北京景山學(xué)校朝陽(yáng)學(xué)校(100012)衣曉蕾

引言

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡(jiǎn)稱(chēng)《標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》)指出數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，是數(shù)學(xué)活動(dòng)的基本形式，是演繹推理的一種形式，是得到數(shù)學(xué)結(jié)果的重要手段，也是計(jì)算機(jī)解決問(wèn)題的基礎(chǔ).數(shù)學(xué)運(yùn)算與核心素養(yǎng)的其它五個(gè)構(gòu)成要素既相互獨(dú)立，又相互交融，是一個(gè)有機(jī)整體.在數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的形成過(guò)程中，學(xué)生能夠進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算能力; 能有效借助運(yùn)算方法解決實(shí)際問(wèn)題;能夠通過(guò)運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展，養(yǎng)成規(guī)范化思考問(wèn)題的品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神.數(shù)學(xué)運(yùn)算能力是課程目標(biāo)之一，是現(xiàn)代人必須具備的一種基本素養(yǎng).培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù).

1.核心素養(yǎng)視角下的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力

數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程.主要包括:

理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果等.

數(shù)學(xué)運(yùn)算能力具有層次性.在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史上，不同類(lèi)別的運(yùn)算是由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、由具體到抽象、由低級(jí)到高級(jí)逐步形成和發(fā)展起來(lái)的.因此對(duì)運(yùn)算的認(rèn)識(shí)和掌握也必須是逐步有序、有層次的.《標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》將中學(xué)生的運(yùn)算能力水平分為三個(gè)層次.①運(yùn)算的準(zhǔn)確性——基本要求，②運(yùn)算的合理、簡(jiǎn)捷——較高要求，③運(yùn)算的程序化——高標(biāo)準(zhǔn)要求.因此，中學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的發(fā)展，一定要將運(yùn)算技能上升到能力和思維層次.

數(shù)學(xué)運(yùn)算能力具有綜合性.運(yùn)算能力不可能脫離具體的數(shù)學(xué)知識(shí)而孤立存在，也不能離開(kāi)其他核心素養(yǎng)而獨(dú)立發(fā)展.它與記憶能力、觀察能力、理解能力、表達(dá)能力以及思維能力等諸多因素互相滲透、協(xié)調(diào)發(fā)展.因而，從運(yùn)算過(guò)程反應(yīng)的思維品質(zhì):深刻性、靈活性、獨(dú)創(chuàng)性、批判性及敏捷性看，運(yùn)算能力的發(fā)展，需要核心素養(yǎng)的綜合發(fā)展.

2.影響數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的因素

筆者通過(guò)調(diào)查問(wèn)卷的形式對(duì)中學(xué)生運(yùn)算能力進(jìn)行了調(diào)查研究，一方面是更清晰地了解中學(xué)生運(yùn)算能力的現(xiàn)狀;另一方面是進(jìn)行影響中學(xué)生運(yùn)算能力發(fā)展的成因分析.

2.1 調(diào)查問(wèn)卷

①您對(duì)數(shù)學(xué)是否感興趣?

(“知之者不如好之者，好之者不如樂(lè)之者”，孔子治學(xué)的三種境界突出了好學(xué)、樂(lè)學(xué)的作用.學(xué)習(xí)興趣是學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)中最活躍的心里成分之一，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，絕對(duì)對(duì)運(yùn)算能力的發(fā)展產(chǎn)生影響.)

②您認(rèn)為什么是運(yùn)算能力? 常見(jiàn)的運(yùn)算有哪些?

③您認(rèn)為運(yùn)算能力的理解對(duì)于數(shù)學(xué)內(nèi)容理解有何重大意義?

(調(diào)查學(xué)生對(duì)運(yùn)算能力的概念、種類(lèi)、意義是否有了解，是否對(duì)運(yùn)算能力有足夠重視.)

④在平時(shí)的考試中，有否因運(yùn)算錯(cuò)誤而導(dǎo)致的失分?失分的原因?

