非高斯白噪環(huán)境下基于空時(shí)波束形成算法

梁 楠，張 偉，安浩平

(1.河南省科學(xué)院應(yīng)用物理研究所有限公司，河南 鄭州 450008；2.河南省物聯(lián)網(wǎng)感知技術(shù)與系統(tǒng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河南 鄭州 450008)

0 引 言

常規(guī)的時(shí)域或變換域?yàn)V波技術(shù)無法將寬帶干擾與熱噪聲區(qū)分開，而波束形成技術(shù)是通過波束賦形得到期望方向的信號，抑制不需要方向的干擾。I.S.Reed提出了經(jīng)典的采樣協(xié)方差矩陣求逆(SMI)方法[1-2]，該算法以輸出功率最小為準(zhǔn)則，同時(shí)約束期望信號方向增益最大。1972年，F(xiàn)rost[3]提出了空時(shí)自適應(yīng)處理(STAP)結(jié)構(gòu)，通過同時(shí)聯(lián)合處理多元天線陣與多個(gè)相參脈沖接收到的數(shù)據(jù)，使雜波抑制在空時(shí)二維空間中進(jìn)行，命名多線性約束最小方差(LCMV)處理器。Brennan[4-5]等人基于雷達(dá)系統(tǒng)討論了STAP結(jié)構(gòu)，應(yīng)用于消除干擾、雜波以及干擾多徑信號。以上傳統(tǒng)算法是以精確的陣列流形為前提設(shè)計(jì)，假設(shè)噪聲是高斯白噪聲，但是由于互耦誤差等因素的影響，實(shí)際的陣列流形往往出現(xiàn)一定程度的偏差或擾動，噪聲的譜特性往往是一種變化且不容易測量的形式，并非高斯白噪聲。例如，在對系統(tǒng)中的空間噪聲測向時(shí)，其空間相關(guān)矩陣偏離對角陣而表現(xiàn)出相關(guān)性。這些不理想因素導(dǎo)致傳統(tǒng)方法一定程度的失效，近幾年，非理想環(huán)境下的穩(wěn)健波束形成算法[6-8]成為研究熱點(diǎn)。

本文利用高階累積量具有盲高斯特性，提出了非高斯白噪環(huán)境下空時(shí)寬帶波束形成算法。首先分析了四陣均勻圓陣高階累積量去冗余方法，通過虛擬陣元[9]準(zhǔn)確估計(jì)干擾信號來波方向，從而構(gòu)造出空時(shí)二維導(dǎo)向矢量矩陣。利用QR分解構(gòu)建干擾空時(shí)二維導(dǎo)向矢量的阻塞矩陣，對阻塞矩陣線性組合以期望信號空時(shí)二維導(dǎo)向矢量為約束，最后利用最小二乘法求解空時(shí)濾波權(quán)值。該算法可以加深傳統(tǒng)算法形成零陷深度，使干擾抑制在非高斯白噪環(huán)境下有效進(jìn)行。

1 信號模型

考慮M個(gè)相同的全向陣元以均勻圓陣分布，陣列的圓心位于原點(diǎn)，半徑為R=λ/2，λ為載波信號的波長。定義俯仰角θ∈[0,π/2]是原點(diǎn)到信號源的連線與法向之間的夾角，方位角φ∈[0,2π]則是原點(diǎn)與第一陣元連線逆時(shí)針方向到信號源在水平面上的投影與原點(diǎn)連線之間的夾角。則空間遠(yuǎn)場平行波s(t)的空域?qū)蚴噶繛椋?/p>

SS=[ejξcos(φ-r1),ejξcos(φ-r2),…,ejξcos(φ-rm)]T

(1)

其中ξ=2πRsinθ/λ，rm=2π(m-1)/M，m=1,2,…,M。

如圖1所示，設(shè)計(jì)空時(shí)濾波器。每路陣元采樣數(shù)據(jù)快拍時(shí)延為T，要求T小于1/B，B為信號帶寬，每路陣元采樣數(shù)據(jù)的處理相當(dāng)于一個(gè)N階的FIR濾波器。設(shè)ωt是時(shí)間歸一化頻率，時(shí)域矢量表示為St=[1,ejωt,…,ej(N-1)ωt]T，則得到空時(shí)二維導(dǎo)向矢量：

a=Ss?St

(2)

