基于Bayes小子樣理論和序貫網(wǎng)圖檢驗(yàn)的武器裝備測試性驗(yàn)證試驗(yàn)方案設(shè)計(jì)

王康， 史賢俊， 秦亮， 聶新華， 龍玉峰

(海軍航空大學(xué)， 山東 煙臺 264001)

0 引言

測試性是指裝備能及時準(zhǔn)確的確定自身狀態(tài)，并能有效隔離其內(nèi)部故障的一種重要設(shè)計(jì)特性[1]。隨著測試性技術(shù)的發(fā)展，一些裝備中已逐步采納了測試性設(shè)計(jì)的思想，并在保障裝備的正常工作和良好性能中逐漸體現(xiàn)出其重要作用。而如何科學(xué)合理的評價(jià)裝備測試性水平則成為了科研人員研究的一個重要問題。

測試性驗(yàn)證試驗(yàn)的開展是用于檢驗(yàn)故障檢測率(FDR)和故障隔離率(FIR)等測試性指標(biāo)是否滿足規(guī)定的指標(biāo)要求值，主要實(shí)施方法是通過在測試性樣機(jī)中采取人工注入故障的方式，并根據(jù)其檢測/隔離情況對裝備進(jìn)行接收/拒收判斷[2]。一個完整的測試性驗(yàn)證試驗(yàn)包括計(jì)算模型的選擇、樣本量確定、樣本選取、故障注入以及指標(biāo)評估等相關(guān)技術(shù)組成[3]。由于故障注入試驗(yàn)的結(jié)果為成敗型數(shù)據(jù)，因此當(dāng)前測試性驗(yàn)證試驗(yàn)方案的計(jì)算模型主要基于二項(xiàng)分布模型。同時，故障樣本量確定作為整個測試性驗(yàn)證試驗(yàn)的首要環(huán)節(jié)，如何在約束條件下保證測試性驗(yàn)證所需樣本量科學(xué)合理，并使確定的樣本量盡可能小，是當(dāng)前需要解決的核心問題。

當(dāng)前確定樣本量的經(jīng)典方法為單次抽樣方法，即在承制方、使用方測試性水平以及雙方風(fēng)險(xiǎn)的約束下，尋求一個最佳的樣本量以及對應(yīng)允許的最大檢測/隔離失敗數(shù)的過程[4]。但隨著科技日新月異的發(fā)展，武器裝備結(jié)構(gòu)日益復(fù)雜，導(dǎo)致其造價(jià)高昂，投試使用的樣機(jī)減少，裝備全壽命周期加長，導(dǎo)致試驗(yàn)樣本量受到小子樣條件的限制。而通過經(jīng)典驗(yàn)證方法確定的樣本量較大，進(jìn)而實(shí)施故障注入危害性高，會對裝備造成損傷，導(dǎo)致試驗(yàn)代價(jià)高昂?；诖?，Wald[5]提出了一種序貫概率比檢驗(yàn)(SPRT)方法，該方法無需在驗(yàn)證試驗(yàn)開展前預(yù)先指定樣本量，可通過實(shí)際驗(yàn)證試驗(yàn)結(jié)果以序貫方式動態(tài)地確定樣本量。同時，Wald和其學(xué)生證明了在相同的約束條件下，SPRT方法較之單次抽樣方法、二次抽樣方法和多次抽樣方法所需平均樣本量小[6]。但是由于通過SPRT方法確定樣本量無法事先控制，也無法進(jìn)行預(yù)算，對此文獻(xiàn)[7]在給出序貫檢驗(yàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)模型的基礎(chǔ)上，采用Monte Carlo隨機(jī)模擬方法對戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈序貫檢驗(yàn)和序貫截尾檢驗(yàn)方案進(jìn)行了優(yōu)化，對試驗(yàn)次數(shù)進(jìn)行了初步預(yù)算；文獻(xiàn)[8]在已有序貫檢驗(yàn)方法的基礎(chǔ)上，針對檢驗(yàn)邊界為動點(diǎn)的截尾序貫設(shè)計(jì)方案進(jìn)行了改進(jìn)；文獻(xiàn)[9]提出了基于序貫網(wǎng)圖檢驗(yàn)(SMT)的維修性試驗(yàn)評定方法，結(jié)果表明該方法可有效減少試驗(yàn)樣本量同時能克服SPRT方法無法預(yù)測樣本量的不足，給出試驗(yàn)的最大樣本量限制。以上方法均在一定程度上降低了試驗(yàn)樣本量，同時也限制了試驗(yàn)的無限制進(jìn)行，但是對于導(dǎo)彈等這類高成本、高精度的武器裝備的驗(yàn)證試驗(yàn)問題，通過以上截尾措施所確定的故障樣本量仍然較大，無法滿足實(shí)際需求。

