Fredholm型泛函積分方程基于Nystrm插值的兩層網(wǎng)格解法

王奇生，周惠敏

（五邑大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，廣東 江門 529020）

本文考慮一類Fredholm型泛函積分方程

其中f(x),α(x),k(x,t)為適當(dāng)光滑的已知函數(shù)，u(x)為未知函數(shù)，且泛函因子α(x)滿足如下的條件：

令y=α(t)，則

這樣，將式（1）等價轉(zhuǎn)化為在子區(qū)間上積分的Fredholm型積分方程（3），其中=±λ，或者[，

積分方程的數(shù)值解法主要有配置與譜配置方法[1-2]、最佳平方逼近與Galerkin投影逼近方法[3-4]、變分迭代與不動點迭代方法[5-6]、無網(wǎng)格與兩網(wǎng)格方法[7-9]和小波與多尺度方法[10-12]等等. 但很少有文獻(xiàn)研究泛函積分方程的兩層網(wǎng)格解法，本文的研究豐富了Fredholm型泛函積分方程的高效數(shù)值方法.

1 解析解存在唯一性的充分條件

利用Banach不動點原理，給出方程（1）解析解存在唯一性的條件.

定理1（解析解的存在唯一性） 假設(shè)泛函因子滿足條件（2），并且有

則積分方程（1）存在唯一解.

證明令T是C[a,b]到C[a,b]上的映射，有對任意的u1,u2∈C[a,b]有

2 粗網(wǎng)格上Nystrm插值解以及其收斂性

和

其中n＞m.

選擇網(wǎng)格點為求積節(jié)點，分別在粗細(xì)兩層網(wǎng)格構(gòu)造高效數(shù)值求積公式

和

其中，求積系數(shù)與余項分別滿足

令x=yi，并忽略余項得到粗網(wǎng)格上的離散化的線性方程組

等價的矩陣方程為

其中Gm=(gij)(m+1)×(m+1),Um=(um(y0),um(y1),…,um(ym))T,Fm=(f(y0),f(y1),…,f(ym))T，當(dāng)i≠j時，gij=當(dāng)i=j時，

利用式（4）和（7）可得

因此，系數(shù)矩陣Gm是嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣，故

則

稱為u(x)在粗網(wǎng)格節(jié)點上滿足插值條件（12）的Nystrm插值函數(shù)，也叫Nystrm插值解. 下面給出粗網(wǎng)格上Nystrm插值解的收斂性結(jié)果.

定理2（Nystrm插值解的收斂性定理） 設(shè)u(x)為積分方程（3）的真解，um(x)為對應(yīng)數(shù)值積分公式（5）下的Nystrm插值解，如果均滿足上述條件（2）、（4）、（7），則成立如下的誤差估計式：

證明由式（8）減去式（13）得

則

利用式（4）和（7）可得

整理得到

下面就數(shù)值積分公式分別選取復(fù)化梯形公式和復(fù)化辛普森公式，分別給出Nystrom插值解收斂性結(jié)果的兩個推論.

推論1在定理2的條件下，如果數(shù)值積分為復(fù)化梯形公式，則

推論2在定理2的條件下，如果數(shù)值積分為復(fù)化辛普森公式，則

3 不動點迭代兩網(wǎng)格解以及其收斂性

對于方程（3）的數(shù)值積分離散化，其計算復(fù)雜程度有賴于網(wǎng)格剖分的直徑h，數(shù)值計算的工作量通常是O(n3)，這里n=1/h.因此構(gòu)造合適的兩層網(wǎng)格算法能較好地解決計算復(fù)雜性的困難.下面分三步介紹一種不動點迭代逼近方法，得到細(xì)網(wǎng)格上Nystrm插值解un(x)的逼近解，也稱兩網(wǎng)格解.

1）選取細(xì)網(wǎng)格解un(x)的初始迭代為粗網(wǎng)格解um(x)，即對任意亦即有初始值

2）對任意x∈[a,b]，在細(xì)網(wǎng)格上定義Nystrm插值解

其中βi,zi（i=1,2,…,n）分別為細(xì)網(wǎng)格的求積系數(shù)和剖分節(jié)點.

3）對任意x∈[a,b]構(gòu)造迭代格式

證明將式（19）和（20）兩邊相減得到

則

這樣，逐步遞推可得

利用式（4）和（7）可得

4 數(shù)值例子

本節(jié)給出了數(shù)值例子闡述上述理論分析的可行性及有效性. 考慮Fredholm型泛函積分方程

表1 復(fù)化梯形公式下計算結(jié)果

表1 復(fù)化梯形公式下計算結(jié)果

8 1.316 8e-05 5.327 7e-05 4.734 8e-04 16 3.291 9e-06 4.000 1 1.331 7e-05 4.000 7 1.183 7e-04 4.000 0 32 8.229 5e-07 4.000 1 3.329 2e-06 4.000 1 2.959 3e-05 3.999 9 64 2.057 4e-07 4.000 0 8.323 0e-07 4.000 0 7.398 2e-06 4.000 0

表2 復(fù)化辛普森公式下計算結(jié)果

表2 復(fù)化辛普森公式下計算結(jié)果

4 0 0 0 8 3.243 2e-20 0 0 0 0 0 16 7.141 5e-20 0.454 1 2.703 5e-19 0 0 0 32 1.034 6e-19 0.690 3 4.024 5e-19 0.671 8 0 0

其次將迭代解的收斂率定義為Ratio2=選取(m,n)分別為（8,32）（8,64），（16,64），對式（24）、（25）以及（26）分別計算它們的細(xì)網(wǎng)格解un(x)和迭代解之間的最大誤差（見表3），其中3,4,5,6，數(shù)值積分采取復(fù)化梯形公式.最后針對（α1(x),f1(x)）的情況，給出當(dāng)m=8，n=64，k=6時其真解u(x)、粗網(wǎng)格解um(x)以及迭代解的圖像（見圖4）.

圖4 復(fù)化辛普森公式下（α1(x),f1(x)）解的圖像

表3 復(fù)化梯形公式下計算結(jié)果

表3 復(fù)化梯形公式下計算結(jié)果

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