離散數(shù)學(xué)實(shí)用性教學(xué)探討

張福生 王成

摘要：離散數(shù)學(xué)一直是被確定為計(jì)算機(jī)專業(yè)最核心的基礎(chǔ)課程。在傳統(tǒng)的離散數(shù)學(xué)教學(xué)中，課程知識(shí)點(diǎn)泛化嚴(yán)重，課程體系碎片化，具體應(yīng)用不突出。針對(duì)長(zhǎng)期重理論而缺乏實(shí)用性的狀況，結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，通過分層對(duì)比教學(xué)，以實(shí)用性為切入點(diǎn)，從豐富教學(xué)案例、采用任務(wù)驅(qū)動(dòng)式的教學(xué)方法、多維度考核三個(gè)方面給出了離散數(shù)學(xué)教學(xué)的改革措施，旨在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)實(shí)用性，進(jìn)而能夠有效地提高教學(xué)質(zhì)量和學(xué)習(xí)效果。

關(guān)鍵詞：離散數(shù)學(xué) 實(shí)用性 任務(wù)驅(qū)動(dòng)式

中圖分類號(hào)：O158? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? 文章編號(hào)：1009—5349（2019）21—0179—02

離散數(shù)學(xué)是計(jì)算機(jī)專業(yè)的核心基礎(chǔ)課程，其包含的主要內(nèi)容有四大部分：數(shù)理邏輯、集合論、代數(shù)結(jié)構(gòu)和圖論。該課程具有知識(shí)點(diǎn)密集、概念多、理論性強(qiáng)、高度抽象且內(nèi)容相互交織、背景理論涉及面廣、知識(shí)結(jié)構(gòu)松散和系統(tǒng)邏輯較差、課程體系的碎片化，斷層化嚴(yán)重、具體應(yīng)用不突出等特點(diǎn)。目前，離散數(shù)學(xué)教師要么是來自數(shù)學(xué)系，要么是來自計(jì)算機(jī)系。前者注重理論知識(shí)教學(xué)，后者對(duì)算法和實(shí)用算法比較關(guān)心，而且一般都只能做到基本理論教學(xué)，講授大量的抽象理論，根本沒太多時(shí)間考慮教學(xué)的實(shí)用性。這當(dāng)然與課程內(nèi)容本身的高度抽象性、內(nèi)容的廣大性和極強(qiáng)的理論性相關(guān)。而且我們看到的實(shí)際學(xué)習(xí)現(xiàn)象是：學(xué)生對(duì)離散數(shù)學(xué)沒有興趣，學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)不知道有什么用，大量的理論學(xué)習(xí)找不到方法，寬泛的應(yīng)用層面不知道用哪些方法，知識(shí)點(diǎn)沒有建立體系，應(yīng)用性也沒有章法等問題。筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)際，從以下三個(gè)方面給出離散數(shù)學(xué)教學(xué)的教學(xué)改革措施。

一、豐富教學(xué)案例

在傳統(tǒng)的離散數(shù)學(xué)教學(xué)中，各部分內(nèi)容逐章講述，沒有交叉，而且缺乏側(cè)重點(diǎn)，教學(xué)目標(biāo)的知識(shí)點(diǎn)泛化嚴(yán)重。本身教學(xué)的時(shí)間緊，任務(wù)重，講授內(nèi)容僅停留在課本，也就是一些基礎(chǔ)理論，且背后的知識(shí)擴(kuò)展和應(yīng)用擴(kuò)展無暇顧及。這種單層教學(xué)模式顯然無法滿足學(xué)生知識(shí)擴(kuò)展與實(shí)踐應(yīng)用要求，更提不起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。因此，需要對(duì)離散數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容進(jìn)行體系化層次化分解，并對(duì)各個(gè)部分的知識(shí)逐層深入、相互滲透、應(yīng)用反饋，形成理論實(shí)踐相結(jié)合的應(yīng)用型課程教學(xué)模式。

為此，我們這里構(gòu)建從基礎(chǔ)層、提升層、應(yīng)用層三個(gè)層面的教學(xué)體系，具體知識(shí)體系建立如下：一是邏輯，包括命題邏輯、謂詞邏輯、推理——形式語(yǔ)言、自動(dòng)機(jī)、智能算法——硬件設(shè)計(jì)、搜索引擎、圖靈機(jī)應(yīng)用;二是集合論，包括集合、函數(shù)、序列——運(yùn)籌、密碼、遞推——最優(yōu)調(diào)度、軟件測(cè)試、公鑰體系;三是代數(shù)，包括代數(shù)、群、域——置換群、李群、同構(gòu)——加密算法、布爾代數(shù)、極小化;四是圖論，包括圖、路徑、樹匹配、著色、最小生成樹——遍歷、回溯、指令優(yōu)化、尋優(yōu)。