在裝備生產(chǎn)研制過程中，存在大量的先驗(yàn)信息，但實(shí)際驗(yàn)證試驗(yàn)卻受到小子樣條件的限制，Bayes方法常用于小子樣情況下試驗(yàn)結(jié)果的分析與評估[10-11]。其主要原因是，Bayes方法除能運(yùn)用當(dāng)前驗(yàn)證信息外，還能有效融合裝備在設(shè)計(jì)各階段的先驗(yàn)信息，達(dá)到減少樣本量的目的，進(jìn)而推動了Bayes小子樣理論在可靠性[12]、維修性[13]以及測試性[14-15]等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用。文獻(xiàn)[16]在小子樣條件下通過考慮未知分布參數(shù)的先驗(yàn)信息，提出了一種基于驗(yàn)前信息的序貫驗(yàn)后加權(quán)檢驗(yàn)(SPOT)方法，能有效運(yùn)用驗(yàn)前信息并結(jié)合少量試驗(yàn)數(shù)據(jù)對裝備可靠性進(jìn)行評定；文獻(xiàn)[17]采用SPOT方法檢驗(yàn)對數(shù)正態(tài)分布中的未知參數(shù)，通過平均維修時間(MTTR)閾值的確定，實(shí)現(xiàn)樣本量的計(jì)算；文獻(xiàn)[4]以二項(xiàng)分布模型為前提，利用SPOT方法開展測試性驗(yàn)證試驗(yàn)方案制定，結(jié)果表明通過SPOT方法確定的測試性驗(yàn)證樣本量要比SPRT方法小。以上方法均在Bayes框架下對SPRT方法進(jìn)行了擴(kuò)展，并根據(jù)不同領(lǐng)域問題針對性進(jìn)行研究，通過進(jìn)一步綜合相關(guān)文獻(xiàn)中對SPOT方法的研究，發(fā)現(xiàn)仍存在截尾策略選取導(dǎo)致求解方案的復(fù)雜性以及驗(yàn)證樣本量確定后缺乏對決策合理性的進(jìn)一步分析問題。

鑒于以上分析，SMT方法是SPRT方法的一種有效擴(kuò)展，一方面較之SPRT方法確定的樣本量少，另一方面SMT方法易于求解驗(yàn)證試驗(yàn)的截尾樣本量，同時綜合考慮Bayes小子樣理論能充分利用先驗(yàn)信息達(dá)到降低樣本量的優(yōu)勢，故本文提出一種基于Bayes小子樣理論和序貫網(wǎng)圖檢驗(yàn)(BSST-SMT)的測試性驗(yàn)證試驗(yàn)方案設(shè)計(jì)方法。在Bayes框架下實(shí)現(xiàn)對SMT方法的有效擴(kuò)展，旨在充分運(yùn)用Bayes小子樣理論對先驗(yàn)信息利用的優(yōu)勢以及SMT方法的優(yōu)點(diǎn)，通過對測試性驗(yàn)證指標(biāo)——FDR/FIR的插入點(diǎn)選擇，劃分指標(biāo)參數(shù)空間，并進(jìn)行相應(yīng)檢驗(yàn)，進(jìn)而確定截尾樣本量，在綜合考慮雙方實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)值基礎(chǔ)上得到小樣本量的測試性驗(yàn)證試驗(yàn)方案。

1 測試性驗(yàn)證研究基本方法

1.1 測試性指標(biāo)約束參數(shù)

在裝備測試性驗(yàn)證過程中，由于故障注入是成敗型試驗(yàn)，故選取二項(xiàng)分布計(jì)算模型，進(jìn)行試驗(yàn)判決需要考慮的測試性指標(biāo)約束參數(shù)有：承制方要求值p0，使用方要求值p1，承制方風(fēng)險(xiǎn)α以及使用方風(fēng)險(xiǎn)β，用以表征裝備測試性水平。

1.2 經(jīng)典驗(yàn)證方法

經(jīng)典驗(yàn)證方法確定故障樣本量采取單次抽樣的方法，其抽樣特征函數(shù)可表示為

(1)

式中：p表示測試性指標(biāo)；n表示驗(yàn)證樣本量；c表示樣本量n下的最大允許檢測/隔離失敗次數(shù)；f表示實(shí)際觀測到的失敗次數(shù)。

對于FDR/FIR驗(yàn)證試驗(yàn)，當(dāng)注入n個故障后：如果檢測失敗數(shù)f≤c，則認(rèn)為FDR/FIR驗(yàn)證通過；若f>c，則認(rèn)為FDR/FIR未通過驗(yàn)證，需要對測試性設(shè)計(jì)進(jìn)行改進(jìn)。

研究表明經(jīng)典驗(yàn)證方法能在驗(yàn)證試驗(yàn)開展前確定故障樣本量，但是所確定的故障樣本量過大不利于工程實(shí)現(xiàn)。

1.3 SPRT方法

針對經(jīng)典驗(yàn)證方法所確定故障樣本量過大的問題，將測試性指標(biāo)約束參數(shù)轉(zhuǎn)化為假設(shè)檢驗(yàn)問題，指標(biāo)參數(shù)空間劃分為Θ=Θ0∪Θ1，其中Θ0={p0}，Θ1={p1}，對應(yīng)的簡單假設(shè)為

H0:p=p0,H1:p=p1.

