“手拉手”模型的結(jié)論及應(yīng)用

沈占立

“我們手拉手，友誼傳四方.”這是1988

年漢城奧運(yùn)會(huì)主題曲《手拉手》里的歌詞.在八年級(jí)幾何里也有“手拉手”模型，與它相關(guān)的問(wèn)題很多.構(gòu)造此模型解決一些問(wèn)題非常方便.現(xiàn)將其基本圖形和結(jié)論歸納如下，

一 兩個(gè)共直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形]

“手拉手”基本圖形如下：

已知：△ABC，△DBE均是等腰直角三角形，BA =BC，BD=BE.∠ABC=∠DBE=90°.

結(jié)論：△ABD≌△CBE（邊角邊）.

例，如圖4所示，在△ABD和△AEC中.∠BAD=∠CAE =90°.AB=AD，AC=AE.DC，BE交千點(diǎn)M.

（1）求證：BE=DC;

（2）求證：DC⊥BE;

（3）求∠AMD的度數(shù)，

解析：本題蘊(yùn)涵兩個(gè)共直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形.圖中△ADC可以看成是△ABE繞著點(diǎn)A（旋轉(zhuǎn)中心）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°而得的.

（l）易證△ABE≌△ADC（邊角邊），故BE=DC.

（2）由（1）知△ABE≌△ADC，故∠AEB=∠ACD.在由A，M，C，E組成的“8字形”圖中，∠CME=∠ CAE=90°，故DC⊥BE.

（3）如圖5，過(guò)A點(diǎn)作AG⊥BE于G，AH⊥DC于H.由“手拉手”基本圖形易得△EAG≌△CAH（角角邊），故AG=AH，MA平分∠DME，所以∠AMD= ∠AME=45°.

例2（2015年·黃石）如圖6，已知直線AB交x軸于點(diǎn)A（a，O），交），軸于點(diǎn)B（O，b），且a，b滿足la+b l+（a+4）2=0.點(diǎn)c在第一象限，且BE⊥AC于點(diǎn)E.延長(zhǎng)BE到D，使BD =AC連接OC，OD，CD.試判斷△COD的形狀，并說(shuō)明理由.

解析：△COD為等腰直角三角形，理由如下：

由題意知a=-4，b=4，故A（-4，0），B（O，4），則OA =OB.又BE⊥AC.所以∠BEA= ∠BOA =90°.由A，O，E，B組成的“8字形”基本圖形可知∠CAO= ∠DBO.又BD=AC.故△AOC≌△BOD，所以O(shè)C=OD.∠BOD=∠AOC.則∠COD= ∠AOB=90°，△COD為等腰直角三角形.

二 兩個(gè)共頂點(diǎn)的等邊三角形

已知：如圖7、圖8、圖9，△ABC，△DBE均是等邊三角形.

結(jié)論：△ABD≌△CBE（邊角邊）.

側(cè)3 如圖10所示，已知等邊△ABC和等邊△EAD，AC和AD在同一條直線上，BD與 CE交于點(diǎn)O.AB 與CE交于點(diǎn)M.AE與BD交于點(diǎn)N，連接MN.求證：（1）AN=AM; （2） MN//CD.

證明：（l）易證得△BAD≌△CAE.故∠ADN=∠AEM.又∠MA E=60°= ∠NAD ，AD=AE，所以△DAN≌△EAM.AN=AM.

（2）由（l）知AN=AM，而∠MAN=60°.則△AMN是等邊三角形.故∠MNA =60°=∠NAD，MN//CD.

三 兩個(gè)共頂點(diǎn)的正方形

已知：如圖11，以△ABC中AB，AC邊為邊向形外作正方形ABDE和正方形ACFG，

結(jié)論：△ABG≌△AEC（邊角邊）.

例4 如圖12，△ABC中.∠ACB=90°.設(shè)BC=a，分別以直角三角形的三邊為邊向外作正方形ABDE，正方形ACFG，正方形BCMN.過(guò)點(diǎn)C作AB邊上的高CH并延長(zhǎng)交正方形ABDE的邊DE于K.則四邊形BDKH的面積為____（用含口的式子表示）.

分析：本題初看似乎無(wú)從下手.聯(lián)想“手拉手”基本圖形，連接AN.CD就不難解決.

解：連接AN，CD，如圖13.由“手拉手”基本圖形易證△ABN≌△DBC.