基于單邊波動譜的奇異值分解降噪有效階次確定方法

張 安， 陳明義， 馬增強

（石家莊鐵道大學 電氣與電子工程學院，河北 石家莊 050043）

滾動軸承是現(xiàn)代機械設備中應用最多的部件之一，但由于疲勞、磨損、粘著、腐蝕和破損等因素引起的軸承故障會導致軸承組件出現(xiàn)問題［1］，甚至會導致整個機械損壞。而故障振動信號，尤其是早期故障，由于內部激勵弱，以及周圍復雜的噪聲背景和其它干擾源的影響，振動信號的故障特征就會被周圍設備噪聲所淹沒，難以識別。作為一種非線性濾波的信號處理方法，奇異值分解（Singular Value Decomposition，SVD）能夠有效地消除信號中的噪聲，提高信號的信噪比，且處理過的信號無相位偏移，具有良好的穩(wěn)定性，得到了廣泛的應用。

在SVD 降噪的方法中確定奇異值階次一直是研究的難點和熱點問題。在工程應用中往往通過觀察奇異值曲線，找出曲線的突變點來確定有效階次或者進行試湊來找到有效階次，這2種方法往往都非常依賴操作者的經驗，不易掌握。所以，研究人員都想要找到一種操作性強、原理清晰、結果準確、有量化判據的奇異值有效秩階次的確定方法。王益艷等［2］提出了奇異值均值法，求得分解后得到的奇異值的平均值，將此數值對應點作為有效階次。此方法計算簡單便捷，在工程方面應用廣泛。趙學智等［3］提出了奇異值差分譜法，相鄰奇異值做差，差值依次排列得到差分譜，根據差分譜最大值選擇有效階次，該方法在信號信噪比較高的情況下有較好的降噪效果，被廣泛采用。王樹青等［4］采用奇異值相對變化率的最大值確定有效秩階次，此方法相比于差分譜是對奇異值做差后的差值增加了權值，其降噪效果以及存在的不足與差分譜法基本相同。錢征文等［5］將信號頻譜圖中主頻個數的2倍作為奇異值有效秩階次，對于頻譜特征明顯的仿真信號，此方法效果較好。趙學智等［6］發(fā)現(xiàn)了有效奇異值和信號頻率個數之間的關系，并能夠提取出信號的單個頻率，此方法在主頻明顯的情況下效果較好。代蕩蕩等［7］設置奇異值模糊區(qū)，通過模糊C均值聚類來確定多個有效奇異值，所提方法完全基于數據驅動，具有較好的去噪效果。龔木紅等［8］提出一種分段串聯(lián)奇異值分解降噪方法，該方法降噪效果優(yōu)于全局奇異值分解降噪，但在數據分段時需要進行多次實驗找出最佳值。鄭顧平等［9］提出了基于遺傳算法的奇異值降噪方法，能夠還原信號細節(jié)，有較強魯棒性。

針對奇異值降噪中有效階次去確定的問題，上述方法進行了充分的探究，并得到了豐富的成果，但也存在著過降噪、欠降噪以及只適用于特定信號等不足之處。本文也對這個問題進行了研究，提出了一種新的有效階次確定方法，該方法通過奇異值建立波動譜，選擇波動譜單邊極大值作為有效階次。對于上述問題有一定改進。

1 奇異值分解降噪

1.1 奇異值分解原理

測得含有故障信息的振動信號x（i）（i＝1，2，…，N），基于相空間重構理論，能夠構造出吸引子軌跡矩陣，也稱為Hankel矩陣［10］。式中，N 為信號長度；L 為矩陣行數。

對式（1）所得的Hankel進行奇異值分解，過程如下式

將式（1）中的零奇異值去除，可以把A 的奇異值分解寫成精簡的向量形式［11］

式中，ui、vi分別為U、V 的第i個列向量。

得到的一系列奇異值σi各自代表一系列分量信號，因為x（i）是含有故障信息的有用信號和噪聲組成，所以矩陣A 也同樣含有2種信號，而分解得出的奇異值σi則反映了有用信號和噪聲的能量集中情況。前面較大的奇異值主要反映的是有用信號，后面較小的奇異值則主要反映噪聲，將這些奇異值置零就可以去除實測信號中的噪聲。再利用式（2）進行矩陣重構，經過奇異值分解反變換就可得到重構矩陣，進而將重構矩陣轉化為長度為N 的重構信號，也就是降噪信號。

1.2 奇異值分解關鍵問題

因此利用奇異值分解降噪，要達到良好的去噪效果關鍵是奇異值階次和矩陣結構即行數L 的確定。矩陣有著良好的去噪效果，在構造矩陣方面的理論研究已經相對成熟。延遲步長τ＝1［12］，這在式（3）中已經顯示出來，是在構造矩陣時采用最為廣泛的一種形式。在矩陣行數L 選取的方面，Golyandina［13］和Mahmoudva ND R et al［14］經過研究都得出當N 為偶數時，行數L＝N／2，當N 為奇數時，行數L＝（N-1）／2，這樣構造出的矩陣降噪效果最好。采用上述矩陣構造方式，對奇異值有效階次的確定問題進行研究。