(2)

假設(shè)n次驗(yàn)證試驗(yàn)結(jié)果序貫序列表示為X={X1,…,Xi,…,Xn}，式中Xi取值為0或1，Xi=1表示故障檢測/隔離成功，Xi=0表示故障檢測/隔離失敗，記c為n次試驗(yàn)結(jié)果序貫序列中Xi=0的個數(shù)，即表示累積驗(yàn)證失敗次數(shù)。則兩種假設(shè)似然函數(shù)比[18]為

(3)

定義λn判決閾值上界為B，下界為A，則相應(yīng)的接受/拒收判決可由λn與A、B的大小關(guān)系所確定。

同時，Wald[5]給出了當(dāng)p0和p1相差不大時SPRT方法的近似抽樣特性解析表達(dá)式：

(4)

式中：Lp表示在測試性指標(biāo)p下的抽樣特性函數(shù)；參數(shù)h表示以下等式的非零解為

(5)

同樣給出了SPRT方法的近似平均抽樣次數(shù)Ep(n)的解析表達(dá)式如下：

(6)

SPRT方法下樣本量是一個隨機(jī)變量，故通常選擇平均樣本量Ep(n)作為度量指標(biāo)，在相同指標(biāo)約束下，其平均樣本量小于經(jīng)典驗(yàn)證方法所得的樣本量。但是也正是由于SPRT方法樣本量的隨機(jī)性，導(dǎo)致其最大樣本量不可控，缺乏最大樣本量的SPRT方法會導(dǎo)致驗(yàn)證無法實(shí)施。

2 基于BSST-SMT的測試性驗(yàn)證試驗(yàn)方案設(shè)計(jì)

在序貫驗(yàn)證試驗(yàn)方案設(shè)計(jì)中，度量指標(biāo)除了要求驗(yàn)證試驗(yàn)所需平均樣本量小之外，其最大樣本量也是需要考量的重要因素，截尾SPRT方法雖然具有最大樣本量，但所確定的最大樣本量仍然較大，不能滿足實(shí)際驗(yàn)證試驗(yàn)需求；SMT方法是在SPRT方法的基礎(chǔ)上，通過插入一系列檢測點(diǎn)，實(shí)施對檢驗(yàn)問題拆分，有效實(shí)現(xiàn)對最大樣本量的控制，相對于SPRT方法而言，能克服SPRT方法無法控制驗(yàn)證試驗(yàn)所需樣本量的不足，且具備比截尾SPRT方案更小的最大樣本量，改進(jìn)效果明顯，但對于導(dǎo)彈武器裝備而言，所確定的樣本量仍存在過大的情形。結(jié)合SPOT方法對于先驗(yàn)信息利用的思想，考慮BSST能有效處理各類先驗(yàn)信息，提出一種基于BSST-SMT的測試性驗(yàn)證試驗(yàn)方案設(shè)計(jì)方法，主要涉及下述6個方面的內(nèi)容。

2.1 指標(biāo)參數(shù)空間劃分

BSST-SMT方法與SMT方法一樣，是在SPRT方法的基礎(chǔ)上，在給定的指標(biāo)參數(shù)空間中插入m-1個點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)參數(shù)空間的重新劃分，即Θ=Θ0∪…∪Θi∪…∪Θ1，其中Θi={pi}，且滿足p0>…>pi>…>p1(i=2,3,…,m)，則檢驗(yàn)問題(2)式即可以劃分為如下m對假設(shè)檢驗(yàn)問題[19]：

(7)

由于(3)式中的似然函數(shù)比未能利用裝備的先驗(yàn)信息，在充分考慮已有先驗(yàn)信息的基礎(chǔ)上，需要給出包含先驗(yàn)信息的Bayes因子計(jì)算方法。

2.2 Bayes因子計(jì)算

考慮有現(xiàn)場試驗(yàn)數(shù)據(jù)序貫序列如1.3節(jié)所述的X={X1,…,Xi,…,Xn}，由2.1節(jié)可得到m個SPRT方案，以(7)式中第j(j=1,2,…,m)對假設(shè)檢驗(yàn)問題H0j和H1j為例，則Bayes因子Λj(X)可表示為

(8)

式中：PH0j和PH1j分別表示假設(shè)H0j和H1j成立的先驗(yàn)概率，且滿足PH0j+PH1j=1，并有

(9)

其中：當(dāng)j=1時，k1=0，k2=2；當(dāng)j=2,3,…,m-1時，k1=j，k2=j+1；當(dāng)j=m時，k1=m，k2=1.