式中，?為可羅奈克積。波束形成系數(shù)為{wmn},n=1,2,…,N,m=1,2,…,M，

w=[w11,w12,…,w1N,w21,…,w2N,…,wM1,…,wMN]T

(3)

當(dāng)空間存在D個(gè)遠(yuǎn)場的寬帶信號si(t),i=1,2,…D，則整個(gè)均勻圓陣陣列接收到的信號可表示為：

(4)

N(t)=[n1(t),n2(t),…nM(t)]T

(5)

其中ai表示入射方向?yàn)?θi,φi)的遠(yuǎn)場平行波si(t)的空時(shí)二維導(dǎo)向矢量。N(t)為陣列的高斯白噪聲，nm(t)為第m個(gè)陣元通道的熱噪聲，m=1,2,…M。

對于多線性約束LCMV處理器[3]設(shè)定K個(gè)約束，第k個(gè)約束是平面波以(θk,φk)入射到陣面時(shí)，陣列的輸出為bk，類似的可以得到第k個(gè)約束方程為：

(6)

所以K個(gè)線性約束的最小方差(LCMV)優(yōu)化方程如下，Rxx=E[XXH]為接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣。

MinE{|y(n)|2}=wHRxxw

s.t.CHw=b

C=[a1,a2,…,aK]

b=[b1,b2,…,bK]T

(7)

利用拉各朗日乘子法可以推導(dǎo)出多約束最小方差處理器的解為：

(8)

2 高階累積量調(diào)零波束形成算法

陣列擴(kuò)展的概念早在Dogan和Mendel等提出的虛擬相關(guān)計(jì)算法[9]中得以證明。高階累積量方法可以有效擴(kuò)展陣列孔徑，抑制高斯色噪聲[10,11]?？紤]到空時(shí)波束形成器輸入信號包含高斯過程的噪聲和非高斯過程的信號，陣列接收信號的四階累積量[12]可以寫為：

R4=cum{xk1,xk2,xk3,xk4}

?k1,k2,k3,k4∈{1,2,…,M}

(9)

觀測信號X對應(yīng)的四階累積量矩陣表示如下:

(10)

式中，cum{·}為累積量；E{·,·}和E{·,·,·,·}分別對應(yīng)為X的二階矩、四階矩。

利用有限的實(shí)際快拍數(shù)構(gòu)造四階累積量矩陣。

(11)

(12)

簡化可得：

C4x=E{(X?X*)(X?X*)H}-E{(X?X*)}

E{(X?X*)H}-E{XXH}?E{(XXH)*}

(13)

結(jié)合小型化抗干擾衛(wèi)導(dǎo)應(yīng)用需求，通常以四元均勻圓陣為例，陣元按逆時(shí)針方向均勻分布在半徑為R的圓周上,假設(shè)四個(gè)陣元的坐標(biāo)依次是Z1,Z2,Z3,Z4，對四元均勻圓陣進(jìn)行四階累積量陣列擴(kuò)展，擴(kuò)展出16個(gè)虛擬陣元，除去重合位置陣元，非重合虛擬陣元坐標(biāo)為：

Z1-Z1,Z1-Z2,Z1-Z3,Z1-Z4,Z2-Z1,

Z2-Z4,Z3-Z1,Z3-Z2,Z4-Z2

(14)

由此可以得到最小冗余的觀測信號矩陣：

(15)

SS=[ejξcos(φ),ejξcos(φ-π/2),ejξcos(φ-π),ejξcos(φ-3π/2)]T

(16)

而與最小冗余的觀測信號對應(yīng)的陣列流型矩陣為：

Ar=[1,ejξ(cosφ-sinφ),ejξ2cosφ,ejξ(cosφ+sinφ),

ejξ(sinφ-cosφ),ejξ2sinφ,e-jξ2cosφ,e-jξ(cosφ+sinφ),e-jξ2sinφ]T

(17)

