巧解含絕對(duì)值的一元一次方程

黃曉曄

解含絕對(duì)值的方程，一個(gè)重要的基本思路就是：將含有絕對(duì)值的方程轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的方程。

一、幾何解法

思路：在數(shù)軸上，到一個(gè)點(diǎn)的距離等于一個(gè)常數(shù)的點(diǎn)有兩個(gè)，分別在這個(gè)點(diǎn)的左右兩側(cè)，可利用數(shù)軸直接觀察得到方程的解。

我們知道[x]的幾何意義表示數(shù)軸上的數(shù)x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，即[x]=[x-0]。這個(gè)結(jié)論可以推廣為[x1-x2]表示在數(shù)軸上數(shù)x1與數(shù)x2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離。

例1 已知[x]=3，求x的值。

【解析】數(shù)軸上與原點(diǎn)的距離為3的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為-3或3，即x=-3或x=3。

例2 已知[x+1]=2，求x的值。

【解析】數(shù)軸上與數(shù)-1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離為2的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為-3和1，即x=-3或x=1。

例3 解方程[x-1]+[x+2]=5。

【解析】由絕對(duì)值的幾何意義知，該方程表示求在數(shù)軸上與數(shù)1和數(shù)-2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離之和為5的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)，即x的值。在數(shù)軸上，數(shù)1和-2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離為3，滿足方程的x在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在1的右邊或-2的左邊。若x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在1的右邊，如下圖，可以看出x=2;同理，若x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在-2的左邊，可得x=-3。故原方程的解是x=2或x=-3。

二、代數(shù)解法

思路：利用絕對(duì)值的性質(zhì)去掉絕對(duì)值符號(hào)，把含有絕對(duì)值的一元一次方程轉(zhuǎn)化成兩個(gè)不含有絕對(duì)值的一元一次方程，再求解。

例4 解方程[2x-1]=5。

【解析】我們只要把2x-1看成一個(gè)整體，根據(jù)絕對(duì)值的意義進(jìn)一步解決問(wèn)題即可。

解：根據(jù)絕對(duì)值的意義，得2x-1=5或2x-1=-5。解這兩個(gè)一元一次方程，得x=3或x=-2。

同學(xué)們可以自己檢驗(yàn)一下。（1）當(dāng)x=3時(shí)，原方程的左邊=[2x-1]=[2×3-1]=5，原方程的右邊=5。因?yàn)樽筮?右邊，所以x=3是原方程的解。（2）當(dāng)x=-2時(shí)，原方程的左邊=[2x-1]=[2×-2-1]=5，原方程的右邊=5。因?yàn)樽筮?右邊，所以x=-2是原方程的解。

綜上可知，原方程的解是x=3或x=-2。

（作者單位：江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)禮嘉中學(xué)）