設(shè)Lj和Uj為Bayes因子Λj(X)判決閾值的下界和上界，滿足[16]：

(10)

式中：απ0j和βπ1j分別為考慮先驗(yàn)分布式的承制方和使用方風(fēng)險(xiǎn)，滿足：

(11)

αj和βj分別表示(7)式中第j組假設(shè)檢驗(yàn)問題的承制方和使用方風(fēng)險(xiǎn)值，由原假設(shè)檢驗(yàn)問題(2)式給出的α和β決定。

為了得到序貫網(wǎng)圖，做出如下推導(dǎo)：

1)接受H0j時，有Λj(X)≥Uj，兩邊取對數(shù)即可得到一條邊界線lj:c=sjn+hj，邊界線lj之下即為接受H0j的區(qū)域，斜率sj和截距hj分別為

(12)

(13)

2)接受H1j時，有Λj(X)≤Lj，兩邊取對數(shù)即可得到一條與lj平行的邊界線l′j:c=sjn+h′j，邊界線l′j之上即為接受H1j的區(qū)域，截距h′j為

(14)

3)當(dāng)Lj≤Λj(X)≤Uj時，即位于兩條邊界線lj和l′j之間的區(qū)域，為繼續(xù)驗(yàn)證區(qū)域，不作出判決，需要開展下一次驗(yàn)證試驗(yàn)。

2.3 先驗(yàn)概率的運(yùn)用

利用BSST進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析時，先驗(yàn)信息來源主要為歷史信息、仿真數(shù)據(jù)、專家經(jīng)驗(yàn)信息以及各子系統(tǒng)信息等，根據(jù)數(shù)據(jù)類型進(jìn)行劃分，以上多源先驗(yàn)信息可劃分為點(diǎn)估計(jì)形式、置信區(qū)間估計(jì)形式以及成敗型數(shù)據(jù)形式，并通過對應(yīng)的先驗(yàn)分布參數(shù)求解方法進(jìn)行求解[20]，然后融合得到FDR/FIR的先驗(yàn)分布為π(p)，則先驗(yàn)概率PH0j和PH1j分別表示為對假設(shè)H0j和H1j的支持程度，有

(15)

通過(15)式即可求取第2.2節(jié)中(8)式～(14)式，由m對假設(shè)檢驗(yàn)問題即可以得到m組平行線，根據(jù)m組平行線的相對位置關(guān)系即可確定基于BSST-SMT的驗(yàn)證試驗(yàn)判決邊界。

確定PH0j和PH1j后，為了進(jìn)一步得到απ0j和βπ1j，根據(jù)(11)式知需要考慮(7)式中第j組假設(shè)檢驗(yàn)問題的αj和βj如何確定?？紤]插入點(diǎn)后各組假設(shè)檢驗(yàn)問題的繼續(xù)試驗(yàn)區(qū)寬度不變的原則，即

h′j-hj≡C(常數(shù)).

(16)

(13)式和(14)式代入(16)式中便可以得到：

(17)

(18)

另外仍需再找一個αj和βj的關(guān)系才能最終確定(11)式，為了兼顧先驗(yàn)概率以及承制方和使用方風(fēng)險(xiǎn)，考慮先驗(yàn)分布下的風(fēng)險(xiǎn)比απ0j/βπ1j和雙方風(fēng)險(xiǎn)比α/β相當(dāng)?shù)脑瓌t，即滿足：

(19)

由于Bj還可以表示為Bj=Lj/Uj，而0

(20)

由于繼續(xù)試驗(yàn)區(qū)寬度不變，根據(jù)p0、p1、α和β可以確定常數(shù)C為

(21)

據(jù)此即建立起αj、βj與插入點(diǎn)pi以及先驗(yàn)概率PH0j和PH1j的關(guān)系。

2.4 插入點(diǎn)選取策略

2.4.1 插入點(diǎn)數(shù)量的選取原則

設(shè)根據(jù)指標(biāo)參數(shù)空間劃分，另有一對假設(shè)檢驗(yàn)問題如下所示：

(22)

則可以得到如下定理。

定理1由檢驗(yàn)問題(7)式和檢驗(yàn)問題(22)式所確定的驗(yàn)證試驗(yàn)判決邊界相同。

證明對于檢驗(yàn)問題(7)式，可以確定拒絕p0的邊界問題可以由第1對假設(shè)檢驗(yàn)H01及H11所確定的一組平行線的上線(根據(jù)與c軸截距確定一組平行線的上線和下線)決定，同時可以確定拒絕p1的邊界問題可以由第m對假設(shè)檢驗(yàn)H0m及H1m所確定的一組平行線的下線決定，故可以判定驗(yàn)證試驗(yàn)判決邊界的確定與(7)式中其余m-2對假設(shè)檢驗(yàn)方案無關(guān)，即與檢驗(yàn)問題(22)式所確定驗(yàn)證判決邊界等同，即證。