(了解學(xué)生平時(shí)運(yùn)算能力的情況，促使學(xué)生對(duì)自身運(yùn)算能力進(jìn)行評(píng)析.可設(shè)置失分原因的選項(xiàng):審題習(xí)慣差，往往只看了一半就動(dòng)手去做; 書(shū)寫(xiě)不規(guī)范，數(shù)字、運(yùn)算符號(hào)寫(xiě)得潦草，抄錯(cuò)數(shù)和符號(hào);沒(méi)有驗(yàn)算的習(xí)慣，題目算完了事;沒(méi)有掌握法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行計(jì)算;概念不清，沒(méi)有真正理解算理和熟練地掌握算法，不能尋求有效的運(yùn)算途徑;不能“靈活運(yùn)用”法則和運(yùn)算律解決實(shí)問(wèn)題.)

⑤當(dāng)發(fā)現(xiàn)運(yùn)算較為繁雜時(shí)，您平時(shí)是怎么處理的?

⑥您在做數(shù)學(xué)計(jì)算題時(shí)，是多依賴(lài)筆算還是計(jì)算器?

⑦您都是通過(guò)哪些方法來(lái)提高自己的運(yùn)算能力的?

(對(duì)學(xué)生平時(shí)運(yùn)算能力的習(xí)慣進(jìn)行分析，主要包括學(xué)生做繁雜運(yùn)算題的習(xí)慣以及克服困難的意志、筆算和計(jì)算器的使用分配情況、對(duì)自身運(yùn)算能力安于現(xiàn)狀，順其自然還是會(huì)尋求方法如題海戰(zhàn)術(shù)、對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)、方法、技巧進(jìn)行歸納整理等方法提高運(yùn)算能力.)

⑧教師面對(duì)運(yùn)算題目，通常采用的講解方法? 您期望的講解方法是?

(向?qū)W生了解平時(shí)教師在教學(xué)實(shí)踐中遇到運(yùn)算的題目時(shí)所采用的方法，調(diào)查當(dāng)前教師對(duì)學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)是否足夠重視.)

通過(guò)對(duì)1000 名中學(xué)生的網(wǎng)絡(luò)調(diào)查顯示，近70%的中學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有興趣，但是對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的正確認(rèn)識(shí)不足20%，因計(jì)算器、計(jì)算機(jī)等現(xiàn)代技術(shù)的快速發(fā)展，學(xué)生對(duì)培養(yǎng)運(yùn)算能力的重視程度也不高，僅36%.在考試過(guò)程中因運(yùn)算錯(cuò)誤失分的比例高達(dá)93%，并且其中絕大多數(shù)同學(xué)歸因于馬虎、粗心.面臨較為繁雜的運(yùn)算時(shí)，超過(guò)43%的學(xué)生選擇借助工具，11%的學(xué)生選擇放棄.目前有55%的教師對(duì)運(yùn)算題目的講解方法是師講生練，師強(qiáng)調(diào)難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)，生靠記憶掌握.而有78%的學(xué)生最期望的講解方法是由學(xué)生實(shí)踐探究，教師點(diǎn)撥或點(diǎn)評(píng).

2.2 影響中學(xué)生運(yùn)算能力發(fā)展的成因分析

教師層面:多數(shù)教師認(rèn)為如果把運(yùn)算方法和運(yùn)算步驟講解到位了，學(xué)生應(yīng)該能做對(duì);只要多練，學(xué)生的正確率一定能提高，可是效果并非所愿.這種指向解題技能和知識(shí)運(yùn)用的教學(xué)，選擇的教學(xué)起點(diǎn)是例題中的條件與問(wèn)題，教學(xué)過(guò)程遵循解答的邏輯步驟，教學(xué)內(nèi)容被“精簡(jiǎn)”為定理知識(shí)和算法技能，學(xué)生獲得的是固定的計(jì)算方式和運(yùn)算技能.反思這種教學(xué)實(shí)踐，只注重解釋“是什么”，只注重思維結(jié)果，只注重“學(xué)會(huì)了什么”，只注重“會(huì)解題”，它窄化了教學(xué)目標(biāo)，將教學(xué)精簡(jiǎn)為例題的解答，將學(xué)習(xí)簡(jiǎn)化為機(jī)械模仿與記憶.

