沈 丹,孫嘉聰,王 飛

(1. 渤海大學(xué) 數(shù)理學(xué)院， 遼寧 錦州 121013; 2. 遼寧理工學(xué)院 信息工程系， 遼寧 錦州121013)

1 給付現(xiàn)值的定義

給付現(xiàn)值，也稱(chēng)折現(xiàn)值，是指把未來(lái)現(xiàn)金流量折算為基準(zhǔn)時(shí)點(diǎn)的價(jià)值，用以反映投資的內(nèi)在價(jià)值.使用折現(xiàn)率將未來(lái)現(xiàn)金流量折算為現(xiàn)值的過(guò)程，稱(chēng)為“折現(xiàn)”.折現(xiàn)率，是指把未來(lái)現(xiàn)金流量折算為現(xiàn)值時(shí)所使用的一種比率.

2 隨機(jī)利率下增額壽險(xiǎn)模型

2.1 利息累計(jì)函數(shù)

R(t)=δt+β|B(t)|

(1)

其中B(t)為Brownian運(yùn)動(dòng)，|B(t)|是標(biāo)準(zhǔn)反射Brownian〔4〕運(yùn)動(dòng)(σ2=1)，β也是與t無(wú)關(guān)的隨機(jī)變量或常數(shù).

2.2 隨機(jī)利率下n年定期即時(shí)給付增額壽險(xiǎn)模型

(2)

其中R(t)為利息累計(jì)函數(shù)；α>0稱(chēng)為增長(zhǎng)系數(shù)，特別的當(dāng)α=1，稱(chēng)為n年標(biāo)準(zhǔn)定期增額壽險(xiǎn)〔5〕模型.

3 隨機(jī)利率下給付現(xiàn)值一階矩

在DeMoivre死亡力下，0≤t

有

ZT=b(1+α[t])e-R(t)=b(1+α[t])e-(δt+β|B(t)|)

(3)

即：

(4)

4 隨機(jī)利率下參數(shù)變化對(duì)連續(xù)型線(xiàn)性增額壽險(xiǎn)的影響

考慮5,10,15,20年定期連續(xù)型線(xiàn)性增額壽險(xiǎn)，假設(shè)保費(fèi)以每年10%遞增(α=0.1)，令b=1，取銀行常見(jiàn)利率δ=0.025代入4中有

若投保人年齡x=20時(shí)，β=0.1,n=5

若投保人年齡x=30時(shí)，β=0.23,n=10

若投保人年齡x=30時(shí)，β=0.23,n=15

若投保人年齡x=40時(shí)，β=0.5,n=20

現(xiàn)取參數(shù)β=0.1,0.2,0.23,0.25,0.5,1經(jīng)過(guò)MATLAB模擬運(yùn)算，得到下表

表1 投保人x=20不同參數(shù)下給付現(xiàn)值變化表

βn0.10.20.230.250.515-0.0732-0.56302.20240.55120.06090.016110-0.2129-1.66516.55701.64570.19270.065715-0.4626-3.646914.39643.61930.43380.160720-0.9209-7.292728.82897.25460.88120.3410

表2 投保人x=30不同參數(shù)下給付現(xiàn)值變化表

βn0.10.20.230.250.515-0.1068-0.82143.21720.80450.08920.023710-0.3494-2.737010.78282.70710.31860.110115-0.8464-6.680626.38206.63420.79850.299320-1.7876-14.167656.021114.09981.71730.0476

表3 投保人x=40不同參數(shù)下給付現(xiàn)值變化表

表4 參數(shù)β=0.23不同年齡、不同定期下給付現(xiàn)值變化表

根據(jù)上述表格有如下結(jié)論：當(dāng)息力累計(jì)函數(shù)含有Brownian干擾項(xiàng)時(shí)，

(1)此增額壽險(xiǎn)給付現(xiàn)值模型顯然為關(guān)于增長(zhǎng)系數(shù)α>0的單調(diào)增函數(shù)；

(2)由表1，表2，表3可知，在參數(shù)β=0.23附近給付現(xiàn)值取得最大值.當(dāng)β>0.23時(shí)，給付現(xiàn)值呈現(xiàn)正增長(zhǎng)，當(dāng)β<0.23，給付現(xiàn)值呈現(xiàn)負(fù)增長(zhǎng)；

(3)由表4 在β=0.23處，

①當(dāng)投保人年齡為20歲時(shí)，對(duì)應(yīng)n=5,10,15,20年定期增額壽險(xiǎn)，較前一期限下增幅分別為197.41%,119.56%；100.25%.

②當(dāng)投保人年齡為30歲時(shí)，對(duì)應(yīng)n=5,10,15,20年定期增額壽險(xiǎn)，較前一期限下增幅分別為235.16%,144.67%,112.35%.

③當(dāng)投保人年齡為40歲時(shí)，對(duì)應(yīng)n=5,10,15,20年定期增額壽險(xiǎn)，較前一期限下增幅分別為242.48%,148.67%,126.05%.

可見(jiàn)對(duì)于同一投保人，隨著時(shí)間的增加，給付現(xiàn)值的增加變化趨勢(shì)先急劇后緩慢.

綜上可知，此隨機(jī)利率下連續(xù)型線(xiàn)性增額壽險(xiǎn)模型在同一參數(shù)下，隨著投保期越長(zhǎng)，投保年齡越大，回報(bào)率越高，有著較強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義與指導(dǎo)意義.