定理1反映出插入m-1個點(diǎn)和插入2個點(diǎn)具備同樣的判決邊界。不同的是插入點(diǎn)數(shù)量的選擇，決定了BSST-SMT方法所確定的最大樣本量不同，由于仍需對截尾策略進(jìn)行考慮，而增加插入點(diǎn)會增加計(jì)算復(fù)雜度，故本文考慮(22)式中p2=pm時的情況，即實(shí)施BSST-SMT方法時實(shí)際插入點(diǎn)為1個。

2.4.2 插入點(diǎn)位置的選取策略

基于插入點(diǎn)數(shù)量的選取原則，對問題進(jìn)行一般化考慮，選取FDR/FIR指標(biāo)插入點(diǎn)p2(p1

(23)

由(23)式可確定兩組平行線l1‖l′1以及l(fā)2‖l′2，如圖1所示。圖1中n0是l′1和l2的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，即表示BSST-SMT方法所確定的樣本量上界，滿足：

(24)

圖1 序貫網(wǎng)圖檢驗(yàn)Fig.1 Sequential mesh test

對插入點(diǎn)的選取策略即保證選取合適的插入點(diǎn)p2，使得n0能達(dá)到最小值。這正是因?yàn)閷τ贐SST-SMT方法平均樣本量和最大樣本量均是需要考慮的因素，在平均樣本量小的情況下，保證最大樣本量也較小。

根據(jù)上述分析，直線l′1為檢驗(yàn)問題(23)式中拒絕假設(shè)p=p0的判決邊界，直線l2為檢驗(yàn)問題(23)式中拒絕假設(shè)p=p1的判決邊界，故取直線l′1和l2作為原始假設(shè)檢驗(yàn)問題(2)式的判斷邊界，則通過圖1可以確定BSST-SMT方法的判決區(qū)域?yàn)椋?)l′1以上區(qū)域?yàn)榫芙^p=p0的判斷區(qū)域(即接受p=p1的判斷區(qū)域)；2)l2以下區(qū)域?yàn)榫芙^p=p1的區(qū)域(即接受p=p0的判斷區(qū)域)；3)直線l′1和l2之間的區(qū)域即為繼續(xù)驗(yàn)證區(qū)域。

2.5 截尾策略

由于要對驗(yàn)證試驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行控制約束，根據(jù)最大樣本量n0或最大樣本量n0下的最大允許檢測/隔離失敗數(shù)c0是否滿足預(yù)期試驗(yàn)截尾數(shù)nE或cE，需要對截尾樣本量nt(nt

2.5.1 考慮截尾樣本量

1)通過BSST-SMT方法得到的最大樣本量n0滿足預(yù)期試驗(yàn)截尾數(shù)nE要求，即n0≤nE，則序貫截尾策略即選用n0，則n≥0，c≥0，直線l′1和直線l2所圍成的區(qū)域即為繼續(xù)驗(yàn)證試驗(yàn)區(qū)，如圖1所示。

2)最大樣本量n0過大，即n0>nE，需要考慮截尾樣本量nt以及對應(yīng)的最大允許接受值ct(ct1≤ct≤ct2)，其中ct2=s2nt+h2,ct1=s1nt+h′1，且(nt,ct)的確定原則是在滿足承制方和使用方風(fēng)險(xiǎn)的前提下使得nt和ct最小，則0≤n≤nt，0≤c≤ct，直線l′1和直線l2所圍成的區(qū)域表示截尾限制條件下的繼續(xù)驗(yàn)證區(qū)域，如圖2所示。

圖2 考慮截尾樣本量nt的序貫網(wǎng)圖檢驗(yàn)Fig.2 Sequential mesh test in considering the censored sample size nt

2.5.2 考慮最大允許截尾檢測/隔離失敗數(shù)

1)通過BSST-SMT方法得到的最大允許檢測失敗數(shù)c0滿足預(yù)期試驗(yàn)截尾數(shù)cE要求，即c0≤cE，則序貫截尾策略即選用c0，則n≥0，c≥0，直線l′1和直線l2所圍成的區(qū)域即為繼續(xù)驗(yàn)證試驗(yàn)區(qū)，即不考慮截尾策略的序貫網(wǎng)圖，仍如圖1所示。