學(xué)生層面:學(xué)生運(yùn)算能力發(fā)展是基于學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和現(xiàn)有的思維水平，同時(shí)受學(xué)生的智力因素與興趣、動(dòng)機(jī)、習(xí)慣、意志等非智力因素的起動(dòng)、導(dǎo)向、維持和強(qiáng)化等作用共同影響.學(xué)生運(yùn)算題目做錯(cuò)了，往往會(huì)簡(jiǎn)單地把過(guò)錯(cuò)歸結(jié)于粗心，而掩蓋真正的原因，忽視實(shí)質(zhì)的問(wèn)題，從而無(wú)法采取相應(yīng)的彌補(bǔ)措施.事實(shí)上，在粗心的表象下，有很多更深層次的原因，表現(xiàn)在不同學(xué)生身上，這些原因所占的比例會(huì)有不一樣.粗心，或是因?yàn)閷?duì)知識(shí)掌握的熟練度不夠，做不到又快又準(zhǔn);粗心，或因?yàn)閷?duì)知識(shí)的基本概念不清楚，未深究概念細(xì)節(jié);粗心，或是因?yàn)樽鲱}習(xí)慣有問(wèn)題，不寫(xiě)步驟或跳步太多，過(guò)程不規(guī)范或書(shū)寫(xiě)不認(rèn)真;粗心，或是因?yàn)樽鲱}準(zhǔn)確率不高，平時(shí)并未力求“一遍做對(duì)”.

3.核心素養(yǎng)導(dǎo)向下運(yùn)算能力的培養(yǎng)策略

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)不是獨(dú)立于知識(shí)、技能、思想、經(jīng)驗(yàn)之外的“神秘”概念，它是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中逐漸形成的，它綜合體現(xiàn)出對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解、對(duì)數(shù)學(xué)技能方法的掌握、對(duì)數(shù)學(xué)思想的感悟以及對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累.[1]

培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，課堂教學(xué)是關(guān)鍵.在實(shí)際課堂教學(xué)中，不僅要重視“是什么”，更要研究“為什么”，研究該知識(shí)又可能“生長(zhǎng)出什么”;不僅要注重思維，也要重視思維體驗(yàn)和交流;不僅要注重“學(xué)會(huì)了什么”，還應(yīng)重視“怎么學(xué)會(huì)”的生成;不僅要重視“會(huì)解題”，更要注重“解題經(jīng)驗(yàn)的提煉和辨析”以及“解題的體驗(yàn)”等等.課堂教學(xué)中，還需根據(jù)每個(gè)學(xué)生的實(shí)際情況，幫助他們?cè)趯?shí)施運(yùn)算過(guò)程中突破薄弱環(huán)節(jié)，養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣，促進(jìn)學(xué)生運(yùn)算能力的形成和發(fā)展.

3.1 從揭示概念本質(zhì)與知識(shí)意義設(shè)計(jì)運(yùn)算教學(xué)

運(yùn)算對(duì)象及方向的明晰、運(yùn)算法則的掌握、運(yùn)算方法的選擇、運(yùn)算程序的設(shè)計(jì)都是以數(shù)學(xué)運(yùn)算為先導(dǎo)的.運(yùn)算的程序具有一定的形式化、符號(hào)化，與數(shù)學(xué)概念相呼應(yīng)，并揭示了數(shù)學(xué)概念之間的內(nèi)在規(guī)律.數(shù)學(xué)概念是學(xué)生發(fā)展運(yùn)算能力的重要載體，要提高運(yùn)算水平，必須對(duì)數(shù)學(xué)概念有一個(gè)透徹的理解.[2]引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延作分析、下定義，對(duì)已知與未知條件進(jìn)行合理推斷，揭示因果關(guān)系(由因?qū)Ч驁?zhí)果索因)，牢固掌握并靈活運(yùn)用概念中所表現(xiàn)出的數(shù)量化、符號(hào)化的內(nèi)涵.