每一個(gè)內(nèi)容應(yīng)用層以若干個(gè)案例或者課題項(xiàng)目應(yīng)用作為教學(xué)導(dǎo)向，所有內(nèi)容圍繞教學(xué)目標(biāo)可以將各層內(nèi)容交叉融合起來，并且結(jié)合實(shí)際操作利用學(xué)習(xí)任務(wù)做驅(qū)動(dòng)，學(xué)習(xí)理解對(duì)應(yīng)的理論課。任務(wù)可以通過學(xué)生自擬課題和老師指定課題，先演示范例，后學(xué)生自主操作，以完成度作為考核要求。例如，通過對(duì)最短路徑算法實(shí)現(xiàn)校園交通系統(tǒng)的這一課題立項(xiàng)的研究，深化圖論知識(shí)體系的構(gòu)建;通過對(duì)二值邏輯映射實(shí)現(xiàn)數(shù)字邏輯電路設(shè)計(jì)的這一課題立項(xiàng)并具體做到設(shè)計(jì)樓道電燈等邏輯電路模擬，深化理解邏輯的知識(shí)體系;或者通過對(duì)完成任意數(shù)獨(dú)九宮格的程序設(shè)計(jì)加深邏輯和編程的結(jié)合也能完成邏輯知識(shí)體系的構(gòu)建。

另外，在離散數(shù)學(xué)教材上出現(xiàn)的經(jīng)典問題很多，可以進(jìn)行系統(tǒng)化，將相關(guān)知識(shí)體系豐富起來。如：旅行家問題，象棋子的遍歷，博弈樹，RSA密碼體系，圖的最短路徑，等等，通過引入這些實(shí)驗(yàn)案例，在教學(xué)設(shè)計(jì)之初，先進(jìn)行四大內(nèi)容體系分類，并且組合打包，知識(shí)點(diǎn)滿覆蓋組合分派，然后有選擇地教學(xué)和實(shí)驗(yàn)操作。這樣可以極大地加深學(xué)生對(duì)各項(xiàng)理論內(nèi)容的理解并能映射到豐富的應(yīng)用背景中，即：學(xué)理論、知用處，并對(duì)案例和知識(shí)點(diǎn)在應(yīng)用中發(fā)散理解深入鉆研，借以反哺理論并加深加強(qiáng)，即：懂用處、知?jiǎng)?chuàng)新。例如在公鑰密碼學(xué)中，為其提供安全性保障的是歐拉定理、費(fèi)馬小定理等數(shù)論定理，對(duì)定理理解越透徹，對(duì)安全性理解越上高度。通過任務(wù)的完成，RSA密碼體系的建立和破解難度性兩個(gè)矛與盾的對(duì)立，更有助于學(xué)生掌握相關(guān)離散數(shù)學(xué)基本定義、理論和定理，并更好地理解各種算法的安全性與應(yīng)用機(jī)制。例如：求最小生成樹，求最短路徑，求最優(yōu)解，這些應(yīng)用可以確定最優(yōu)方案，可以確定地區(qū)間的最小連通成本，這些案例的理論支撐不是枯燥和不重要，而是強(qiáng)大和深刻。針對(duì)本課程實(shí)用性、工具性的特點(diǎn)，具體案例可以提升抽象知識(shí)的具體化講述，進(jìn)行道路規(guī)劃課題立項(xiàng)研究就比較具體，但背后我們要做的教學(xué)目標(biāo)卻是哈夫曼樹應(yīng)用的特征這一理論背景。再比如：公安局的斷案、邏輯謎題，派人方案合理性調(diào)試、賽車手的選定，合理答辯時(shí)間的排定，等等，無一不需要理論背景。

在做到了豐富的案例實(shí)驗(yàn)教學(xué)完成后，學(xué)生需要的知識(shí)體系和應(yīng)用體系其實(shí)已經(jīng)在里面了，離散數(shù)學(xué)要達(dá)到的知識(shí)體系內(nèi)涵和應(yīng)用性內(nèi)涵其實(shí)已經(jīng)建立起來了。

