利用“嘗試錯(cuò)誤”促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)發(fā)展的實(shí)踐研究

江蘇省海州高級(jí)中學(xué) 陶 飛

思維這一認(rèn)知的核心成份其實(shí)是人腦概括事物本質(zhì)及其中規(guī)律性關(guān)系的反映，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)有助于學(xué)生數(shù)學(xué)能力的突破和發(fā)展.學(xué)生在新知識(shí)的學(xué)習(xí)、應(yīng)用等方面都會(huì)產(chǎn)生一定的“嘗試錯(cuò)誤”，教師應(yīng)抓住機(jī)會(huì)并借助教材的內(nèi)涵與本質(zhì)以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的養(yǎng)成和發(fā)展.

一、利用“嘗試錯(cuò)誤”促進(jìn)學(xué)生深刻思維

學(xué)生只有具備一定的思維抽象程度、邏輯水平、思維深度才能對(duì)問題展開全面的思考并學(xué)會(huì)追根究底，教師應(yīng)幫助學(xué)生學(xué)會(huì)挖掘知識(shí)的本質(zhì)并促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行深刻思維，借助學(xué)生的錯(cuò)解使其思維達(dá)到一定的深刻程度.

兩種解法所得的結(jié)論不相同，這又是什么原因呢？學(xué)生的思維因?yàn)榇鸢傅牟煌钴S起來.教師此時(shí)可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)兩種解法中所運(yùn)用的運(yùn)算法則進(jìn)行思考，啟發(fā)他們發(fā)現(xiàn)運(yùn)算法則運(yùn)用時(shí)應(yīng)該滿足的條件，當(dāng)a＞0時(shí)，有（am）n=amn；而當(dāng)a＜0或a是虛數(shù)時(shí)，亂用法則就會(huì)使錯(cuò)解產(chǎn)生，因此，解法2顯然是對(duì)的.

二、利用“嘗試錯(cuò)誤”促進(jìn)學(xué)生靈活思維

學(xué)生能夠根據(jù)客觀事物的發(fā)展和變化及時(shí)調(diào)整思路并做出一定的改變，能使其獲得新的解題方法，這是學(xué)生具備靈活性思維的具體體現(xiàn).學(xué)生經(jīng)常會(huì)因?yàn)閿?shù)學(xué)概念、法則、公式等理解的不夠而產(chǎn)生解題錯(cuò)誤，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生在判斷、推理論證、解題上的錯(cuò)誤進(jìn)行針對(duì)性的思維訓(xùn)練，使學(xué)生能夠在具體問題中進(jìn)行靈活思維并及時(shí)調(diào)整思路，繼而正確解題.

這是筆者在剛剛教完均值定理之后舉出的一個(gè)例子，考慮到了學(xué)生的習(xí)慣性思維并板書出了以下所示的錯(cuò)解：

板書錯(cuò)解之后，筆者并未將正確答案公布出來，而是對(duì)學(xué)生進(jìn)行了引導(dǎo)、啟發(fā)與討論，使其發(fā)現(xiàn)不等式x+成立的條件應(yīng)為x＞0，但題中函數(shù)的定義域明顯是{x｜x≠0}，因此以上解題方法明顯是不對(duì)的.筆者在學(xué)生思考至此，又引導(dǎo)學(xué)生在此題的求解中是否可以運(yùn)用均值定理進(jìn)行了思考.很快有學(xué)生領(lǐng)會(huì)到了應(yīng)分x＞0、x＜0這兩種情況并運(yùn)用均值定理來求解.

筆者又啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行了新解法的探尋，這是有意引導(dǎo)學(xué)生改變解題思路并促進(jìn)其靈活思維的啟發(fā)，學(xué)生在點(diǎn)撥下很快想出了利用判別式求解函數(shù)值域的解法：

因?yàn)棣?（-y）2-4×4=y2-16，所以y2-16≥0，解得y≤-4或y≥4.

所以該函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，-4］∪［4，+∞）.

學(xué)生思維的靈活性因此得到了很好的培養(yǎng)，不僅如此，對(duì)均值定理這一知識(shí)的理解也因此加深.

三、利用“嘗試錯(cuò)誤”促進(jìn)學(xué)生批判思維

學(xué)生只有具備估計(jì)思維材料、檢查思維過程的品質(zhì)才會(huì)在解題中敢于質(zhì)疑，敢于批判.教師在具體教學(xué)中可以盡量暴露學(xué)生的錯(cuò)誤并啟發(fā)學(xué)生思考，培養(yǎng)學(xué)生敢于懷疑的意識(shí)與品質(zhì)并使其辨誤能力大大提升.

例3 在△ABC中，b=11，a=25，∠B=30°，試求∠A的大小.