2 基于單邊波動差分譜的有效階次確定

奇異值的有效階次確定的本質就是分析奇異值突變情況，從而找出較大較小的分界線，即找出相差最大的2個奇異值，本文提出利用波動差分譜法來確定奇異值階次，原理如下。

將分解得到的奇異值由大到小排列形成序列S＝（σ1，σ2，…，σr），通過某個奇異值與它前一個以及后一個奇異值的差值絕對值之和來表示奇異值曲線的波動程度k

則所有ki所形成的序列K（K1，K2，…，Kr-1）稱為波動差分譜。通過波動差分譜可以觀察到奇異值曲線的波動幅值情況，在波動差分譜中根據單邊極大值原則［15］從右至左，選擇第一個至少單邊與其相鄰峰值比較，差距絕對值最大的極大峰值對應點的位置來確定有效階次。它代表了奇異值去曲線的突變情況，表明了奇異值所反映的意義發(fā)生了變化，即故障信息和噪聲的區(qū)別。前n 個奇異值對應的分量為有用信號分量，之后的奇異值對應的分量為噪聲信號分量。

3 仿真信號分析

構建仿真信號，采用本文方法進行分析，來進行實驗，并與廣泛應用的均值法、差分譜法進行對比，該仿真信號如下式所示。

式中，x1（t）為調幅調頻信號；x2（t）為正弦信號；x3（t）為信噪比為5 dB的高斯白噪聲。x（t）是由上述3個信號組成的含噪仿真信號，信噪比為25．530 7 dB，x1（t）+x2（t）是不含噪聲的凈信號。信號的采樣頻率為fs＝1 024 Hz，采樣點數N＝1 024，采樣時間t＝1 s。仿真信號波形如圖1所示。

圖1 仿真信號波形

現(xiàn)分別使用4種算法對仿真信號進行去噪分析，4種算法奇異值有效階次的選取結果如圖2所示。由圖2（a）得均值法選取的有效奇異值階次為229，圖2（b）得差分譜法選取的有效奇異值階次為4，單邊極大值法選取的有效奇異值階次為6。由圖2（c）全貌圖以及圖2（d）放大圖可得，本文方法所選的極大峰值為2、4、8、10對應的峰值。根據單邊極大值原則，8對應峰值與4對應峰值差距絕對值最大且是從右往左的第一個極大峰值，所以確定的有效奇異值階次為8。

圖2 仿真信號奇異值有效階次

根據選取的有效奇異值階次對信號進行重構，得到重構次信號即為降噪信號，4種方法得到的降噪信號的時域波形如圖3所示?？梢钥闯?，均值法得到的降噪信號與凈信號有較大差別，波形凌亂，噪聲嚴重，周期特征不明顯。差分譜法噪聲明顯減少，但是調幅調頻特征已經明顯被濾掉，出現(xiàn)了過降噪現(xiàn)象。單邊極大值法前半部分調幅調頻特征被濾掉，也同樣出現(xiàn)了過降噪現(xiàn)象。本文方法噪聲明顯減小，且信號趨勢與凈信號基本一致，直觀上看降噪效果較好。

圖3 仿真信號降噪后時域波形

為了能夠更精確的評價4種方法的降噪效果，從數值上進行比較，采用信號均方誤差（Mean Square Error，MSE）和信噪比（Signal to Noise Ratio，SNR）來評價上述4種方法，其定義分別如下

式中，s（i）為凈信號的第i個數據；^s（i）為降噪信號的第i個數據。

表1是4種方法降噪后的MSE和SNR，從表中數值可以看出，本文降噪方法的MSE最小且SNR 最大，降噪效果最好。

表1 4種方法降噪后信號MSE和SNR

在凈信號中加入不同強度的噪聲，得到信噪比分別為-100 dB、-50 dB、-30 dB、-10 d B、0 d B、10 dB的仿真信號，來驗證本文方法在不同信噪比情況下的去噪能力。在不同信噪比情況下的有效奇異值階次以及降噪信號的信噪比如圖4、圖5所示，具體數值在表2、表3中列出。

仿真信號采樣點數為1 024，由第一小節(jié)可知，經過奇異值分解可以得到512個奇異值。由圖4以及表2可以得出均值法在不同噪聲水平下確定的奇異值有效階次最大為249，最小為152，平均值為223。差分譜法確定的奇異值有效階次最大為10，最小為2，平均值為5。單邊極大值法確定的有效階次最大為28，最小為4，平均值為14。本文方法確定的有效奇異值階次最大為38，最小為6，平均值為16。可以看出本文方法確定的有效奇異值階次更為合理。

降噪結果可由圖5看出，本文方法的降噪信號的信噪比曲線位于其它3種方法上方，即各個噪聲水平的仿真信號經過降噪后，得到的降噪信號的信噪比都比其它3種方法大。為了更清楚地說明各個方法的降噪能力，采用降噪指數來評價，定義如下

