“雞兔同籠”問(wèn)題蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和解決策略

徐慶 深圳市龍華區(qū)清湖小學(xué)

“雞兔同籠”問(wèn)題的題意是：雞和兔關(guān)在一個(gè)籠子里，數(shù)它們的頭一共有35個(gè)，數(shù)腿一共有94只，請(qǐng)問(wèn)雞和兔各有幾只？

一、“雞兔同籠”問(wèn)題蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想

解決“雞兔同籠”這個(gè)問(wèn)題的方法與數(shù)學(xué)思想有一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系。假設(shè)的思想和假設(shè)法，方程的思想和方程法，枚舉的思想和列表法，數(shù)形結(jié)合的思想和畫(huà)圖法，通過(guò)學(xué)習(xí)雞兔同籠問(wèn)題，解決雞兔同籠的類(lèi)問(wèn)題，滲透的是建模思想等。

“雞兔同籠”作為一類(lèi)有趣又重要的數(shù)學(xué)問(wèn)題的代表，出現(xiàn)在各種教科書(shū)中，也出現(xiàn)在不同年級(jí)的教材中。北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材，將此內(nèi)容安排在第九冊(cè)課本數(shù)學(xué)好玩部分。

解決“雞兔同籠”問(wèn)題時(shí)，第九冊(cè)教材展示了學(xué)生通過(guò)嘗試與猜測(cè)，運(yùn)用列表法逐步解決問(wèn)題的過(guò)程，假設(shè)法和方程法也是五年級(jí)學(xué)生解決該類(lèi)問(wèn)題的一般方法，多種解決方法背后蘊(yùn)含數(shù)學(xué)思想，基于方法與思想的解決問(wèn)題策略，應(yīng)結(jié)合學(xué)生的可接受水平起來(lái)考慮。

二、“雞兔同籠”問(wèn)題可能的解決策略

1、用假設(shè)法列算式，假設(shè)籠子里所有的都是雞，則腿有70條。實(shí)際上腿有94條，少了24條腿，就要將部分雞換成兔子，每將一只雞換成兔子，腿就多2條。所以共需換掉12只雞，即籠子里兔子有12只，則雞有23只。

2、列一元一次方程，設(shè)籠子里雞有x只，那么兔就有（35-x）只。列方程2x+4×(35-x)=94，解方程得x=23，也就是雞有23只，則兔有12只。

3、列二元一次方程組，設(shè)籠子里雞有x只，兔有y只，則x+y=35，2x+4y=94，解方程組得x=23，y=12，也就是雞有23只，兔有12只。

4、取中列表法，雞的數(shù)量從中間開(kāi)始猜，假設(shè)有17只雞18只兔，則有腿2×17+4×18=106條，多了12條腿，則減少6只兔增加6只雞，所以雞有23只兔有12只。

5、跳躍列表法，從1只雞開(kāi)始，跳著猜。若10只雞，25只兔，則有120條腿，得減少兔的數(shù)量；若20只雞，15只兔，則有100條腿，多6條腿，減少3只兔；即有23只雞，12只兔。

6、逐一列表法，從1只雞開(kāi)始，一只只嘗試猜下去，借助列表記錄數(shù)據(jù)，得出12只兔，23只雞，一共有94條腿。

7、畫(huà)圖法，用小棒代替腿畫(huà)圖，根據(jù)腿的總數(shù)94只，調(diào)整數(shù)量，畫(huà)圖得出12只兔，23只雞。

……

三、“雞兔同籠”問(wèn)題的教育價(jià)值

結(jié)合教學(xué)實(shí)錄的教學(xué)過(guò)程中的重難點(diǎn)突破：

1、動(dòng)畫(huà)激趣，鋪墊問(wèn)題。“一個(gè)籠子里有雞和兔共9只，雞和兔各可能有幾只？”

在這一環(huán)節(jié)：①數(shù)據(jù)不大，學(xué)生容易聚焦列表法，特別是逐一列表法，順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生有序思考、有序記錄，為后面的學(xué)習(xí)作鋪墊；②學(xué)生可能會(huì)寫(xiě)出“0、9”的情況，因?yàn)殡u兔同籠，“0、9”這種情況在這道題里面不考慮，但是極端思想這種常用的數(shù)學(xué)思想可以滲透；③動(dòng)畫(huà)中關(guān)于“雞兔同籠”的數(shù)學(xué)史，對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)文化的熏陶和感染，激發(fā)學(xué)生探究的熱情；④此環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的方法記錄數(shù)學(xué)思考的過(guò)程。

2、獨(dú)立嘗試，提出問(wèn)題?！耙粋€(gè)籠子里有雞和兔共9只，它們的腿一共有26只，雞和兔各有幾只？”

在這一環(huán)節(jié)，數(shù)據(jù)不大，根據(jù)上面的鋪墊，采用逐一列表法的學(xué)生較多，假設(shè)算術(shù)策略、方程策略、畫(huà)圖策略等也有。列表這種解決問(wèn)題的策略，讓學(xué)生獲得初步的成功體驗(yàn)，感知有序記錄是有用的。在這一環(huán)節(jié)要讓所有的學(xué)生根據(jù)自身的可接受水平，至少能使用一種可接受的解題策略，落實(shí)數(shù)學(xué)問(wèn)題中的“教育價(jià)值”。

3、再次嘗試，解決問(wèn)題。解決雞兔同籠原題“一個(gè)籠子里有雞和兔共35只，它們的腿一共有94只，雞和兔各有幾只？”

在這一環(huán)節(jié)，學(xué)生有了前面的嘗試，因?yàn)樵}數(shù)據(jù)較大，一一列舉的方式會(huì)變成跳躍式嘗試和取中嘗試，假設(shè)思想、數(shù)形結(jié)合思想、方程思想在這一環(huán)節(jié)也有體現(xiàn)。更進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的方法記錄思考的過(guò)程，再次嘗試”體現(xiàn)了對(duì)“初次嘗試”的提升。

4、小結(jié)提升，延展問(wèn)題。小結(jié)是從解決問(wèn)題的過(guò)程到結(jié)果的累積，鼓勵(lì)孩子們總結(jié)“雞兔同籠”這個(gè)古代趣題和類(lèi)問(wèn)題的聯(lián)系，滲透建模的思想。

五年級(jí)的學(xué)生，方程法遠(yuǎn)比畫(huà)圖、列表之類(lèi)的方法要快捷、簡(jiǎn)便，這是雞兔同籠問(wèn)題的數(shù)學(xué)價(jià)值；對(duì)于約50人的班級(jí)，結(jié)合學(xué)生的可接受水平不一樣，定位于不同的解題方法，是雞兔同籠這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的教育價(jià)值。正如滲透數(shù)形結(jié)合思想的畫(huà)圖法，低年級(jí)學(xué)生會(huì)首先選用，也適用于原有經(jīng)驗(yàn)積累還不夠的高年級(jí)學(xué)困生。

“雞兔同籠”問(wèn)題解決方法的多樣化，蘊(yùn)含數(shù)學(xué)思想的多元化，根據(jù)學(xué)生的可接受水平，定位于不同的解題策略，也就是數(shù)學(xué)問(wèn)題的教育價(jià)值。