這是一道教學(xué)正弦定理過程中的習(xí)題，學(xué)生有以下解答：

筆者也曾告訴過學(xué)生，三角函數(shù)不是特殊值時(shí)可以運(yùn)用反三角函數(shù)對(duì)角進(jìn)行表示.因此，學(xué)生給出這一解法之后，筆者首先請(qǐng)學(xué)生對(duì)這一解法的正誤進(jìn)行了判斷.絕大部分的學(xué)生認(rèn)為解題沒錯(cuò)，但有一名學(xué)生卻提出了0＜sinA≤1的結(jié)論，但此題中的這樣的∠A顯然是沒有的.首先筆者對(duì)于學(xué)生敢于提出異議、善于思考與辨誤的勇氣進(jìn)行了肯定與贊賞，接著便組織學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的性質(zhì)重新進(jìn)行了反思，其他學(xué)生也終于認(rèn)可了這位學(xué)生的答案.

四、利用“嘗試錯(cuò)誤”促進(jìn)學(xué)生敏捷思維

在正確解題的前提下迅速而簡(jiǎn)捷地進(jìn)行思維能使學(xué)生在解題中有效縮短運(yùn)算環(huán)節(jié)與推理過程.教師應(yīng)有針對(duì)性地訓(xùn)練學(xué)生的解題速度與能力，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)總結(jié)快速解題的經(jīng)驗(yàn)并概括規(guī)律，使學(xué)生能夠在熟練、正確的解題鍛煉中獲得思維敏捷性的提高.

例4 已知直線l過點(diǎn)A（0，1）并和拋物線y2=x有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，試求直線l的方程.

學(xué)生解題如下：

解：設(shè)直線l的方程是y=kx+1，代入y2=x，可得k2x2+（2k-1）x+1=0.

因?yàn)橹本€l和拋物線y2=x有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，所以Δ=（2k-1）2-4k2=0，解得

引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這一解法進(jìn)行分析，可發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤如下：①在利用點(diǎn)斜式設(shè)直線l的方程時(shí)將斜率k不存在的情況忽略了，也就是忽略了直線l垂直于x軸的這種情況；②利用判別式研究一元二次方程的根時(shí)，二次項(xiàng)系數(shù)k≠0，則在解題時(shí)必須考慮直線l和x軸平行這種情況.因此，上述解法明顯是不完整的，直線l應(yīng)有以下三條：y=

事實(shí)上，啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解題錯(cuò)誤，還可以引導(dǎo)學(xué)生通過作圖來發(fā)現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生作出圖1即可發(fā)現(xiàn)解題中的漏解之處.這種解題不僅快捷而直觀，還能滲透數(shù)形結(jié)合的思想并令學(xué)生的思維敏捷性得到鍛煉和拓展.

圖1

五、利用“嘗試錯(cuò)誤”促進(jìn)學(xué)生獨(dú)創(chuàng)思維

學(xué)生具備思維的獨(dú)創(chuàng)性能使其在獨(dú)立思考中尋得具有新意的思路或方法.學(xué)生在獨(dú)創(chuàng)思維中或許存在缺點(diǎn)與錯(cuò)誤，但這種不循常規(guī)、尋求變異、勇于創(chuàng)新的思維習(xí)慣與品質(zhì)卻往往能使學(xué)生的解題獨(dú)樹一幟.

例5 某雙曲線經(jīng)過點(diǎn)A（-5，2），其焦點(diǎn)坐標(biāo)為（-6，0）、（6，0），試求其標(biāo)準(zhǔn)方程.

很多學(xué)生面對(duì)此題時(shí)均想到了待定系數(shù)法，運(yùn)用此法解題需要解方程組并求出標(biāo)準(zhǔn)方程中的a2與b2，這一解法相對(duì)常規(guī)但不夠簡(jiǎn)捷.不過也有少數(shù)學(xué)生想到了以下具有一定特點(diǎn)的解法：

這種解法與運(yùn)用待定系數(shù)法解題相比，顯然在計(jì)算上更加簡(jiǎn)捷.筆者對(duì)少數(shù)學(xué)生的這一獨(dú)創(chuàng)解法及時(shí)進(jìn)行了肯定與贊賞，并引導(dǎo)學(xué)生回顧解題并發(fā)現(xiàn)其中是否存在錯(cuò)誤，很快有學(xué)生發(fā)現(xiàn)a＞0這個(gè)條件被忽略了，因此并不正確，解法也應(yīng)作出修改如下：

上述解法雖然存在一定的錯(cuò)誤，但解題者的獨(dú)立思考、對(duì)相關(guān)知識(shí)的深刻領(lǐng)悟、獨(dú)創(chuàng)性思維卻在解題中得到了充分的展露.

因此，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的錯(cuò)誤并以此為基礎(chǔ)作出的思維引導(dǎo)，能使學(xué)生在“嘗試錯(cuò)誤”的辨析中獲得更好的審視、體驗(yàn)與反思，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)得到針對(duì)性的培養(yǎng)與鍛煉并獲得數(shù)學(xué)能力的提升.教師在利用學(xué)生的“嘗試錯(cuò)誤”進(jìn)行教學(xué)與訓(xùn)練時(shí)，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)錯(cuò)誤進(jìn)行新的審視與反思并使其能夠明辨是非，使學(xué)生能夠在更加深刻地理解、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)概念和定理與公式時(shí)獲得數(shù)學(xué)素養(yǎng)的鍛煉和提升.W