卓西咔

周末，阿才和爸爸去了公園。

“那是什么？”阿才突然問(wèn)道。不遠(yuǎn)處一個(gè)熱鬧的游戲攤位引起了父子倆的注意。只見這個(gè)攤位前面立了一塊木板，上面寫著三個(gè)大字——杯中球。

攤主解釋道：“我有三個(gè)外觀相似且不透明的杯子，將它們倒扣放置，再將一個(gè)小球放進(jìn)其中一只杯子里。然后我會(huì)移動(dòng)杯子十次甚至更多次，若你最后能猜出小球在哪個(gè)杯子里，你就能獲得獎(jiǎng)品?！?/p>

“那我要試一試！”阿才饒有興趣地走上前。然而游戲并不簡(jiǎn)單。由于攤主移動(dòng)杯子的速度太快，就算阿才一開始緊盯住有球的杯子，他也會(huì)在攤主第八次移動(dòng)杯子的時(shí)候“跟丟目標(biāo)”。

這可讓阿才犯了難：“既然這樣，就只能靠猜了。隨機(jī)選一個(gè)杯子，猜中的概率是1

3。有什么方法能提高我猜中的概率呢？”

爸爸笑著將他拉到一旁說(shuō)：“無(wú)論移杯子的人如何遵守設(shè)計(jì)好的移動(dòng)規(guī)則，他都會(huì)受到一點(diǎn)個(gè)人習(xí)慣的影響。所以里面有球的那只杯子變換的位置，會(huì)存在一定的規(guī)律。你不妨先好好觀察、計(jì)算，猜對(duì)的概率可能會(huì)大大提高?！?/p>

我們把阿才面前從左往右的三只杯子所在的位置分別記為1，2，3，用Pab（n） 代表移動(dòng)n次后，在杯子中的球從位置a移到位置b的概率。例如：P12（1）是球從左邊的位置1移到中間的位置2的概率;P22（1）是指移動(dòng)一次杯子后，球仍在中間位置沒(méi)有動(dòng)的概率; P13（2）是指移動(dòng)兩次杯子后，球從左邊位置1移到右邊位置3的概率。

Pab（1）無(wú)法直接得到，我們可以用“頻率=頻數(shù)

總次數(shù)”來(lái)進(jìn)行計(jì)算。比如，假設(shè)最開始球在左邊的杯子里，在100次的移動(dòng)杯子中，“球沒(méi)有移動(dòng)”發(fā)生了10次，“球從位置1移到了位置2”發(fā)生了60次，“球從位置1移到了位置3”發(fā)生了30次，那么有：P11（1）≈10

100， P12（1）≈60

100，P13（1）≈30

100 。

阿才經(jīng)過(guò)觀察，將總結(jié)的規(guī)律按順序?qū)懗扇缦滦问剑?/p>

假設(shè)球在第n次移動(dòng)中的位置只與第（n-1）次移動(dòng)中的位置有關(guān)，而與第1，2…n-2次轉(zhuǎn)動(dòng)中的位置無(wú)關(guān)，根據(jù)矩陣A以及遞推公式Pij（n）=Pi1（n-1）×

P1j（1）+Pi2（n-1）×P2j（1）+Pi3（n-1）×P3j（1）（n=2;i，j=1，2，3），我們可以得到A2 ：

從矩陣A2我們可以很直觀地看出：

（1）若球原本在左邊的杯子里，移動(dòng)2次后有66%的概率位置不變。

（2）若球原本在中間的杯子里，移動(dòng)2次后有50%的概率位置不變。

（3）若球原本在右邊的杯子里，移動(dòng)2次后有82%的概率位置不變。

如果我們隨機(jī)猜測(cè)球的位置，有1

3≈33.3%的概率能猜對(duì)。若用總結(jié)的規(guī)律來(lái)猜測(cè)，能將猜對(duì)的概率提高16.7%到48.7%。

阿才一臉竊喜地去重新挑戰(zhàn)，他發(fā)現(xiàn)猜對(duì)的概率果然大大增加了。攤主也覺(jué)察到了，于是他開始增加游戲難度：將杯子數(shù)目增加至4只，每局游戲杯子移動(dòng)的次數(shù)增加至11次。阿才站在一旁觀察了很久，他又得出了以下規(guī)律：

根據(jù)矩陣A以及遞推公式：

Pij（n）=Pi1（n-1）×P1j（1）+Pi2（n-1）×P2j（1）+Pi3（n-1）×P3j（1）+Pi4（n-1）×P4j（1）（n=2，3;i，j=1，2，3，4）

可以依次得到矩陣A2和 A3：

根據(jù)矩陣A3我們可以很直觀地看出：

（1）若球原本在左數(shù)第一個(gè)杯子里，移動(dòng)3次后有48.4%的概率位置不變。

（2）若球原本在左數(shù)第二個(gè)杯子里，移動(dòng)3次后有49%的概率位置不變。

（3）若球原本在左數(shù)第三個(gè)杯子里，移動(dòng)3次后有49.7%的概率位置不變。

（4）若球原本在右數(shù)第一個(gè)杯子里，移動(dòng)3次后有43.3%的概率位置不變。

如果我們隨機(jī)猜測(cè)球的位置，有1

4=25%的概率能猜對(duì)。若用總結(jié)的規(guī)律來(lái)猜測(cè)，能將猜對(duì)的概率提高18.3%到24.7%。

從“杯中球”這個(gè)游戲里，阿才領(lǐng)悟到：生活中存在著許多充滿變數(shù)的“謎題”，我們要多去發(fā)現(xiàn)“謎題”中的知識(shí)和規(guī)律，才能收獲更多樂(lè)趣喲！