)分別為系統(tǒng)控制輸入的上、下界。

(2)狀態(tài)受限

xk，min(t)≤xk，i(t)≤xk，max(t)

(3)

式中，k為系統(tǒng)階數(shù)，k=1，2；xk，max(t)，xk，min(t)分別為系統(tǒng)狀態(tài)信息的上、下界。

考慮系統(tǒng)受限情況，可以將式(1)改寫為

(4)

(5)

本文的控制目標(biāo)是，對于給定的列車運行期望曲線xd，在式(2)、式(3)限制條件下，基于迭代學(xué)習(xí)控制理論，找到一個最優(yōu)的控制序列ui(t)，使得當(dāng)i→∞時，系統(tǒng)能夠精確跟蹤期望曲線。

為方便控制器設(shè)計，提出如下合理假設(shè)。

假設(shè)1：列車在每次運行前滿足相同的初始條件，即

Xi(0)=Xd(0)， ?i∈Z*

(6)

假設(shè)2：存在一個最優(yōu)的控制序列ui(t)，使得列車能夠在有限時間t∈[0，T]內(nèi)完全跟蹤上期望的軌跡曲線。

為便于對下一節(jié)控制器收斂性的分析，這里給出關(guān)于飽和函數(shù)的性質(zhì)。

(7)

2 控制器設(shè)計

在設(shè)計控制器之前，首先定義系統(tǒng)的跟蹤誤差ei(t)=xi(t)-xd(t)，進(jìn)一步，系統(tǒng)在第i次迭代的擴展誤差可以表示為

si(t)=c1e1，i+e2，i

(8)

定義系統(tǒng)第i次迭代的Lyapunov函數(shù)為

(9)

上式關(guān)于時間t求導(dǎo)，可得

(10)

為滿足Lyapunov穩(wěn)定性要求，對于重復(fù)運行的列車自動駕駛系統(tǒng)，基于迭代學(xué)習(xí)的思想，在受限情況下，設(shè)計如下控制器

(11)

時變的模型系數(shù)向量βi可以通過飽和函數(shù)和迭代學(xué)習(xí)的思想來實現(xiàn)，表示為

(12)

3 收斂性分析

針對高速列車自動駕駛系統(tǒng)，給出所設(shè)計控制律的收斂性分析，下述定理是主要的結(jié)論。

定理1：對于高速列車自動駕駛系統(tǒng)模型式(1)執(zhí)行重復(fù)運行任務(wù)時，應(yīng)用迭代學(xué)習(xí)控制器，本文所設(shè)計的控制律和學(xué)習(xí)增益更新律具有以下的性質(zhì)。

(L1)?t∈[0，T]，當(dāng)?shù)螖?shù)i趨向于無窮時，跟蹤誤差向量ei(t)趨向于零。

(L2)系統(tǒng)狀態(tài)信號ui(t)，xi(t)均有界，且在任意時刻任意迭代次都能滿足約束條件(2)和(3)。

證明 首先，構(gòu)造類Lyapunov的復(fù)合能量函數(shù)(為了表述清晰，會對函數(shù)的表達(dá)作一定的簡化)

(13)

式中，δβi為時變學(xué)習(xí)增益的估計誤差，δβi=β-βi。

接下來，分別對定理1中的(L1)、(L2)部分進(jìn)行證明。

(1)定理1中(L1)部分的證明

首先，在迭代域?qū)?fù)合能量函數(shù)Ei(t)進(jìn)行差分，得到

ΔEi(t)=Ei(t)-Ei-1(t)=

(14)

式中，Δδβi為δβi在迭代軸的差分，Δδβi=δβi-δβi-1。

(βi-1-βi)dτ=

(15)

(16)

成立。

因此，利用上式可以將式(15)改寫為

(17)

對式(14)第一項，將控制律式(11)代入，可以得到

(18)

將上兩式代入到式(14)中，得

(19)

由于上式中兩項均具有正定性，因此式(19)成立，即能量函數(shù)沿迭代軸具有差分負(fù)定性。

接下來，將對E0(t)的有界性進(jìn)行證明。令i=0，將式(13)重寫為

(20)

對上式關(guān)于時間t求導(dǎo)，可得

(21)

考慮到?t∈[0，T]，β-1=0，可以將上式改寫為

(22)

因此，可以得到

(23)

由于β為已知閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，且有界，因此，必然存在一個已知上界D*，使得

(24)

那么，式(20)就可以表示為

(25)

根據(jù)復(fù)合能量函數(shù)Ei(t)的差分負(fù)定性，可以將第i次迭代學(xué)習(xí)的能量函數(shù)表示為

(26)

對上式兩端取極限

(27)

由于能量函數(shù)Ei(t)是正定的，且E0(t)在時域[0，T]上有界，所以根據(jù)級數(shù)收斂的條件，可以得知，當(dāng)?shù)螖?shù)i趨于無窮時，有

(28)

即列車運行的跟蹤誤差在迭代域上會逐漸收斂到零。

(2)定理1中(L2)部分的證明

由于能量函數(shù)Ei(t)的正定性，且E0(t)在時域[0，T]上是有界的，那么根據(jù)式(27)，Ei(t)在時域[0，T]上也是有界的。另外，根據(jù)上述的級數(shù)收斂定理，當(dāng)?shù)螖?shù)i趨于無窮時，系統(tǒng)跟蹤誤差ei(t)也會收斂到零。根據(jù)學(xué)習(xí)增益更新律式(12)，在飽和函數(shù)意義下，可以得出結(jié)論，時變的學(xué)習(xí)參數(shù)向量βi(t)同樣是有界的。

