陳凱

許多人工智能的具體實(shí)現(xiàn)算法（如卷積神經(jīng)網(wǎng)、細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)、增強(qiáng)學(xué)習(xí)等）中，都涉及迭代的方法。迭代是一個(gè)重復(fù)反饋的過程，即不斷根據(jù)系統(tǒng)的輸出結(jié)果來調(diào)整系統(tǒng)的輸入?yún)?shù)，這樣就可以從一個(gè)或若干個(gè)估計(jì)值或隨機(jī)值開始，經(jīng)過一系列的數(shù)據(jù)的調(diào)整，逐步逼近問題的解。迭代過程中所展現(xiàn)出的復(fù)雜性，以及迭代對于解答問題的強(qiáng)大助力，其實(shí)可以借助很簡單的例子展現(xiàn)出來。

● 兜圈子的神奇迭代

首先來看一段程序代碼x=

1/（1-x），注意這不是一個(gè)數(shù)學(xué)方程式，其中的等于號作用是賦值，這段代碼的作用是，對于某一個(gè)值x，對其進(jìn)行1/（1-x）的運(yùn)算，然后將這個(gè)值再賦予變量x，不停地反復(fù)這樣的動(dòng)作，觀察其產(chǎn)生的效果（如圖1）。

使用VB，不到一分鐘就能完成這個(gè)互動(dòng)的程序，代碼簡單到只有一行：

Text1.Text=Str（1-1/Val（Text1.Text））

如果不停地點(diǎn)擊“迭代”，那么文本框中的值會在2、0.5和-1這三個(gè)數(shù)字之間不停地跳動(dòng)?？梢赃@樣說，迭代進(jìn)入到了周期模式，周期中有三個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。有趣的是，無論文本框中輸入什么值，結(jié)果都會進(jìn)入到有三個(gè)不動(dòng)點(diǎn)的周期模式中去。這個(gè)例子是為了讓學(xué)習(xí)者對迭代過程有一個(gè)直觀的體驗(yàn)。

這里要特別說明一下，雖然很少有人使用VB作為工具來實(shí)現(xiàn)機(jī)器學(xué)習(xí)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的算法，但在講解某些基礎(chǔ)概念，并且需要快速建立一個(gè)演示或交互實(shí)驗(yàn)的小工具的時(shí)候，VB具有實(shí)現(xiàn)簡易、展示直觀的特點(diǎn)。隨著學(xué)習(xí)的深入，尤其是需要頻繁用到各種數(shù)學(xué)工具的時(shí)候，還是建議學(xué)習(xí)者采用Python或Java之類的程序設(shè)計(jì)語言。

● 迭代兔子的數(shù)量天花板

假設(shè)有一個(gè)島嶼，島嶼上有許多只兔子，兔子不用擔(dān)心食物，因?yàn)槊刻於加卸康暮}卜生長出來。兔子有著超高的繁殖率，每過一個(gè)月，每兩只兔子會生出一只新的兔子。比如說，一開始是10只兔子，到下一個(gè)月，會發(fā)現(xiàn)多出5只新出生的兔子。但這15只兔子也不是全都可以順利活過這個(gè)月，這里有一個(gè)折扣率，其比率和食物的相對充分程度有關(guān)，如相對兔子數(shù)量食物充分，則折扣率更接近百分百，如相對兔子數(shù)量食物不足，則折扣就打得比較多，比如說，用公式1-x/50來計(jì)算折扣率，其中的數(shù)字50，可認(rèn)為是每天固定可收獲50斤胡蘿卜。

于是，得到下一個(gè)月的兔子數(shù)量的程序代碼為：

x=x+0.5*x*（1-x/50）

如果初始時(shí)x為10，則下一個(gè)月的兔子數(shù)量是14。

現(xiàn)在將兔子數(shù)量的單位設(shè)置為萬，假設(shè)初始時(shí)有0.001萬只兔子，同時(shí)，胡蘿卜的數(shù)量單位由斤設(shè)置為萬斤。然后，將該數(shù)按上面的公式進(jìn)行迭代，并且把每一個(gè)月迭代的結(jié)果用點(diǎn)陣顯示出來，就可以得到既有意思又很有意義的圖形（如上頁圖2）。

一開始，兔子數(shù)量增長還不是特別明顯，然后忽然有了驚人的轉(zhuǎn)折，數(shù)量猛增，直到數(shù)量接近50萬只的時(shí)候，由于食物數(shù)量有限，使得折扣加大，兔子的數(shù)量便會到達(dá)一個(gè)再也無法超越的天花板。可以看到，代表兔子數(shù)量的點(diǎn)在連成線后弧度很優(yōu)美，有點(diǎn)像字母“S”，這樣就體現(xiàn)出在環(huán)境受限定的情況下，生物原本呈指數(shù)增長的模式是如何被抑制的，這個(gè)圖形是生物學(xué)家在研究生物增長模式時(shí)發(fā)現(xiàn)的，被稱為邏輯斯蒂曲線。在學(xué)習(xí)到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)激活函數(shù)的時(shí)候，就會發(fā)現(xiàn)這個(gè)圖形其實(shí)與神經(jīng)元信號傳導(dǎo)有著重要的關(guān)系。

