循序漸進(jìn)　由簡(jiǎn)到繁

江美紅

勾股定理神秘而美妙，證法繁多，其中以“面積法”證明居多。國內(nèi)外數(shù)學(xué)家們?yōu)榱俗C明定理創(chuàng)造了很多幾何圖形，比較著名的圖形有趙爽弦圖、畢達(dá)哥拉斯圖、劉徽證法圖等。近幾年的中考中也出現(xiàn)了對(duì)這類圖形的考查，本文圍繞幾個(gè)基本圖形選取一些中考題作簡(jiǎn)要講解，希望對(duì)同學(xué)們能有所幫助。

一、趙爽弦圖

例1 （2019·邵陽）公元3世紀(jì)初，中國古代數(shù)學(xué)家趙爽注《周髀算經(jīng)》時(shí)，創(chuàng)造了“趙爽弦圖”。如圖1，設(shè)勾a=6，弦c=10，則小正方形ABCD的面積是 ? ? ? ?。

【解析】題中由勾a=6，弦c=10，利用勾股定理可得股為[102-62=8]，因此小正方形的邊長(zhǎng)為8-6=2，小正方形的面積為22=4，故答案是4。

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理，全等三角形、正方形的性質(zhì)，弄清組成“趙爽弦圖”各個(gè)圖形之間的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵。

圖1

例2 （2019·大慶）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“勾股方圓圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖2所示）。如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a、b，那么（a-b）2的值是______。

圖2

【解析】由勾股定理得，a2+b2=13，直角三角形面積為（13-1）÷4=3，即[12]ab=3，得ab=6，所以（a-b）2=a2+b2-2ab=13-12=1。

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查勾股定理、完全平方公式。由題意得到關(guān)于a、b的二元二次方程組，在此不必解出a、b的值，利用整體思想求出（a-b）2即可。這里我們可以體會(huì)到整體思想的優(yōu)越性。

二、畢達(dá)哥拉斯圖

例3 （2019·寧波）勾股定理是人類最偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，在我國古算書《周髀算經(jīng)》中早有記載。如圖3，以直角三角形的各邊分別向外作正方形，再把較小的兩張正方形紙片按圖4的方式放置在最大正方形內(nèi)。若知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出（）。

A.直角三角形的面積

B.最大正方形的面積

C.較小兩個(gè)正方形重疊部分的面積

D.最大正方形與直角三角形的面積和

圖3? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖4? ? ? ? ? ? ? 圖5

【解析】由勾股定理可知，圖3中兩個(gè)小正方形面積和等于大正方形面積。設(shè)圖中三個(gè)正方形邊長(zhǎng)從小到大依次為a、b、c，如圖5，則S陰影=c2-a2-b2+S重疊，由勾股定理可知，c2=a2+b2，所以S陰影=S重疊，故選C。

【點(diǎn)評(píng)】本題利用勾股定理知識(shí)解決陰影部分的面積問題，因疊合過程中出現(xiàn)重疊部分，所以本題的難點(diǎn)是用三個(gè)正方形邊長(zhǎng)表示出圖中陰影部分的面積。

三、劉徽?qǐng)D

例4 （2018·溫州）我國古代偉大的數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個(gè)正方形和兩對(duì)全等的直角三角形，得到一個(gè)恒等式。后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理。如圖所示的矩形由兩個(gè)這樣的圖形拼成，若a=3，b=4，則該矩形的面積為（）。

A.20B.24C.[994]D.[532]

圖6? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖7

【解析】本題欲求矩形的面積，只需求出小正方形的邊長(zhǎng)即可。如圖7，設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為x，則AC=3+x，BC=4+x。在Rt△ABC中，利用勾股定理可建立關(guān)于x的方程（3+x）2+（4+x）2=72，整理得：x2+7x-12=0，而長(zhǎng)方形的面積為x2+7x+12=12+12=24，∴該矩形的面積為24，故選B。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的證明及應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用。在融合數(shù)學(xué)文化的同時(shí)，注重整體思想和數(shù)形結(jié)合等思想方法。

以上問題的出現(xiàn)，是近幾年中考數(shù)學(xué)卷的一大特色。它們依托數(shù)學(xué)文化，關(guān)注核心素養(yǎng)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的人文價(jià)值。在學(xué)習(xí)過程中，同學(xué)們要提升在新技術(shù)情境下理解知識(shí)并將這些知識(shí)遷移到不同情境中的能力。

（作者單位：江蘇省太倉市實(shí)驗(yàn)中學(xué)）