非局部時(shí)滯反應(yīng)擴(kuò)散方程行波解的存在性分析

張敏華

（陽(yáng)光學(xué)院基礎(chǔ)教研部 福建福州 350015）

在客觀世界里普遍且大量存在時(shí)滯反應(yīng)現(xiàn)象與非局部空間作用，這可以構(gòu)建非局部時(shí)滯反應(yīng)擴(kuò)散方程來(lái)進(jìn)行描述。非局部時(shí)滯反應(yīng)擴(kuò)散方程結(jié)合了時(shí)間與空間上的非局部現(xiàn)象，被廣泛應(yīng)用于生態(tài)學(xué)、傳染病學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域，也成為了高等數(shù)學(xué)應(yīng)用研究的重點(diǎn)與難點(diǎn)內(nèi)容，相較于非局部反應(yīng)擴(kuò)散方程更為復(fù)雜[1]。形如u（x,t）=u（x+ct）的行波解是非局部時(shí)滯反應(yīng)擴(kuò)散方程一類重要的穩(wěn)態(tài)解，行波解能揭示非局部時(shí)滯反應(yīng)擴(kuò)散方程重要性質(zhì)，且由于其具有空間平移不變性的特征能有效表現(xiàn)與描述自然界內(nèi)的振動(dòng)與有限速度傳播現(xiàn)象，如可以表現(xiàn)生物物種的入侵過(guò)程以及傳染疾病源的傳播規(guī)律等，可見(jiàn)非局部時(shí)滯反應(yīng)擴(kuò)散方程的行波解具有很強(qiáng)的應(yīng)用實(shí)踐價(jià)值。目前伴隨著非局部時(shí)滯反應(yīng)方程應(yīng)用強(qiáng)度進(jìn)一步深入，為了解非局部時(shí)滯反應(yīng)方程的重要性質(zhì)以及解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，非局部時(shí)滯反應(yīng)方程的行波解展開(kāi)研究是非常必要的。對(duì)此，在反應(yīng)擴(kuò)散方程理論的基礎(chǔ)上，著重分析了具有時(shí)滯的反應(yīng)擴(kuò)散的SIR 模型以及非擬單調(diào)時(shí)滯非局部擴(kuò)散系統(tǒng)的行波解存在性。

一、文獻(xiàn)綜述

自然界中擴(kuò)散中普遍存在時(shí)間滯后和空間非局部作用，為進(jìn)一步解決與描述這一現(xiàn)象，在上個(gè)世紀(jì)70年代起研究者將時(shí)滯與局部擴(kuò)散相結(jié)合，如Levin將擴(kuò)散反應(yīng)引入到單種群模型中得到了具有時(shí)滯擴(kuò)散Logistic 模型[2]。但是隨著研究的深入發(fā)現(xiàn)提出的局部有限時(shí)滯模型具有明顯的局限性，模型中時(shí)滯與空間擴(kuò)散是彼此獨(dú)立的。但是在實(shí)際現(xiàn)象中，在過(guò)去的時(shí)間里個(gè)體的空間內(nèi)位置并不是一成不變的，而是隨著時(shí)間變化個(gè)體在空間內(nèi)是不斷發(fā)生變化。針對(duì)這一問(wèn)題Britton（1989）進(jìn)行了全方位的考慮，利用空間加權(quán)平均的思想提出如下單物種種群模型，其中g(shù)是指定函數(shù)，卷積項(xiàng)（g*u）等于

后來(lái)研究學(xué)者將這類具有結(jié)合了時(shí)空加權(quán)平均時(shí)滯項(xiàng)的反應(yīng)擴(kuò)散方程統(tǒng)稱為非局部時(shí)滯反應(yīng)擴(kuò)散方程。隨后Smith和Thime（1991）通過(guò)采用對(duì)具有年齡結(jié)構(gòu)的種群模型沿著種群特征積分的方法推導(dǎo)了一個(gè)具有成熟結(jié)構(gòu)的種群模型。隨后這種方法被So（2001）、Weng（2003）等人有效推廣至連續(xù)空間以及具有無(wú)限多個(gè)離散的斑塊環(huán)境下非局部時(shí)滯反應(yīng)擴(kuò)散方程。此后，非局部時(shí)滯反應(yīng)擴(kuò)散方程被應(yīng)用于多個(gè)領(lǐng)域，研究也愈發(fā)深入，包括Al-Omari與Gourley.S（2003）構(gòu)建的Loth-Volterra型兩物種競(jìng)爭(zhēng)模型，Lian（2003）建立的具有全局交互效應(yīng)時(shí)滯反應(yīng)對(duì)流擴(kuò)散模型[3-4]。

在非局部時(shí)滯反應(yīng)擴(kuò)散方程行波解研究上，Xiao與Ruan（2004）通過(guò)線性鏈技術(shù)與幾何擾動(dòng)理論對(duì)滿足的一類傳染病模型在且b大于a的條件下模型行波解存在性進(jìn)行研究，研究結(jié)果顯示波速不小于時(shí)存在連接模型兩個(gè)平衡點(diǎn)的行波解5]；J.Zhang（2007）同樣采用以上技術(shù)與理論方法對(duì)方程行波解的存在性進(jìn)行了研究[6]。Xu和Zhao（2005）采用相平面以及譜理論等技術(shù)方法對(duì)一類傳染病模型的雙穩(wěn)波前解的存在性與全局漸近穩(wěn)定性等進(jìn)行了研究。