假設(shè)入射到陣列上的D個(gè)信號(M>D)來波方向分別是{(θ0,φ0),(θ1,φ1),…,(θD-1,φD-1)}，期望信號的DOA為(θ0,φ0)，其余為D-1個(gè)干擾信號的DOA。根據(jù)最小冗余的觀測信號Xr和陣列流型Ar構(gòu)造MUSIC估計(jì)函數(shù)：

(18)

λ1≥λ2≥…≥λD-1>λD=…=λM=σ2

(19)

US是由D-1個(gè)大特征值對應(yīng)的特征矢量張成的子空間，即干擾信號子空間。而UN是由小特征值對應(yīng)的特征矢量張成的子空間，即噪聲子空間。

(20)

與PMr(θ,φ)的譜峰對應(yīng)的{(θ1,φ1),…,(θD-1,φD-1)}即為干擾俯仰角和方位角的估計(jì)。

根據(jù)公式(2)構(gòu)造期望信號加干擾信號的空時(shí)二維導(dǎo)向矢量。為了保證期望信號來向的增益，同時(shí)抑制干擾，在準(zhǔn)確估計(jì)出的所有干擾來向上形成零陷，得到如下約束條件：

(21)

根據(jù)空時(shí)陷零條件，可以設(shè)計(jì)MN×Z維的正交基矩陣H滿足方程組，

HH[Ss(θj,φj)?St]=0j=1,…,D-1

(22)

對應(yīng)所有干擾信號空時(shí)導(dǎo)向矢量矩陣表示為：

AJ=[Ss(θ1,φ1)?St,…,Ss(θD-1,φD-1)?St]

(23)

考慮干擾信號波達(dá)方向{(θ1,φ1),…,(θD-1,φD-1)}各不相同，AJ是列滿秩矩陣。通過QR分解得到所有干擾空時(shí)導(dǎo)向矢量矩陣的正交基矢量Q，表示如下：

Q=[q1,q2,…,qMN]

(24)

矩陣Q是一個(gè)正交矩陣，前D-1個(gè)矢量張成的空間與后MN-D+1個(gè)列矢量所張成的空間正交，不妨取MN-D+1個(gè)正交矢量作為AJ的正交基矢量，則

H=[qD,qD+1,…,qMN]

(25)

此時(shí)對正交基進(jìn)行線性組合即得到干擾陷零的空時(shí)二維權(quán)矢量w，

w=H[d1,d2,…,dMN-D+1]T=Hd

(26)

同時(shí)為了滿足公式(21)，約束波束在期望信號方向增益最大，使得w=Ss(θ0,φ0)?St，也就是Hd=Ss(θ0,φ0)?St，這個(gè)方程的系數(shù)矩陣H列滿秩，屬于超定方程，所以矢量d可以用最小二乘法(LS)求得，

d=(HHH)-1HH[Ss(θ0,φ0)?St]

(27)

代入公式(26)，可以得到最后的權(quán)矢量

w=H(HHH)-1HH[Ss(θ0,φ0)?St]

(28)

工程應(yīng)用中考慮到波束形成算法的時(shí)效性，高階累積量算法可以簡化矩陣處理維數(shù)，以四陣元為例，四階累積量矩陣可簡化為9維。則計(jì)算量為(M2/2+1)2+M2N，但本文算法節(jié)省了傳統(tǒng)空時(shí)自適應(yīng)處理中MN維矩陣求逆計(jì)算，用最小二乘法求解權(quán)值，使工程應(yīng)用成為可能。

3 性能仿真

針對實(shí)際應(yīng)用存在互耦誤差，噪聲的譜特性非高斯白噪聲，此時(shí)空間相關(guān)矩陣偏離對角陣而表現(xiàn)出相關(guān)性等情況，計(jì)算機(jī)仿真比較本文算法與傳統(tǒng)算法干擾DOA估計(jì)誤差，以及DOA失配情況下不同算法波束形成性能。