筆者想到這樣的情況，即兔子的活動(dòng)會影響到胡蘿卜的穩(wěn)定提供，因?yàn)橥米拥幕顒?dòng)會對環(huán)境產(chǎn)生破壞，從而影響胡蘿卜的生長，兔子越多，胡蘿卜產(chǎn)量越少。比如說，在兔子只有0.001萬只的時(shí)候，胡蘿卜的產(chǎn)出可以達(dá)到200/0.001即200000萬斤，實(shí)在是多得吃不完。但如果兔子有4萬只，那就只有200/4即50萬斤的胡蘿卜可產(chǎn)出。將剛才的代碼改造如下：

y=x+r*x*（1-x/（200/x））

如果取合適的r值，比如設(shè)為1.5，就會產(chǎn)生出有意思的圖形（如圖3），這些圖形貌似有規(guī)律，但仔細(xì)看，卻并沒有出現(xiàn)真正重復(fù)的模式。如果將r值進(jìn)行微調(diào)，比如把1.5改為1.50001，圖像只在初始時(shí)比較相似，很快就會有很大的不同，這就呈現(xiàn)出了混沌現(xiàn)象。

● 旁逸斜出的迭代描點(diǎn)器

數(shù)學(xué)家在研究迭代問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)非常簡化的迭代過程：

x=r*x*（1-x）

這同樣會產(chǎn)生混沌現(xiàn)象。比如說，將r值設(shè)置為4，將x的初始值分別設(shè)置為0.2和與0.2非常接近的0.2000001，隨著迭代的開始，一開始非常接近的迭代值會在某一時(shí)刻忽然“分道揚(yáng)鑣”，數(shù)值差異極大，然而又無法尋找到產(chǎn)生這種差異的原因和規(guī)律。這個(gè)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，在許多和復(fù)雜性系統(tǒng)有關(guān)的文章和書籍中都能見到，其具體的分析，本文就不再贅述了。但筆者將實(shí)驗(yàn)稍微改了一下，將兩個(gè)迭代過程的每一步迭代結(jié)果分別作為畫布上的點(diǎn)的x坐標(biāo)和y坐標(biāo)，這樣就能將混沌效應(yīng)以二維圖形的形式顯現(xiàn)出來：

迭代過程1：x=r*x*（1-x）

迭代過程2：y=r*y*（1-y）

程序代碼只有9行，并且其中還有好幾行也僅僅是換了變量名而已，其功能理解起來非常容易。初始時(shí)，兩個(gè)迭代系統(tǒng)的x值都是0.2，r值都是4，由于初始值完全一樣，所以在畫布上，每一次描點(diǎn)時(shí)，x坐標(biāo)和y坐標(biāo)相等，這樣就描出了一條斜線（如圖4）。

如果初始時(shí)r值都取4，第一個(gè)x值（將作為畫布的x坐標(biāo)）取0.2，第二個(gè)x值（將作為畫布的y坐標(biāo)）取0.2000001，則到第17步時(shí)，圖像還是一條斜線，但隨后，描出的點(diǎn)就仿佛有了自己的意志，開始旁逸斜出了（如下頁圖5）。

也可以不改變x值，只改變r(jià)值，產(chǎn)生出的圖像也同樣很有意思（如下頁圖6）。

有的時(shí)候，無論迭代多少次，描的點(diǎn)似乎都沒有規(guī)律;有的時(shí)候，迭代次數(shù)不多，卻能見到顯著的規(guī)律;有的時(shí)候，一開始好像沒有規(guī)律，等迭代足夠多次后，能看出不同位置所描的點(diǎn)疏密情況有一定的規(guī)律;而有的時(shí)候，也可能一開始仿佛有規(guī)律，但越到后面越?jīng)]有規(guī)律。問題是，并不能從輸入的初始值，預(yù)先推算出在足夠多次迭代后將會產(chǎn)生怎樣的圖形。即便是只有9行代碼的簡單程序，由于混沌系統(tǒng)中的蝴蝶效應(yīng)，其可能產(chǎn)生的圖形模式究竟怎樣，必須親歷整個(gè)迭代過程后才可知曉，所以需要花費(fèi)相當(dāng)多的時(shí)間去探索和發(fā)現(xiàn)。

● 迭代中的遺傳和進(jìn)化

將上面的程序進(jìn)行一下擴(kuò)充，就得到了一個(gè)具有遺傳進(jìn)化能力的圖形生成工具（程序?qū)崿F(xiàn)比較容易，限于篇幅，這里不提供完整的代碼）。可以將r值作為遺傳基因，將生成某種模式的特殊圖像（如6條水平的橫線）作為遺傳進(jìn)化的目標(biāo)，迭代若干次后，觀察圖像生成的效果是否接近預(yù)期目標(biāo)，如離預(yù)期目標(biāo)較遠(yuǎn)，則大幅度隨機(jī)調(diào)整獲取其他基因，如離目標(biāo)比較近，則小幅度隨機(jī)調(diào)整作為基因的r值，然后再看哪一種效果更為接近預(yù)期目標(biāo)，這個(gè)活動(dòng)甚至可以設(shè)計(jì)成一個(gè)集體合作的比賽項(xiàng)目（如圖7）。

為了找到更恰當(dāng)?shù)膔值以便描出更整齊的橫線，就要基于上一次參數(shù)的運(yùn)行效果，對輸入的初始參數(shù)進(jìn)行調(diào)整，然后再開始嘗試新的描點(diǎn)過程，如圖7所示，左、中、右三個(gè)圖形，可選擇右圖的r值作為遺傳基因，然后再小幅度隨機(jī)調(diào)整，生成新的三幅圖，然后反復(fù)此過程。在這個(gè)例子中可發(fā)現(xiàn)，如果要在一個(gè)迭代系統(tǒng)中快速達(dá)到預(yù)期目標(biāo)，所依靠的工具，也恰恰是迭代本身，這也說明了為什么生物體遺傳進(jìn)化中的基因迭代策略會被用于人工智能的多種實(shí)現(xiàn)方法中。