二、任務(wù)驅(qū)動(dòng)式教學(xué)方法

任務(wù)驅(qū)動(dòng)式教學(xué)是指在教學(xué)過程中通過任務(wù)為導(dǎo)向的一種學(xué)習(xí)方法。具體就是布置一系列成知識(shí)體系的、與課程內(nèi)容緊密相關(guān)的任務(wù)讓每位學(xué)生個(gè)人或分組主動(dòng)參與，并且能完成理論和實(shí)踐雙教學(xué)目標(biāo)的一種教學(xué)方式。其核心在于任務(wù)驅(qū)動(dòng)，重點(diǎn)是使每位學(xué)生完成任務(wù)就是完成學(xué)習(xí)。任務(wù)有創(chuàng)新，學(xué)習(xí)就有創(chuàng)新，即：任務(wù)中學(xué)習(xí)，任務(wù)中創(chuàng)新，目標(biāo)是掌握該門課程的實(shí)際理論知識(shí)和應(yīng)用技能。離散數(shù)學(xué)的教學(xué)適用于任務(wù)驅(qū)動(dòng)教學(xué)方法。理論作為離散數(shù)學(xué)本身已有知識(shí)點(diǎn)，教師可以少講，前面提到的豐富的教學(xué)案例和衍生出的各項(xiàng)課題項(xiàng)目其實(shí)就已經(jīng)提供了學(xué)生要做好的各項(xiàng)各層面的任務(wù)。這些任務(wù)本身是形式多樣化的，無論是理論任務(wù)還是案例任務(wù)或者是課題任務(wù)，學(xué)生都可以自主選擇感興趣的，教師也要做好教學(xué)設(shè)計(jì)，將任務(wù)組合打包分類，可交叉可重復(fù)，但不要有大遺漏。并且，任務(wù)的教學(xué)目標(biāo)是統(tǒng)一化的，也就是要達(dá)到一致的教學(xué)目標(biāo)。

在任務(wù)驅(qū)動(dòng)式的教學(xué)方法下，完成任務(wù)是主，教師指導(dǎo)是輔，兩者互為契合。任務(wù)分三個(gè)層面：一是基礎(chǔ)教學(xué)，就是傳統(tǒng)教學(xué)，就是常規(guī)知識(shí)點(diǎn);二是提升教學(xué)，這需要完成一定量的訓(xùn)練題和應(yīng)用題并且有拓展知識(shí)體系;三是應(yīng)用層，這是需要花大力氣組隊(duì)完成的自選或者教師制定的課題或項(xiàng)目。在此三項(xiàng)活動(dòng)過程中，教師起到的是組織和監(jiān)督的作用。其實(shí)這里就已經(jīng)做到多維任務(wù)驅(qū)動(dòng)式教學(xué)，每一項(xiàng)任務(wù)的完成只要達(dá)到了教學(xué)目標(biāo)都是可以計(jì)入后期考核的。多維任務(wù)驅(qū)動(dòng)式教學(xué)使教學(xué)任務(wù)的內(nèi)容結(jié)構(gòu)更加豐富，多任務(wù)也給學(xué)生增加任務(wù)自主選擇權(quán)，任務(wù)分層，學(xué)生也分層，這就適合不同程度和類型的學(xué)生學(xué)習(xí)該門課程，做到因材施教，并提升動(dòng)手能力團(tuán)隊(duì)配合能力和創(chuàng)新能力。

正是上節(jié)我們給出了豐富的教學(xué)案例，可以解析離散數(shù)學(xué)泛化的知識(shí)內(nèi)涵。針對(duì)不同的學(xué)生，任務(wù)驅(qū)動(dòng)式教學(xué)的關(guān)鍵是分配和打包不同類型的任務(wù)，即任務(wù)多維化。這些任務(wù)類型包括：任務(wù)類型1——課題項(xiàng)目任務(wù)，以小團(tuán)隊(duì)形式完成指定或者自己選定的課題或者項(xiàng)目論文為目的;任務(wù)類型2——總結(jié)性任務(wù)，對(duì)知識(shí)面和應(yīng)用面的小總結(jié)，對(duì)離散數(shù)學(xué)的知識(shí)能較為全面的小總結(jié)，類似于文獻(xiàn)綜述，并能工具性運(yùn)用離散數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題;任務(wù)類型3——習(xí)題任務(wù)，以完成教材相關(guān)知識(shí)理論掌握程度鞏固提升為目標(biāo)的習(xí)題任務(wù)，即傳統(tǒng)的課后習(xí)題任務(wù)。對(duì)于任務(wù)類型1的課題項(xiàng)目任務(wù)來說，課題需要組建2—4人團(tuán)隊(duì)，自主選擇課題或項(xiàng)目，通過完成相關(guān)選題、項(xiàng)目形成對(duì)應(yīng)結(jié)論論文或技術(shù)報(bào)告。在課題選擇上，教師可以提供具體題目或者由學(xué)生自選自己感興趣的課題，由教師審核，教師扮演組織、監(jiān)督、引導(dǎo)者的角色。由于是學(xué)生有興趣的課題，這能夠充分發(fā)揮學(xué)生個(gè)人特長(zhǎng)，調(diào)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)性興趣，參與更積極。如果學(xué)生覺得課題比較難的話，可以降低要求，階段性的完成也可以，并且對(duì)于任務(wù)類型2或3來說，三者是并行完成的。