式中，I為降噪指數；SNR1為仿真信號信噪比；SNR2為降噪信號信噪比。

圖4 不同噪聲水平有效奇異值階次對比

圖5 不同噪聲水平降噪信號信噪比對比

表2 不同噪聲水平有效奇異值階次

表3 不同噪聲水平降噪信號信噪比及降噪指數 dB

由圖5以及表3可以得出，本文方法相較于均值法降噪指數平均值提升了48．19%，較差分譜法降噪指數提升了17．38%，較單邊極大值法降噪指數提升了7．57%。因此，本文方法在信號的不同噪聲水平下降噪效果更有優(yōu)勢。

4 實測信號分析

為了進一步驗證本文提出方法在滾動軸承故障特征提取中的有效性，采用實際滾動軸承故障信號進行了驗證，實驗平臺如圖6 所示的QPZZ-Ⅱ旋轉機械故障試驗臺。信號的采樣頻率為25 600 Hz，軸承轉速為314 r／min。根據滾動軸承的參數（表4）得到內圈故障特征頻率為38 Hz。

圖6 QPZZ-Ⅱ旋轉機械故障試驗臺

表4 滾動軸承參數

內圈故障信號的時域和頻域波形如圖7所示，從圖中可以看出，時域波形雜亂，無法看出周期性沖擊成分；在頻譜圖中，噪聲將故障信號特征掩蓋，無法識別故障特征頻率及其故障種類。

由仿真信號的實驗可以看出，均值法降噪效果與另外3種方法有較大差距，而差分譜，單邊極大值法與本文方法在仿真信號分析時效果較為接近。因此，在對噪聲水平較高的實測信號進行分析時，對差分譜法、單邊極大值法以及本文方法進行了對比。

3種算法奇異值有效階次的選取結果如圖8所示。由圖8（a）可得，差分譜法選取的有效奇異值階次為5，單邊極大值法選取的有效奇異值為7。由圖8（b）可得，5和7對應峰值差距絕對值為0．328 9，19和21對應峰值差距絕對值為0．395 0，所以本文方法選取的有效奇異值階次為19。

根據選取的有效奇異值階次對信號進行重構，得到降噪信號，2種方法得到的降噪信號的時域波形如圖9所示。由圖9（a）和圖9（b）可以看出，差分譜法以及單邊極大值法降噪后的信號幅值明顯偏小，且沖擊特性基本被消除，不能體現(xiàn)出原信號的時域特征，出現(xiàn)了過降噪現(xiàn)象。本文方法降噪后的信號時域波如圖9（c）所示，降噪信號沖擊特征被保留，而且周期性比原信號更加明顯，凌亂程度也有所減小，噪聲被較好地濾除。

圖7 內圈故障信號波形及其頻譜

圖8 內圈故障信號奇異值有效階次

圖9 降噪信號時域波形

為了進一步分析3種方法的降噪效果，對差分譜法、單邊極大值法以及本文方法的降噪信號分別進行Hilbert包絡變換，得到如圖10所示包絡譜。由圖10（a）可以看出差分譜法降噪信號的包絡圖已經明顯失真，故障信息丟失，不能分辨出軸承的故障特征頻率及其倍頻。由圖10（b）可以看出，單邊極大值法的包絡圖只能夠看出故障沖擊特征的1倍頻（37．5 Hz），也出現(xiàn)了一定的失真。而本文方法的降噪信號的包絡譜如圖10（c）所示，在背景噪聲復雜的情況下，提取的故障特征頻率更明顯，能夠清晰地看到故障特征的1倍頻（37．5 Hz）、2倍頻（75 Hz）和3倍頻（115 Hz），凸顯了故障特征，能直觀有效地分析出故障類型，與理論結果非常接近。

圖10 降噪信號包絡譜

5 結論

對SVD 中有效奇異值選擇問題進行了探究，用本文方法分別對仿真信號和實測信號進行了降噪實驗，并與被廣泛采用的均值法、差分譜法以及單邊極大值法進行了對比，得到了如下結論：

（1）用奇異值方法進行降噪的過程中，均值法確定的奇異值階次偏大，重構后的降噪信號往往降噪不足。而差分譜法確定的有效奇異值階次變小，很多有用的凈信號分量也被濾除，因此容易出現(xiàn)過降噪現(xiàn)象。本文方法確定的有效奇異值階次較為合理，不同噪聲水平的信號降噪后的信噪比較好。

（2）本文方法能夠在較為完整地保留故障信息的前提下，有效地消除噪聲，降噪后的信號經過包絡解調可以提取出軸承的故障特征頻率及其倍頻。

（3）在對實測信號的分析中可以看出，本文方法得到的包絡譜對故障頻率的提取只提取到了三倍頻，說明方法在信號的高頻段出現(xiàn)了過降噪問題，需要對原始信號進行頻譜分析，并進行研究、解決。