2)最大允許檢測/隔離失敗數(shù)c0過大，即c0>cE，需要考慮最大允許截尾檢測/隔離失敗數(shù)cr以及對應(yīng)的樣本量nr(nr2≤nr≤nr1)，其中cr2=s2nr2+h2,cr1=s1nr1+h′1，且(nr,cr)的確定原則是在滿足承制方和使用方風(fēng)險(xiǎn)的前提下使得nr和cr最小，則0≤n≤nr，0≤c≤cr，直線l′1和直線l2所圍成的區(qū)域表示截尾限制條件下的繼續(xù)驗(yàn)證區(qū)域，如圖3所示。

圖3 考慮最大允許檢測/隔離失敗數(shù)cr的序貫網(wǎng)圖檢驗(yàn)Fig.3 Sequential mesh test in considering the maximum allowable number of detection/isolation failures cr

2.6 雙方風(fēng)險(xiǎn)計(jì)算

對于工程實(shí)際而言，側(cè)重于考慮截尾樣本量的截尾方案，即偏向于通過觀測截尾樣本量nt值，來確定最大允許截尾檢測/隔離失敗數(shù)ct. 故本文采取如圖2所示的截尾方案，實(shí)際的承制方風(fēng)險(xiǎn)即裝備測試性水平p=p0時，裝備未能通過驗(yàn)證的所有拒收情形的概率之和，同理實(shí)際的使用方風(fēng)險(xiǎn)即為p=p1時，裝備通過驗(yàn)證的所有接受情形的概率值之和，具體可表示為

(25)

式中：Nr表示確定序貫網(wǎng)圖后所有拒收點(diǎn)的數(shù)量；Na表示所有接收點(diǎn)的數(shù)量；ci、cj表示到達(dá)當(dāng)前拒收點(diǎn)以及接受點(diǎn)的檢測/隔離失敗數(shù)；ni、nj表示到達(dá)當(dāng)前拒收點(diǎn)以及接受點(diǎn)的總樣本量；Si、Sj則表示到達(dá)當(dāng)前拒收點(diǎn)以及接受點(diǎn)的所有可能情況。將(25)式用序貫網(wǎng)圖相關(guān)參數(shù)表述即為

(26)

式中：αr表示實(shí)際承制方風(fēng)險(xiǎn)；βr表示實(shí)際使用方風(fēng)險(xiǎn)；Pp0(·)表示在假設(shè)p=p0成立條件下的概率；Pp1(·)表示在假設(shè)p=p1成立條件下的概率。

3 驗(yàn)證方案設(shè)計(jì)流程

通過第2節(jié)的分析，基于BSST-SMT的測試性驗(yàn)證試驗(yàn)方案由4個指標(biāo)參數(shù)(p0,p1,α,β)和9個設(shè)計(jì)參數(shù)(π(p),s1,h1,h′1,s2,h2,h′2,nt,ct)所確定。其中4個指標(biāo)參數(shù)由承制方、使用方具體確定，9個設(shè)計(jì)參數(shù)可以分為3類，其中π(p)表示先驗(yàn)分布，(s1,h1,h′1,s2,h2,h′2)能清楚直觀地反映序貫網(wǎng)圖的斜率和截距，(nt,ct)表示截尾樣本量和最大允許檢測/隔離失敗數(shù)，通過設(shè)計(jì)參數(shù)之間的聯(lián)系以及約束限制，即可完成方案設(shè)計(jì)。具體方案設(shè)計(jì)實(shí)施流程如下：

步驟1確定先驗(yàn)分布π(p). 根據(jù)裝備各層級、各階段或者歷史型號試驗(yàn)信息等，根據(jù)不同先驗(yàn)來源采取不同的信息處理方式，可參見文獻(xiàn)[20]，本文不作重點(diǎn)討論。

步驟2確定插入點(diǎn)p2. 插入點(diǎn)p2的確定可以由如下優(yōu)化問題進(jìn)行確定：

(27)

式中：s1、s2、h2和h1可通過(10)式～(15)式進(jìn)行確定，該優(yōu)化問題是插入點(diǎn)p2和最大樣本量n0間的優(yōu)化問題，通過Matlab編程即可實(shí)現(xiàn)。

步驟3當(dāng)通過優(yōu)化問題(27)式確定插入點(diǎn)p2后，即可確定設(shè)計(jì)參數(shù)s1、h1、h′1、s2、h2和h′2.

