疊合三角形的性質(zhì)和應(yīng)用

陳素和

疊合三角形，又稱“A”字型，它的性質(zhì)在八年級(jí)涉及的平面幾何證明題中很實(shí)用.下面，我們來了解一下疊合三角形的性質(zhì)和應(yīng)用吧！

性質(zhì)

如圖1所示，由三角形內(nèi)角和定理，可得圖中存在一個(gè)不變的數(shù)量關(guān)系：∠ADE+∠AED=∠B+∠C.

利用平行線同位角相等的關(guān)系，通過平移可證在圖2、圖3的情況下，這個(gè)性質(zhì)也成立。

下面舉例說明這個(gè)性質(zhì)的應(yīng)用.

側(cè)，如圖4，在△ABC中，已知∠A=∠ABC.直線EF分別交△ABC的邊AB，AC和CB的延長線于點(diǎn)D，E，F(xiàn)求證：∠F+∠FEC=2 ∠A.

分析：很容易找到疊合三角形的模型.

證明：∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∠F+∠FEC+∠C=180°.

∴∠F+∠FEC=∠A +∠ABC.

又∵∠LA=∠ABC.

∴∠F+∠FEC=2∠A.

例2 如圖5.已知AD是△ABC的角平分線.過點(diǎn)B作BF⊥AD.交AD的延長線于點(diǎn)E.交AC的延長線于點(diǎn)F.求證：∠α+ ∠β=2∠F

證明：∵∠α+∠β+∠BAC=180°，

∠ABE+∠F+∠BAC=180°.

∴∠α+∠β= ∠ABE+ ∠F.

又AE既是△ABF的高，又是它的角平分線，

∴ △ABF為等腰三角形，∠ABE=∠F

∴∠α+ ∠β=2 ∠F

例3 如圖6.在△ABC中.AD為其角平分線.EF是AD的垂直平分線，E為垂足.EF