例如，已知:∠MON= 40°，OE平分∠MON，點(diǎn)A、B、C分別是射線OM、OE、ON上的動(dòng)點(diǎn)(A、B、C不與點(diǎn)O重合)，連接AC交射線OE于點(diǎn)D.設(shè)∠OAC=x°.

圖1

(1)如圖1，若AB//ON，則

①∠ABO的度數(shù)是_____;

②當(dāng)∠BAD= ∠ABD時(shí)，x=_____; 當(dāng)∠BAD=∠BDA時(shí)，x=_____.

(2)如圖2，若AB ⊥OM，則是否存在這樣的x的值，使得△ADB中有兩個(gè)相等的角? 若存在，求出x的值;若不存在，說(shuō)明理由.

圖2

問(wèn)題(1)的解決實(shí)質(zhì)上是依據(jù)角平分線、平行線的性質(zhì)定理、三角形內(nèi)角和定理或外角定理進(jìn)行的運(yùn)算.問(wèn)題(2)是由△ABD為等腰三角形分析，依據(jù)等腰三角形的概念進(jìn)行分類(lèi):①當(dāng)D在線段OB上時(shí)，△ABD為等腰三角形且為銳角三角形，有三種情況:∠BAD=∠ABD;∠BAD= ∠ADB;∠ABD= ∠ADB.②當(dāng)D在射線BE上時(shí)，△ABD為等腰三角形且為鈍角三角形，只有一種情況:∠BAD=∠BDA.從而通過(guò)運(yùn)算求出4 個(gè)x的值.

3.2 從發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維處設(shè)計(jì)運(yùn)算教學(xué)

設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)，應(yīng)不自覺(jué)地運(yùn)用皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論，順應(yīng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣;順應(yīng)知識(shí)本身的邏輯結(jié)構(gòu);順應(yīng)學(xué)生原有的認(rèn)知基礎(chǔ);順應(yīng)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，揭示知識(shí)的本質(zhì)與內(nèi)在聯(lián)系，“通性”，“通法”，培養(yǎng)思維的深刻性、廣闊性、敏捷性、靈活性、批判性和獨(dú)創(chuàng)性.比如當(dāng)學(xué)生的思維發(fā)展到某一點(diǎn)上出現(xiàn)停滯時(shí)，可引導(dǎo)學(xué)生另辟蹊徑，列舉一些矛盾或相近線索，提出一些假想，激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的求異思維，學(xué)生就會(huì)興致勃勃地去鉆研思考，直到有所發(fā)現(xiàn).

例如，已知關(guān)于x的方程x3-mx2-2mx+m2-1=0，有且只有一個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

一般解法是把x當(dāng)成主元，求出x，再對(duì)m進(jìn)行討論.這種解題過(guò)程相當(dāng)麻煩.這時(shí)，可啟發(fā)學(xué)生轉(zhuǎn)換思維，另辟蹊徑，把m當(dāng)成主元，靈活地解決問(wèn)題.

解:原方程可化為m2-(x2+2x)m+x3-1 = 0，即[m-(x-1)][m-(x2+x+1)]= 0.由題意知，原方程有且只有一個(gè)根，所以x2+x+1-m= 0 無(wú)實(shí)根，故Δ=1-4(1-m)＜0，所以

3.3 從開(kāi)闊學(xué)生運(yùn)算視野上設(shè)計(jì)運(yùn)算教學(xué)

運(yùn)算的多元化，運(yùn)算過(guò)程中對(duì)通性通法和簡(jiǎn)潔算法的追求，有助于開(kāi)闊學(xué)生的運(yùn)算視野，提高學(xué)生對(duì)運(yùn)算的理解.教學(xué)中一題多解、一題巧解，將數(shù)學(xué)運(yùn)算從解決具體的問(wèn)題升華到理性的認(rèn)識(shí)，使個(gè)體思維更加靈活，運(yùn)算更加優(yōu)化.

解法一換元法.令則原方程可化為:y2+y-20=0,(y-4)(y+5)=0，y1=4,y2=-5，(舍去).把y= 4 代入得:解得x1=2,x2=-8.所以原方程的解是x1=2,x2=-8.