步驟4確定截尾樣本量nt. 截尾樣本量nt可以由另外一組優(yōu)化問題進(jìn)行確定：

(28)

式中：αr和βr可通過(26)式確定；ct1和ct2可通過步驟2確定的直線l1和直線l′2確定。

步驟5確定最大允許截尾檢測/隔離失敗數(shù)ct. 在確定截尾樣本量nt之后，ct的確定仍可通過優(yōu)化問題決定：

(29)

對于優(yōu)化問題(28)式和(29)式采取搜索算法，搜索次數(shù)受所確定的截尾樣本量和最大允許檢測/隔離失敗數(shù)約束，可通過編程實(shí)現(xiàn)。當(dāng)找到滿足優(yōu)化問題(28)式和(29)式的nt和ct，便可繪制如圖2所示的截尾序貫網(wǎng)圖，即完成了驗(yàn)證方案的設(shè)計(jì)。

4 實(shí)例分析

4.1 基于BSST-SMT的驗(yàn)證方案設(shè)計(jì)

由基于BSST-SMT的測試性驗(yàn)證試驗(yàn)方案設(shè)計(jì)方法可知，對于裝備FDR/FIR驗(yàn)證試驗(yàn)均能試用，本文以某裝備飛行控制系統(tǒng)FDR的驗(yàn)證為例，根據(jù)承制方和使用方要求，有FDR約束指標(biāo)參數(shù)為

(p0,p1,α,β)=(0.95,0.90,0.1,0.1).

(30)

1)對于BSST-SMT方法，先驗(yàn)信息來源于裝備的各層級、各階段信息以及歷史型號試驗(yàn)信息等?，F(xiàn)僅考慮歷史型號試驗(yàn)信息，原來裝備測試性驗(yàn)證試驗(yàn)過程中，注入了80次故障，74次故障得到正確檢測，6次故障未能成功檢測。在數(shù)據(jù)處理上采用Hart運(yùn)用的經(jīng)驗(yàn)Bayes方法，即認(rèn)為歷史裝備的試驗(yàn)等價(jià)于對當(dāng)前裝備進(jìn)行了60%次數(shù)的試驗(yàn)[21]。因此，先驗(yàn)分布超參數(shù)為(74×0.6,6×0.6)=(44.4,3.6)，故先驗(yàn)分布滿足：

(31)

2)根據(jù)步驟2中的優(yōu)化問題(27)式求解插入點(diǎn)p2. 求解得到插入點(diǎn)p2=0.916 4，對應(yīng)的最大樣本量n0=?217.997 2」=217(符號?」表示向下取整)。同時能得到插入點(diǎn)p2和最大樣本量n0的關(guān)系變化曲線如圖4所示，更直觀反映出優(yōu)化問題的最優(yōu)解確實(shí)為圖中標(biāo)記的點(diǎn)。

3)根據(jù)步驟2可以得到設(shè)計(jì)參數(shù)s1=0.065 5，s2=0.091 6，h′1=3.105 3，h1=-3.105 3，h′2=2.586 9，h2=-2.586 9.

4)采用搜索的方法，讓nt從1開始搜索，同時對ct1≤c≤ct2進(jìn)行搜索，直到找到優(yōu)化問題(28)式的解，搜索得到截尾樣本量nt=62.

5)在確定截尾樣本量nt=62后，對ct1≤ct≤ct2重新進(jìn)行搜索，以找到優(yōu)化問題(29)式的最優(yōu)解。搜索得到當(dāng)前截尾樣本量下對應(yīng)的最大允許檢測失敗數(shù)ct=6，同時有αr=0.056 0，βr=0.082 9. 據(jù)此可以繪制序貫網(wǎng)圖如圖5所示。

圖5 飛行控制系統(tǒng)序貫網(wǎng)圖檢驗(yàn)Fig.5 Sequential mesh test of flight control system

4.2 對比分析

1)經(jīng)典驗(yàn)證方法。根據(jù)(1)式可以得到經(jīng)典驗(yàn)證方案為(187,13)，實(shí)際的承制方風(fēng)險(xiǎn)αr=0.087 4，實(shí)際的使用方風(fēng)險(xiǎn)為βr=0.098 1.

2)常規(guī)SPRT方法[22]。驗(yàn)證開展前無法確定其樣本量上界，根據(jù)(3)式～(6)式可以得到其平均樣本量Ep(n)最大值為132. 同時國際標(biāo)準(zhǔn)IEC1123給出了截尾SPRT方案為(286,20)，采用Monte Carlo仿真的方法進(jìn)一步確定其平均樣本量最大值為126.

3)傳統(tǒng)SMT方法[23]。驗(yàn)證前可以確定插入點(diǎn)p2=0.927 6，然后得到最大樣本量n0=472，以及該樣本量下的最大允許檢測失敗數(shù)c0=34，試驗(yàn)平均樣本量最大值為204. 在此基礎(chǔ)上采取截尾策略，得到的截尾SMT方案為(143,12)，截尾策略條件下實(shí)際的雙方風(fēng)險(xiǎn)為αr=0.084 3，βr=0.091 8，最大平均樣本量為114.