此外，基于迭代學(xué)習(xí)控制的控制目標(biāo)可達(dá)性可以描述為存在一系列的控制輸入ud(t)，使得系統(tǒng)可以完全跟蹤上期望運行曲線。那么，對于?t∈[0，T]，系統(tǒng)狀態(tài)xd(t)是有界的。又由于系統(tǒng)實際的控制狀態(tài)可以描述為xi(t)=xd(t)+ei(t)，根據(jù)ei(t)的有界性，可知，系統(tǒng)狀態(tài)xi(t)也是有界的，由此可知，控制輸入ui(t)同樣是有界的。

4 算例仿真

以高速動車組某型車作為仿真對象，仿真線路長度為112.46 km，計劃運行時間為1 800 s。列車線路上受到的附加阻力如圖1所示，根據(jù)列車動力學(xué)模型和線路條件，求解出列車在區(qū)間的期望速度曲線和期望位移曲線，如圖2所示。通過Matlab仿真，將PID控制算法和D型迭代學(xué)習(xí)控制算法，與本文提出的受限狀態(tài)下的迭代學(xué)習(xí)控制算法進(jìn)行比較，驗證算法在受限狀態(tài)下的有效性和收斂性。

圖1 列車單位附加阻力

圖2 列車運行期望速度和位移曲線

(1)PID反饋控制算法

工業(yè)上廣泛使用PID反饋控制器，控制律設(shè)計如下

(29)

式中，Kp為控制器的比例項系數(shù)，取0.5；Ki為控制器的積分項系數(shù)，取0.1；Kd為控制器的微分項系數(shù)，取10。

(2)D型迭代學(xué)習(xí)控制算法

列車的初次迭代采用(1)的PID反饋控制器得到，從第2次開始，采用如下D型迭代學(xué)習(xí)控制器

(30)

式中，G為常學(xué)習(xí)增益，G=[g1，g2]T，取g1=1.5，g2=3。

(3)本文提出的參數(shù)化迭代學(xué)習(xí)控制算法

列車的初次迭代同樣采用(1)的PID反饋控制器，根據(jù)所提出的迭代學(xué)習(xí)控制律和參數(shù)更新律，設(shè)置c1=1，θi(0)=[0，0，0]T，參數(shù)向量θ(t)的上界定義為θmax(t)=[1，0.01，0.000 5]T，下界定義為θmax(t)=[0.01，0.001，0.000 05]T，參數(shù)更新增益矩陣γ=[0.01，0.000 4，0.000 000 4]T。

圖3 PID控制跟蹤效果

圖4 D型迭代學(xué)習(xí)控制跟蹤效果

圖5 本文所提出的迭代學(xué)習(xí)控制跟蹤效果

由圖3～圖5可以看出，當(dāng)列車進(jìn)行工況轉(zhuǎn)換時，PID反饋控制會產(chǎn)生較大的暫態(tài)，導(dǎo)致列車運行偏離期望軌跡；而D型迭代學(xué)習(xí)控制器對期望曲線跟蹤的收斂速度較慢，且控制輸入會超過執(zhí)行器上界，不利于列車安全運行；而本文提出的受限狀態(tài)下的迭代學(xué)習(xí)控制算法，通過飽和函數(shù)sat(·)的作用，保證列車運行控制輸入和狀態(tài)始終在允許范圍內(nèi)，并且能夠較快地跟蹤上期望軌跡曲線。

圖6 三種控制算法的距離跟蹤誤差對比

圖7 3種控制算法的速度跟蹤誤差對比

圖6和圖7給出了3種控制算法在距離和速度跟蹤誤差的對比圖，可以看出，PID算法由于沒有學(xué)習(xí)機制，無法隨著迭代次數(shù)提高距離和速度的跟蹤精度；D型迭代學(xué)習(xí)控制算法由于沒有對控制系統(tǒng)模型的學(xué)習(xí)，因此跟蹤收斂速度較慢；而本文提出的迭代學(xué)習(xí)控制算法，可以很好的學(xué)習(xí)系統(tǒng)的重復(fù)性信息，達(dá)到較快的收斂速度和跟蹤精度。

5 結(jié)論

為分析在受限狀態(tài)下高速列車的跟蹤控制問題，首先建立了在受限狀態(tài)下的列車動力學(xué)模型，然后根據(jù)擴展誤差建立Lyapunov函數(shù)，推導(dǎo)出基于迭代學(xué)習(xí)控制的控制律和參數(shù)更新律，并給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)收斂性分析，最后通過計算機仿真對所提出的算法進(jìn)行驗證，分析其對期望運行軌跡的跟蹤性能，主要結(jié)論如下。

(1)飽和函數(shù)sat(·)可以有效限制列車自動駕駛系統(tǒng)執(zhí)行器的控制輸入過大問題，保證了系統(tǒng)的運行安全。

(2)通過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，驗證了所提出的控制律沿迭代軸可以達(dá)到漸進(jìn)收斂，證明了算法收斂性和穩(wěn)定性。

(3)通過計算機仿真驗證以及與PID算法和D型迭代學(xué)習(xí)控制算法對期望運行軌跡跟蹤性能的比較，證明所提出的算法具有較快的收斂速度和較高的跟蹤精度，且能夠保證控制輸入在允許的范圍內(nèi)。