實(shí)驗(yàn)1：采用四元均勻圓陣結(jié)構(gòu)，陣元間距d=λ/2，模擬遠(yuǎn)場互不相干寬帶干擾3個(gè)，干擾功率依次為-40 dBm、-50 dBm、-60 dBm，干擾方向分別是(60°，100°)、(70°，180°)、(50°，250°)，噪聲功率為-101 dBm，接收數(shù)據(jù)快拍數(shù)為5000。仿真比較傳統(tǒng)MUSIC算法和本文四元陣虛擬去冗余算法空間譜估計(jì)的等高線結(jié)果，如圖2所示。通過比較可以看出，在期望信號、寬帶干擾、非高斯白噪聲等仿真環(huán)境相同的情況下，MUSIC算法DOA估計(jì)角度發(fā)生模糊，三個(gè)干擾位置峰值均不明顯，而本文提出的四元均勻圓陣最小冗余累積量算法可以準(zhǔn)確估計(jì)干擾方向。

圖2 非高斯白噪環(huán)境兩種算法空間譜估計(jì)等高線圖

實(shí)驗(yàn)2：仿真采用四元均勻圓陣空時(shí)濾波結(jié)構(gòu)，每路陣元時(shí)域延遲單元為8，期望信號方向是法向，模擬產(chǎn)生互不相干寬帶干擾3個(gè)和非高斯白噪聲環(huán)境。圖3給出輸入干信比從0 ～80 dB變化時(shí)，傳統(tǒng)的寬帶多線性約束(LCMV)、功率倒置寬波束形成算法以及本文算法干擾抑制后的輸出信干噪比。從結(jié)果可以看出，功率倒置寬波束形成由于沒有在信號帶內(nèi)進(jìn)行方向約束，所以期望信號一定程度上被抑制掉。LCMV算法約束期望信號方向增益，但在非高斯白噪聲環(huán)境下干擾抑制不完全。本文算法加深了干擾零陷，隨干擾功率增強(qiáng)抑制能力越明顯，對系統(tǒng)信干比有良好的改善，從而提高了輸出信干噪比。

圖3 三種波束形成算法輸出信干噪比

實(shí)驗(yàn)3：實(shí)際互耦因素影響下會導(dǎo)致導(dǎo)向矢量失配，仿真指向誤差從0°～10°變化時(shí)波束形成輸出信干噪比結(jié)果。仍然采用四元均勻圓陣空時(shí)處理器，模擬三個(gè)寬帶干擾，功率依次為-40 dBm、-50 dBm、-60 dBm，干擾方向分別是(30°，70°)、(40°，130°)、(50°，200°)，期望信號方向是(10°，20°)，噪聲功率為-101 dBm，輸入信噪比-29 dB，仿真給出標(biāo)準(zhǔn)Capon波束形成[13]算法和LCMV波束形成算法的結(jié)果，如圖4所示，證明本文算法在導(dǎo)向矢量失配情況下對干擾抑制的有效性。

圖4 輸出信噪比隨角度失配變化曲線

4 結(jié) 語

本文分析了衛(wèi)星導(dǎo)航接收機(jī)由于互耦誤差和擾動而引入非高斯白噪聲環(huán)境，傳統(tǒng)算法會因此受到影響。針對工程上采用空時(shí)寬帶波束形成器，提出了一種加深零陷的非高斯白噪環(huán)境下空時(shí)波束形成算法。算法設(shè)計(jì)了四元均勻圓陣去冗余的四階累積量矩陣，通過虛擬陣元準(zhǔn)確估計(jì)干擾信號波達(dá)方向，構(gòu)造干擾空時(shí)二維導(dǎo)向矢量矩陣并求解阻塞矩陣，對阻塞矩陣線性組合以期望信號空時(shí)二維導(dǎo)向矢量為約束，最后利用最小二乘法求解空時(shí)濾波權(quán)值。算法可以在非高斯白噪聲環(huán)境下有效抑制干擾，計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證算法的有效性。