4)SPOT方法[18]。SPOT方法與SPRT方法一樣，驗(yàn)證開展前無法確定樣本量上界，采用Monte Carlo方法仿真可以得到其最大平均樣本量為64. 在此基礎(chǔ)上考慮截尾策略，通過本文給出的先驗(yàn)分布，采用α=0.08+0.02、β=0.08+0.02的風(fēng)險(xiǎn)拆分方式，得到截尾樣本量nt=63，以及截尾判據(jù)閾值0.722 1，該截尾方案下的最大平均樣本量為42，實(shí)際的雙方風(fēng)險(xiǎn)值為αr=0.08+0.001 4=0.081 4，βr=0.08+0.003 3=0.083 3.

5)本文提出的BSST-SMT方法。本文確定的最大樣本量n0=214，對應(yīng)的最大允許檢測失敗數(shù)c0=17，采用Monte Carlo方法得到平均樣本量為66. 在此基礎(chǔ)上采取本文給出的截尾策略，得到截尾基于BSST-SMT的測試性驗(yàn)證試驗(yàn)方案為(62,6)，截尾策略條件下實(shí)際的雙方風(fēng)險(xiǎn)值為αr=0.056 0，βr=0.082 9，平均樣本量為42.

以上所提平均樣本量的計(jì)算，均采用Monte Carlo仿真方法，設(shè)置仿真次數(shù)為1 000，同時將FDR的取值區(qū)間(0,1]分為1 000個離散值進(jìn)行仿真，得到圖6所示的平均抽樣次數(shù)隨FDR變化關(guān)系曲線，根據(jù)曲線可以確定平均樣本量取最大值時的p值，以及根據(jù)不同的p值確定其平均樣本量的值，如本文提出的BSST-SMT截尾方法中，p=p0時平均樣本量Ep0(n)=41，p=p1時平均樣本量Ep1(n)=33，在SPOT截尾方法中Ep0(n)=41. 從圖6中可以直觀地反映出，本文所提方法在滿足指標(biāo)約束條件的基礎(chǔ)上，平均樣本量和截尾樣本量均明顯優(yōu)于經(jīng)典驗(yàn)證方法、SPRT截尾方法以及SMT截尾方法，和SPOT截尾方法相當(dāng)，但實(shí)際的承制方和使用方風(fēng)險(xiǎn)均優(yōu)于以上方法。由此可見，該方法確定的測試性驗(yàn)證截尾樣本量以及平均樣本量均優(yōu)于其他方法，同時能有效降低雙方風(fēng)險(xiǎn)值，證明了方法的有效性。

圖6 不同驗(yàn)證方法的平均樣本量曲線對比Fig.6 Comparison of average sample size curves for different testablility verification methods

5 結(jié)論

本文基于BSST-SMT的測試性驗(yàn)證試驗(yàn)方案設(shè)計(jì)方法結(jié)合傳統(tǒng)SMT方法和BSST優(yōu)點(diǎn)，利用待檢測裝備系統(tǒng)的先驗(yàn)信息，分別從檢驗(yàn)點(diǎn)、Bayes因子、先驗(yàn)概率、截尾策略等方面對驗(yàn)證方案進(jìn)行設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)了樣本量的確定，其優(yōu)點(diǎn)是：

1)由于在測試性指標(biāo)約束下考慮了裝備系統(tǒng)的先驗(yàn)分布，使得確定的樣本量更為客觀準(zhǔn)確。

2)解決了常規(guī)SPRT方法和SPOT方法不考慮截尾時最大樣本量無法控制的問題，BSST-SMT方法能在驗(yàn)證試驗(yàn)開展前能確定最大樣本量，使得對驗(yàn)證試驗(yàn)開展有比較客觀的認(rèn)識。

3)解決了傳統(tǒng)SMT方法不能利用先驗(yàn)信息的問題，結(jié)合BSST處理先驗(yàn)信息，將先驗(yàn)信息用于SMT方法中，達(dá)到降低最大樣本量、平均樣本量以及雙方風(fēng)險(xiǎn)的目的。

4)本文基于BSST-SMT的測試性驗(yàn)證試驗(yàn)方案設(shè)計(jì)方法較之經(jīng)典驗(yàn)證方法、常規(guī)SPRT方法、傳統(tǒng)SMT方法以及SPOT方法在最大樣本量、平均樣本量以及雙方風(fēng)險(xiǎn)值等方面均有有效改進(jìn)，能更好的指導(dǎo)高精度武器系統(tǒng)的驗(yàn)證試驗(yàn)的開展。

與此同時，除了在文中進(jìn)行討論的研究點(diǎn)外，仍然有一些問題需要深入研究：保證試驗(yàn)的充分性需要足夠的樣本量，而確保驗(yàn)證試驗(yàn)代價(jià)最小需要保證樣本量足夠小，所以樣本量的確定應(yīng)在二者之間權(quán)衡，對樣本量確定方法的選擇是即考慮充分性和代價(jià)之間折中的過程，所以如何合理的選取截尾策略需要進(jìn)一步研究。