摘 要：本文證明了在等壓最大值情況下范氏氣體可過度到理想氣體。

關鍵詞：范氏氣體;理想氣體;4個條件

1 緒論

研究表明，范氏氣體過度到理想氣體，必須滿足4個條件：一是滿足理想氣態(tài)方程，二是滿足焦耳定律，三是滿足第二位力系數為零，四是滿足焦湯系數為零。那么，在什么情況下范氏氣體滿足上述4個條件呢？經過多年的探索與研究發(fā)現，在等壓最大值情況下，范氏氣體可滿足上述4個條件，現證明如下。

2 等壓最大值情況滿足4個條件的證明

這是所說的等壓最大值情況是指P=a4b2，V=2bN（N為摩爾數），T=a2Rb的情況。

2.1 滿足理想氣態(tài)方程的證明

范氏氣態(tài)方程可寫為：

P范=P理+P體-P引（1）

式中：P范—范氏氣體壓強，

P理=NRTV，理想氣體壓強，

P體=N2bRTV（V-bN），分子體積壓強，

P引=N2aV2，分子引力壓強。

把V=2bN，T=a2Rb 代入P體、P引 的表達式得P體=P引=a4b2，即P體-P引=0，在這種情況下，（1）式成為：

P范=P理（2）

即滿足理想氣態(tài)方程。

2.2 滿足焦耳定律的證明

考慮體積勢能時的范氏氣體內能公式為：

U=CvT+E體-E引（3）

式中：U—范氏氣體內能，

CvT—理想氣體內能，

E體=N2bRT（V-bN），體積勢能。

E引=N2aV，引力勢能。

把V=2bN，T=a2Rb 代入E體，E引的表達式得E體=E引=Na2b，即E體-E引=0，在這種情況下，（3）式成為：

U=CvT（4）

即滿足焦耳定律。

2.3 滿足第二位力系數為零的證明

上面已經給出P體 的表達式為：

P體=N2bRTV（V-bN）（5）

上面式（5）可寫為：

P體=N22bRTV（2V-2bN）（6）

在V=2bN 的情況下，（6）式可寫為：

P體=N22bRTV（2V-V）=N22bRTV2（7）

上面已經給出P引 的表達式為：

P引=N2aV2（8）

把（7）、（8）式代入（1）式得：

P范=NRTV+N22bRTV2-N2aV2（9）

由（9）式可見，第二位力系數B為：

B=N22bRTV2-N2aV2（10）

把T=a2Rb代入（10）式得：

B=N22bRV2.a2Rb-N2aV2=0（11）

即滿足第二位力系數B為零。

2.4 滿足焦湯系數為零的證明

焦湯系數μ的表達式可寫為：

μ=RTbV3-2aV（V-bN）2（12）

把V=2bN，T=a2Rb 代入（12）式得：

μ=4ab3N3-4ab3N3=0（13）

即滿足焦湯系數μ為零。

再把V=2bN，T=a2Rb代入（2）式得：

P范=P理= NRTV=NR2bN.a2Rb= a4b2（14）

即在V=2bN，T=a2Rb，P=a4b2 的情況下，范氏氣體滿足4個條件，可過度到理想氣體。

3 說明

（1）在容積為V，溫度為等壓溫度T=aRb-NaRV 的情況下，能滿足理想氣態(tài)方程，滿足第二位力系數為零，但不滿足焦耳定律，在這種情況下，范氏氣體不可過度到理想氣體。

（2）在V=3bN，T=2a3Rb 的情況下，能滿足理想氣態(tài)方程，滿足第二位力系數為零，滿足焦耳定律，但不滿足焦湯系數為零，在這種情況下，范氏氣體也不可過度到理想氣體。

（3）在V=3bN，T=8a9Rb 的情況下，能滿足焦湯系數為零，但不滿足焦耳定律，不滿足理想氣態(tài)方程，不滿足第二位力系數為零，在這種情況下，范氏氣體也不能過度到理想氣體。

（4）由上面可知P體 的表達式為：

P體=N2bRTV（V-bN） =N2bRTV2（1-bNV）（15）

把等壓容積V=N（1b-RTa）=abNa-bRT 代入（1-bNV）并化簡得：

（1-bNV）=bRTa（16）

把（16）式代入（15）式得：

P體=N2bRTV2.abRT=N2aV2=P引（17）

由此可見，在容積為等壓容積V=N（1b-RTa），溫度為T的情況下，能滿足理想氣態(tài)方程，滿足第二位力系數為零，但由V=N（1b-RTa） 解得T=aRb-NaRV，不滿足焦耳定律，在這種情況下，范氏氣體也不可過度到理想氣體。

（5）只有在V=2bN，T=a2Rb 的情況下，范氏氣體可過度到理想氣體，現證明如下。

由上面P體、P引 的表達式和（14）式可見，在V=2bN，T=a2Rb 的情況下有下式成立：

P范=P理=P體=P引=a4b2（18）

由此可見，范氏氣體過度到理想氣體必須滿足的4個條件和滿足（18）式是等價的，即只要滿足4個條件也就滿足（18）式，反之，只要滿足（18）式也就滿足4個條件，因此，范氏氣體過度到理想氣體的4個條件可等價為一個，即只要滿足（18）式即可。

因為只有在V=2bN，T=a2Rb 的情況下可滿足（18）式，所以，只有在V=2bN，T=a2Rb 的情況下，范氏氣體可過度到理想氣體，證畢。

4 結論

綜上所述可得結論：在等壓最大值情況下（V=2bN，T=a2Rb，P=a4b2的情況下），范氏氣體可過度到理想氣體，并且只有在等壓最大值情況下，范氏氣體可過度到理想氣體。

這一結論叫做等壓最大值理想化定律。

5 評述

（1）等壓最大值理想化定律，是等壓最大值定律的深化和擴展，等壓最大值定律只從范氏氣體壓強和理想氣體壓強相等并取得最大值來表述，而等壓最大值理想化定律，則在此基礎上，從范氏氣體過度到理想氣體必須滿足的4個條件來表述，并進一步把4個條件等價為一個條件說明其唯一性，因此，等壓最大值理想化定律比等壓最大值定律前進了一步。

（2）等壓最大值理想化定律的發(fā)現，完滿地解答了：在什么情況下，范氏氣體可過度到理想氣體這一世界難題（這一世界難題為國家自然科學基金資助項目，編號：10774041，見文獻[2]）。

參考文獻：

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[2]王鑫，等.論范氏氣體方程和理想氣體狀態(tài)方程的關系.大學物理，2010.4.

[3]王子佳.等壓容積定律及應用.新鄉(xiāng)學院學報，2010.3.

[4]王子佳.中國在瓦斯研究史上發(fā)現的兩定律及應用.隴東學院學報，2010.5.

[5]王子佳.等壓瓦斯量定律及應用.陳東學院學報，2011.2.

[6]王子佳.等壓最大值情況下范氏氣體內能的討論.科教導刊（電子版），2019.16.

[7]王子佳.范氏氣體理想化的氣態(tài)方程.廣西物理，2013.4.

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[9]張玉民.熱學.科學出版社，2006（第2版）.

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[11]鐘錫華，陳熙謀.大學物理通用教程習題解答.北京大學出版社，2005.

[12]秦允豪.熱學.高等教育出版社，2004（第2版）.

作者簡介：王子佳（1953-），男，廣西玉林人，工程師，從事瓦斯研究工作。