李忠美 張 猛 邊少鋒 李松林

（1.北京市遙感信息研究所 北京 100011）（2.海軍工程大學導航工程系 武漢 430033）

1 引言

自16世紀創(chuàng)立起，墨卡托海圖因經(jīng)緯線被表示為平行直線且具有保角特性，給航海者帶來很大方便，一直被作為船舶海上航行的基礎圖，在航海中具有不可取代的地位［1～4］。在該投影中，基準緯線無長度變形，從基準緯線向兩極變形增加［5］。隨著海洋工程及海運事業(yè)的繁榮發(fā)展，對關鍵水道的高精度測量和繪制提出越來越高的需求。墨卡托投影可滿足基準緯線附近沿緯線延伸的地區(qū)變形較小，當投影區(qū)域非東西方向延伸時，則難以滿足高精度制圖需求。針對以上情形，國內(nèi)外學者通常采用斜軸墨卡托投影［6～7］以規(guī)避長度變形較大的問題。目前該方法已被廣泛用于高速公路、高鐵建設、地震勘測等高精度測量領域，并取得豐碩的成果［8～11］。然而，該方法在海上的應用卻不多，鑒于航海業(yè)的繁榮發(fā)展，合理設計航線以縮短航程和保證船舶的安全航行，具有較強的應用前景?？紤]到大圓航線雖為最經(jīng)濟航線，但需不斷操舵轉(zhuǎn)向，在航海中通常將其等分為若干段等角航線［12］，以減少操舵次數(shù)。因此，可考慮通過一系列坐標轉(zhuǎn)換，將航線轉(zhuǎn)換至斜軸墨卡托投影平面上的0°緯線圈附近，進而實現(xiàn)減少打舵次數(shù)和減小投影長度變形的目的。本文擬對斜軸墨卡托投影在航海中適用性進行探討，為航海提供參考。

2 斜軸墨卡托投影的表示

2.1 斜軸墨卡托投影過程

圖1 斜軸墨卡托投影示意圖

如圖1所示，斜軸墨卡托投影是對斜軸參考圓球進行正軸切圓柱投影，其關鍵是建立地球至斜軸參考圓球間地理坐標的映射關系。根據(jù)文獻［13］可知，正軸與斜軸間地理坐標的轉(zhuǎn)換關系如下：

式中，e為自然對數(shù)底數(shù)，q0、λ0為斜軸參考圓球極點Q在地球圓球上的等量緯度與經(jīng)差，q、λ為地球圓球上的任意點A的等量緯度與經(jīng)差，q′、λ′為A點在斜軸參考圓球上的等量緯度與經(jīng)差。其中，等量緯度q與球面緯度φ間的關系如下：

對斜軸參考圓球進行正軸切圓柱投影，如下

2.2 確定極點位置

由式（3）可以看出，為對地球圓球進行斜軸墨卡托投影，需確定極點Q的位置q0、λ0，即根據(jù)極點位置構建斜軸參考圓球，使得航線位于斜軸參考圓球的赤道附近，進而達到減小航線附近投影變形的目的。

為求得該值，擬以地球圓球赤道平面為O-XY平面，以球心O到北極N方向為Z軸，建立空間直角坐標系。沿航線平均取若干點(φi，λi) ，求得航線各點對應的空間直角坐標( )Xi，Yi，Zi，如下：

利用最小二乘法，求得過球心且離該航線各點最近的平面mXi+nYi+Zi=0，即為斜軸參考圓球的赤道所在平面。其中：

式中，J=( )Xi，Yi，W=Zi。

進而可得極點Q的空間直角坐標為根據(jù)它與地理坐標間的關系，對應地可求出Q在地球圓球上的地理坐標，如下：

式中，φ′為地球圓球上任意點A(φ，λ)在斜軸參考圓球上的緯度。

利用Geocart軟件，選擇新極點的坐標為Q(3 0°N， 120°E )，可繪制出斜軸墨卡托投影平面示意圖，如圖2所示。在該投影平面上，利用漸深的黑色將為0～10范圍內(nèi)的投影長度變形進行表示，如圖3所示。

最后，可得斜軸墨卡托投影長度變形如下：

圖2 斜軸墨卡托投影平面示意圖

圖3 斜軸墨卡托投影長度變形示意圖

由圖2、3可以看出，在斜軸墨卡托投影平面上，極點所在經(jīng)線被投影為直線，地球經(jīng)緯網(wǎng)被表示為以該直線為對稱軸的正交曲線網(wǎng)；以極點為對稱中心，投影長度變形隨著遠離極點沿該直線方向加速增大，在該直線垂直方向上，投影長度變形一致。

3 算例分析

圖4 墨卡托海圖上的馬六甲海峽航線示意圖

為驗證斜軸墨卡托投影在減小投影長度變形方面的優(yōu)勢及其在航海中的適用性，以馬六甲海峽為例，如圖4所示依次沿海峽中線取若干點，將其坐標列于表1；通過解算出極點Q的位置，進而計算出沿線各點在斜軸參考圓球上的坐標，列于表2；對該區(qū)域進行斜軸墨卡托投影，投影后經(jīng)緯網(wǎng)如圖5所示；最后，將表1各點處的投影長度變形列于表3，并與正軸墨卡托投影長度變形進行對比。

圖5 斜軸墨卡托投影平面上的航線示意圖

表1 航線沿線各點在地球圓球上的地理坐標

經(jīng)計算，極點Q在地球圓球上的坐標為(46.9459°N， 165.4592°W )，航線沿線各點在斜軸參考圓球上的經(jīng)緯度見表2。

航線沿線各點在不同投影平面上的長度變形見表3。

由圖5及表2、表3可以看出，經(jīng)斜軸墨卡托投影后，航線被轉(zhuǎn)換至斜軸參考圓球的0°緯線圈附近，在投影平面上近似水平；同時，與正軸墨卡托投影相比，斜軸墨卡托投影有效減小了航線附近海域投影長度變形，進而使得該區(qū)域經(jīng)緯網(wǎng)形狀變形較??；綜合以上特點，并考慮到斜軸墨卡托投影依然具有保角特性，可認為在航線附近海域斜軸墨卡托投影較好地保留了墨卡托海圖的優(yōu)勢，依然便于航海者使用。

另，本算例中馬六甲海峽航線位赤道附近，在墨卡托海圖上長度變形較小，當航線位較高緯度并沿非東西方向延伸時，斜軸墨卡托投影在減小投影長度變形方面的優(yōu)勢將更為明顯。

表2 航線沿線各點在斜軸參考圓球上的地理坐標

表3 航線各點在不同投影平面上的長度變形

4 結(jié)語

本文通過建立地球與斜軸參考圓球間地理坐標轉(zhuǎn)換關系，實現(xiàn)斜軸墨卡托投影，得出結(jié)論如下：

1）根據(jù)航線所在位置，利用最小二乘法，構建斜軸參考圓球，滿足航線位斜軸參考圓球的0°緯線圈附近。

2）當航線沿非東西方向延伸時，與正軸墨卡托投影相比，該投影可有效減小航線附近海域投影長度變形，可用于重要航道高精度海圖繪制。

3）投影具有保角性質(zhì)，且航線附近海域經(jīng)緯網(wǎng)形狀變形較小，具備墨卡托海圖的部分優(yōu)勢，便于航海者使用，一定程度上可為航海提供參考。