對(duì)非局部時(shí)滯反應(yīng)擴(kuò)散方程行波解的研究具有很強(qiáng)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，近年來(lái)已成為研究的熱點(diǎn)問(wèn)題。國(guó)內(nèi)眾多學(xué)者對(duì)這類方程的行波解也持以了很高的關(guān)注度，對(duì)行波解的存在性、穩(wěn)定性以及漸進(jìn)性等展開(kāi)了豐富的研究。馬萬(wàn)彪等人（2013）通過(guò)采用慣性流行理論對(duì)具有小離散時(shí)滯反應(yīng)擴(kuò)散方程的行波解的存在性進(jìn)行了證明，結(jié)果顯示該方法能有效避免反應(yīng)項(xiàng)的假設(shè)設(shè)定問(wèn)題[7]；張衛(wèi)國(guó)等人（2016）對(duì)一類具有時(shí)滯Lotka-Volterra系統(tǒng)的行波解存在性通過(guò)簡(jiǎn)化的方式尋找競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)模型的上下解[8]；鄒霞（2018）則針對(duì)一類具有時(shí)空時(shí)滯的傳染病SIR模型，通過(guò)Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理以及求極限等方法來(lái)判斷行波解的存在性[9]；李成林（2017）對(duì)具有Neumann邊界條件擴(kuò)散反應(yīng)的三種物種時(shí)滯系統(tǒng)采用特征值法對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析，并通過(guò)尋找上下解的方式證明在波速c足夠大時(shí)存在連接零、正兩個(gè)平衡點(diǎn)的行波解[10]。

對(duì)非局部時(shí)滯反應(yīng)擴(kuò)散方程行波解研究是當(dāng)前的重點(diǎn)與難點(diǎn)，取得了一定的研究進(jìn)展。但是縱觀目前的研究結(jié)果來(lái)看，國(guó)內(nèi)對(duì)于非局部時(shí)滯反應(yīng)擴(kuò)散方程行波解的研究還處于起步階段，對(duì)此針對(duì)這一現(xiàn)狀有必要對(duì)非局部時(shí)滯反應(yīng)擴(kuò)散方程行波解的存在性展開(kāi)更深入的探討來(lái)豐富行波解的理論研究與增強(qiáng)應(yīng)用能力，具有重要的理論與實(shí)踐研究?jī)r(jià)值。

二、非局部擴(kuò)散時(shí)滯反應(yīng)SIR模型行波解的存在性

傳染病直接影響了人類的身體健康，傳染病在傳播過(guò)程中不僅存在時(shí)間滯后，也與攜帶者、易感染著等人口的空間位置是緊密相關(guān)的，具有典型的時(shí)間——空間關(guān)系，對(duì)此探討一類具有非局部擴(kuò)散時(shí)滯反應(yīng)的SIR模型，模型如下所示：

該SIR模型還滿足以下條件：

（H1）當(dāng)S≥0時(shí)，f’(S)為有界正函數(shù)；

對(duì)上述模型（2）行波解的存在性進(jìn)行證明，即需尋找行波方程（3）的存在性，也就是尋找方程（3）滿足邊界條件的解，其中為大于0的常數(shù)，代表了感染前易感人群的密度。

因此通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算可得出以下引理。

引理1設(shè)定大于0，則有大于0的C*與λ*使得

引理2存在任意大于0的常數(shù)C，對(duì)任意大于的X 都有和

根據(jù)Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理可知（SX，IX）為算子的不動(dòng)點(diǎn)，對(duì)于任意屬于（-X，X）范圍內(nèi)下的ξ，不動(dòng)點(diǎn)（SX，IX）滿足下列關(guān)系式：

對(duì)式（6）進(jìn)行（-X，X）區(qū)域內(nèi)的積分可得

對(duì)此可以得到下式（10）：

同樣對(duì)式（7）進(jìn)行（-X，X）積分，得到如（11）式

聯(lián)合式（10）至（12）式可得

根據(jù)前面的條件（H3）可以了解到式（13）是右側(cè)是有界的，故而存在一個(gè)大于0的常數(shù)C使得

因此存在兩個(gè)正常數(shù)L1與L2，對(duì)于屬于[-X,X]范圍內(nèi)的ξ和η有

根據(jù)式（6）可得到

又因核函數(shù)J 是Lipschitz 連續(xù)，因此存在大于0 的Lipschitz 常數(shù) LJ，使得，其中 suppyJ=[-N,N]，N 為大于0的常數(shù)，故經(jīng)過(guò)計(jì)算與變換有

并根據(jù)式（16）可以得到如下式（19）

同理對(duì)式（7）作同樣處理最終可得到式（20）和（21），如下所示：

聯(lián)立式（7）、（14）和（21）可以得到

（二）行波解的存在性分析。本次證明中假設(shè)C>C*，且R0>1對(duì)此進(jìn)行SIR模型的行波解的存在性分析，提出以下定理。

定理設(shè)定大于1，那么對(duì)于任意大于C*的C，SIR模型存在行波解滿 足并且有

證明過(guò)程如下所示：

將和帶入到式（3）第一個(gè)方程可得

在憑借文獻(xiàn)[12]的計(jì)算方法可知，當(dāng)y屬于suppyJ時(shí)，則有下式（23）

進(jìn)一步簡(jiǎn)化可得到式（24）

三、結(jié)論

當(dāng)前對(duì)非局部時(shí)滯反應(yīng)擴(kuò)散方程的行波解性質(zhì)研究成為了高等應(yīng)用數(shù)學(xué)的熱門(mén)研究話題。本文基于一類具有非局部擴(kuò)散的時(shí)滯傳染病SIR模型，通過(guò)Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理、Fubini's定理以及極值法等方法對(duì)該模型行波解的存在性進(jìn)行了分析與證明。通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)本次研究模型存在滿足邊界條件的形態(tài)如的穩(wěn)態(tài)解，證明結(jié)果顯示能方法能有效解決該類SIR模型行波解的存在性問(wèn)題。