陳學(xué)鑫 成 錦

( 山東師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，250358，濟南 )

1 引 言

量子群[1-4]是近年來新興的數(shù)學(xué)分支,是在研究量子力學(xué)中的量子可積系統(tǒng)時提出來的.其表示理論可以產(chǎn)生Yang-Baxter方程的解，進而來構(gòu)造扭結(jié)不變量.量子群理論在許多數(shù)學(xué)領(lǐng)域和數(shù)學(xué)物理領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用[5-8]，例如：可積模型，共形場論，低維拓撲[9,10]和表示理論[11]等.我們在本文中提出了量子群Uq(sp2n)的退化形式Uq(sp2l,2m)，研究了它的Hopf代數(shù)結(jié)構(gòu)和元素間的交換關(guān)系.

2 退化量子群Uq(sp2l,2m)的定義

任意給定一組正整數(shù)m,n，其中n>m+1，令l=n-m.設(shè)集合I={1,2,…,n}，且令p=-q-1，當(dāng)a≤m時，令qa=q；當(dāng)m

(1)

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eaeb=ebea，fafb=fbfa，若|a-b|>1,

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emEm-1,m+2-Em-1,m+2em=0 ,

(11)

fmEm+2,m-1-Em+2,m-1fm=0,

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其中Em-1,m+2和Em+2,m-1是由以下關(guān)系來定義的：

Em+2,m-1:=fm+1Em+1,m-1-qm+1Em+1,m-1fm+1,

Em+1,m-1:=fmfm-1-qmfm-1fm.

3 Uq(sp2l,2m)的Hopf代數(shù)結(jié)構(gòu)與元素間的交換關(guān)系

Δ(ea)=ea?ka+1?ea,Δ(fa)=fa?1+ka-1?fa,Δ(kb)=kb?kb;

令

Q+:=emEm-1,m+2-Em-1,m+2em，Q-:=fmEm+2,m-1-Em+2,m-1fm，

fbQ+-Q+fb=0，ebQ--Q-eb=0， ?b∈I,

(13)

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(15)

為了更進一步的分析Uq(sp2l,2m)的結(jié)構(gòu)，我們用慣用的記法來表示x-交換

[A,B]x=AB-xBA，

對于?A,B∈Uq(sp2l,2m)和x∈C(q).顯然這也包含了李代數(shù)中[A,B]=[A,B]1的情況.

給出量子伴隨表示的定義：

ad:Uq(sp2l,2m)?Uq(sp2l,2m)→Uq(sp2l,2m)，

(16)

x?yadx(y):=∑(x)x(1)yS(x(2)).

現(xiàn)在對于任意的1≤i

Eji=Ej,j-1Ej-1,i-qj-1Ej-1,iEj,j-1，對于j>i+1.

基于當(dāng)|a-b|>1時，fa與fb可交換的事實，有

Eji=EjkEki-qkEkiEjk=[Ejk,Eki]qk，其中j>k>i+1,

進一步觀察到：

[fi,fi-1]qi=fifi-1-qifi-1fi=-qiadfi-1(fi),

通過定義中的Serre關(guān)系，可得到任意兩元素之間的交換關(guān)系[13].

引入一個自同態(tài)ω：

根據(jù)定義1，顯然可以得到定理1.

定理1F(θ)K(η)E(θ)是代數(shù)Uq(sp2l,2m)的一組生成元.

4 結(jié) 語

通過對退化量子群Uq(sp2l,2m)的研究，我們得到了其較好的代數(shù)性質(zhì)，這為以后量子超群的研究提供了新的思路.接下來的工作是繼續(xù)研究在特殊點(比如在長根處)退化的情況，進一步搞清退化版本與相應(yīng)的量子超群間的區(qū)別與聯(lián)系.另外將C型退化量子群的定義推廣到B型和D型中，我們可以進行更深入的研究.