解法二因式分解法.所以(舍去).所以x2+6x= 16，解得x1=2,x2=-8.所以原方程的解是x1=2,x2=-8.

解法三因?yàn)閤2+6x ≥0,x2+6x是的平方，所以原方程可化為所以x2+6x=16，所以原方程的解是x1=2,x2=-8.

3.4 從變式教學(xué)中設(shè)計(jì)運(yùn)算教學(xué)

變式教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的方法，知識(shí)形成過(guò)程中的問(wèn)題設(shè)計(jì)，基本概念辨析，定理和公式的推廣、例題與習(xí)題的引申中都可以合理地采用變式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生知識(shí)的新舊聯(lián)系和思想方法的遷移，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)展探究意識(shí)，培養(yǎng)思維能力.

例如，如圖3，C為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)A作AD ⊥AB且AD=3，過(guò)B作BE ⊥AB且BE= 1，連結(jié)DC、EC，若AB=5，設(shè)AC=x.

圖3

(1)DC+EC的長(zhǎng)為_(kāi)____.(用含x的式子表示，不必化簡(jiǎn));

(2)當(dāng)點(diǎn)C位置滿足_____時(shí)，DC+EC的長(zhǎng)最小，最小值是_____.

變式(1)通過(guò)構(gòu)圖求出的最小值嗎?

(2)已 知a ＞0,b ＞0，且a+b= 2，寫(xiě) 出m=的最小值.

3.5 從糾錯(cuò)改錯(cuò)中設(shè)計(jì)運(yùn)算教學(xué)

錯(cuò)誤與疏漏是運(yùn)算中不可避免的，在實(shí)際教學(xué)中，允許學(xué)生有差錯(cuò)，允許學(xué)生試錯(cuò)是符合學(xué)生身心發(fā)展規(guī)律的.出現(xiàn)錯(cuò)誤，無(wú)需焦慮，也不能一講到底，應(yīng)調(diào)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)參與的興趣，從尋找錯(cuò)誤原因，到對(duì)錯(cuò)誤進(jìn)行剖析，在交流和討論的過(guò)程中，讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)自我否定，并建立新的認(rèn)知平衡.教師還可以收集學(xué)生在各類(lèi)計(jì)算中出現(xiàn)的各種錯(cuò)誤，并加以分類(lèi)辨析.制作試題卡，讓學(xué)生指出錯(cuò)誤原因并加以糾正.要提高運(yùn)算的準(zhǔn)確性，就要注重學(xué)生運(yùn)算中推理能力的培養(yǎng)，推理時(shí)應(yīng)養(yǎng)成“講道理、找根據(jù)”的習(xí)慣，做到步步有依據(jù)，從而促進(jìn)運(yùn)算能力的發(fā)展.

結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)運(yùn)算在數(shù)學(xué)教學(xué)中是貫穿始終的，并且逐步體現(xiàn)于數(shù)學(xué)的高度抽象性、嚴(yán)密的邏輯性和廣泛的應(yīng)用性上.數(shù)學(xué)教師都應(yīng)將培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力作為數(shù)學(xué)教學(xué)的主要任務(wù)之一，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算思維，落實(shí)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的培育，更精準(zhǔn)的理解和把握數(shù)學(xué)運(yùn)算的內(nèi)涵，更深入的探尋數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)策略.學(xué)生核心素養(yǎng)的形成，不是依賴(lài)單純的課堂教學(xué)，而是依賴(lài)學(xué)生參與其中的教學(xué)活動(dòng);不是依賴(lài)記憶與理解，而是依賴(lài)探究活動(dòng)中的感悟與思維;它應(yīng)該是日積月累的、自己思考的經(jīng)驗(yàn)的積累.[3]突破運(yùn)算關(guān)，除了教師運(yùn)算求解的示范效應(yīng)，運(yùn)算教學(xué)的指向作用之外，學(xué)生的運(yùn)算觀、態(tài)度、習(xí)慣和信心也非常重要.讓我們?cè)诓粩鄤?chuàng)新中讓數(shù)學(xué)教學(xué)工作更有成效.