張峰 劉尊群

摘 ? 要：常規(guī)解法得出含電容器“單桿+導(dǎo)軌”模型中桿的收尾速度與回路中的電阻無關(guān)，進(jìn)一步得出導(dǎo)體桿損失的機(jī)械能相同，但從能量守恒觀點(diǎn)定性分析發(fā)現(xiàn)回路中獲得的能量卻不相同，還有一部分能量去哪兒了？為解釋此矛盾，運(yùn)用微積分知識(shí)，定量推導(dǎo)出回路中產(chǎn)生焦耳熱的表達(dá)式。結(jié)果表明，回路中產(chǎn)生的焦耳熱與電阻無關(guān)，從能量觀點(diǎn)也得出導(dǎo)體桿損失的機(jī)械能相同。

關(guān)鍵詞：單桿導(dǎo)軌模型;電容器;收尾速度;計(jì)算焦耳熱

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ?文章編號(hào)：1003-6148（2019）11-0056-2

1 ? ?問題的提出

1.1 ? ?含電容器“單桿+導(dǎo)軌”模型

在《電磁感應(yīng)》的復(fù)習(xí)備考中，含電容器“單桿+導(dǎo)軌”模型是一類常見問題，如圖1所示，兩根足夠長的光滑平行導(dǎo)軌間距為L，固定在水平面內(nèi)，兩導(dǎo)軌左端接一電容為C的電容器，有一根質(zhì)量為m、長度為L的導(dǎo)體桿垂直兩導(dǎo)軌放置，不計(jì)一切電阻，整個(gè)裝置處在方向垂直于導(dǎo)軌平面向下的足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B中。給桿一個(gè)初速度v0，使導(dǎo)體桿沿著導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)（導(dǎo)體桿始終與導(dǎo)軌接觸良好），求最終穩(wěn)定時(shí)導(dǎo)體桿速度的大小。

1.2 ? ?常規(guī)解析過程

給導(dǎo)體桿一個(gè)初速度v0，桿做切割磁感線運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，對(duì)電容器充電，桿中有充電電流存在，桿將受到安培力的作用而減速，于是產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)減小，當(dāng)桿兩端的電壓等于電容器兩端的電壓時(shí)，回路中電流為零，桿最終以速度v做勻速運(yùn)動(dòng)。

1.3 ? ?提出問題

如圖2所示，若在電路中接入一個(gè)阻值為R的電阻，根據(jù)上面的求解過程，可以得出最終桿的收尾速度與圖1的結(jié)果一樣，即桿的收尾速度與回路中的電阻無關(guān)。

但從能量守恒的角度分析這兩種情況，圖1中的能量關(guān)系： mv ?- mv ?=E ;圖2中的能量關(guān)系： mv ?- mv ?=E +Q2。兩種情況下桿的收尾速度相同v1=v2=v，電容器充電完畢后的電壓也相同UC1=UC2=UC=BLv，電容器的能量也相同 EC1=EC2= CU ?。于是就引出了一個(gè)問題，圖1和圖2中導(dǎo)體桿損失了相同的機(jī)械能，但回路中卻獲得了不同的能量，圖2中多出了一個(gè)電阻R消耗的能量Q2，圖1中對(duì)應(yīng)的這部分能量都去哪兒了？

2 ? ?定量求解焦耳熱

2.1 ? ?分析和假設(shè)

為了解釋這個(gè)問題，我們從回路中產(chǎn)生的焦耳熱入手，分析含電容器“單桿+導(dǎo)軌”模型中產(chǎn)生的焦耳熱究竟與哪些因素有關(guān)。

導(dǎo)體桿一般是有電阻的（上述討論中將導(dǎo)體桿的電阻視為零是不合理的），將圖2電路中的電阻和導(dǎo)體桿的電阻視為回路的總電阻，上面要討論的圖1和圖2中的矛盾問題就變成在回路總電阻不同的情況下，導(dǎo)體桿以相同的初速度開始運(yùn)動(dòng)到最后勻速運(yùn)動(dòng)的過程中，回路中的總電阻產(chǎn)生的焦耳熱是否相同？

接下來先求出回路中電流隨時(shí)間變化的關(guān)系，然后再計(jì)算這一過程中產(chǎn)生的焦耳熱。

2.2 ? ?求解電流的表達(dá)式[1]

設(shè)經(jīng)過時(shí)間t，導(dǎo)體桿的速度為v。

2.3 ? ?求解焦耳熱

從圖3可以看出，導(dǎo)體桿從開始運(yùn)動(dòng)到桿中的電流趨于零，需要經(jīng)歷的時(shí)間趨于無窮大[2]。

3 ? ?結(jié) ?論

從以上定量計(jì)算的結(jié)果可以看出，整個(gè)過程產(chǎn)生的焦耳熱與回路中的電阻無關(guān)，即兩種情況下產(chǎn)生的焦耳熱相同。從能量守恒的角度可得 mv ?- mv ?=EC+Q，故也可以推導(dǎo)出兩種情況下導(dǎo)體桿損失的機(jī)械能相同。

參考文獻(xiàn)：

[1]梁燦彬，秦光戎，梁竹健.電磁學(xué)[M].北京：高等教育出版社，1980：414-421.

[2]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（下冊(cè) 第五版）[M].北京：高等教育出版社，2002：266-267.

（欄目編輯 ? ?羅琬華）