三、多維度考核體系

在考核方式上，傳統(tǒng)的單一筆試考試的方式已經(jīng)滿足不了實(shí)用性教學(xué)需要，從課程本身特點(diǎn)來說，僅采用試卷形式考查已經(jīng)不適用新的應(yīng)用實(shí)踐了。作為重應(yīng)用的新教學(xué)模式，可以依據(jù)教學(xué)設(shè)計(jì)由教師根據(jù)分配學(xué)生各類任務(wù)完成情況設(shè)置權(quán)重因子，如任務(wù)類型1的課題和項(xiàng)目的完成度是考核的依據(jù)。

由于任務(wù)是分層次多維度的，每類任務(wù)權(quán)重分配可以由教學(xué)目標(biāo)來敲定，任務(wù)組合包含的知識(shí)點(diǎn)范圍由教學(xué)內(nèi)容來敲定。因此，教師在設(shè)計(jì)之初，要對(duì)任務(wù)組合和完成的考核要求有一定的標(biāo)準(zhǔn)制定。例如：基礎(chǔ)理論類任務(wù)類型3考核要求為必須完成項(xiàng)，如果學(xué)生選擇閉卷能完成，可以通過考核。但也可以由學(xué)生選擇開卷，前提是完成2、3任務(wù)中的一項(xiàng)論文或總結(jié)，即1+3或2+3的組合形式，能達(dá)到教學(xué)目標(biāo)也可以通過考核。任務(wù)類型1和任務(wù)類型2選擇與否可以充分體現(xiàn)學(xué)生的興趣差異和學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)的不同，并且完成度體現(xiàn)著學(xué)生的綜合能力，其中課前的自主學(xué)習(xí)、課堂講授與研討、課后總結(jié)與練習(xí)作業(yè)等環(huán)節(jié)都可以作為參考量。

具體地，想挑戰(zhàn)想創(chuàng)新有闖勁的主動(dòng)型學(xué)生會(huì)選擇任務(wù)類型1+2+3，而被動(dòng)型喜歡接受和喜歡做知識(shí)總結(jié)的學(xué)生則傾向于選擇任務(wù)類型2+3。由于任務(wù)類型3是傳統(tǒng)的，也照顧到了部分學(xué)生喜歡閉卷考試的偏好，也可以保留傳統(tǒng)考核體系，并且有任務(wù)2和3的多維度選擇，能充分發(fā)揮學(xué)生主動(dòng)性，調(diào)動(dòng)興趣，理論實(shí)踐結(jié)合。多維度考核方式需要由任課教師逐一量化計(jì)算課程目標(biāo)達(dá)成度，形成統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，并讓學(xué)生在教學(xué)之初充分理解?？傊?，需要在完成教學(xué)目標(biāo)和符合教學(xué)大綱設(shè)計(jì)這個(gè)大層面上適度改革，切實(shí)地把實(shí)用性教學(xué)考核體系構(gòu)建起來。

四、結(jié)語(yǔ)

總之，豐富的案例實(shí)驗(yàn)教學(xué)建立了完整的離散數(shù)學(xué)知識(shí)體系內(nèi)涵，以點(diǎn)帶面的專題課題研究形式把實(shí)用性教學(xué)落到實(shí)處，在不改變教學(xué)目標(biāo)基礎(chǔ)上，加上多維度考核體系可以真正地把離散數(shù)學(xué)實(shí)用性教學(xué)系統(tǒng)構(gòu)建起來。

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責(zé)任編輯：趙慧敏