王蓮子 莊曉東 李鐘曉 陳倩倩

摘要：? 針對(duì)傳統(tǒng)K奇異值分解（K-singular value decomposition，K-SVD）算法在訓(xùn)練中存在運(yùn)行時(shí)間過(guò)長(zhǎng)的問(wèn)題，本文將主成分分析（principal component analysis，PCA）與K-SVD算法相結(jié)合，提出一種基于PCA的快速字典學(xué)習(xí)算法。該方法對(duì)原信號(hào)進(jìn)行PCA降維，獲取其主要成分，并對(duì)主成分信息進(jìn)行字典學(xué)習(xí)，同時(shí)利用主成分字典作正交變換獲取原信號(hào)字典。為驗(yàn)證本方法的有效性，采用快速字典學(xué)習(xí)算法對(duì)語(yǔ)音信號(hào)進(jìn)行處理。研究結(jié)果表明，與傳統(tǒng)K-SVD算法相比，基于PCA的快速字典學(xué)習(xí)算法在運(yùn)行上時(shí)間減少了近1/2。新算法通過(guò)消除訓(xùn)練樣本的冗余信息，使樣本結(jié)構(gòu)更加緊湊，極大程度降低了學(xué)習(xí)復(fù)雜度，在保證稀疏表示可靠性的同時(shí)，提升了字典學(xué)習(xí)效率，具有較好的應(yīng)用前景。

關(guān)鍵詞：? PCA; 快速字典學(xué)習(xí); 稀疏表示; K-SVD

中圖分類(lèi)號(hào)： TN912.3? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A

2006年，D.L.Donoho等人[1] 提出的壓縮感知為信號(hào)處理技術(shù)帶來(lái)了革命性突破。以遠(yuǎn)低于奈奎斯特頻率對(duì)信號(hào)進(jìn)行采樣，不僅簡(jiǎn)潔而有效的表示信號(hào)，還降低實(shí)際應(yīng)用中龐大數(shù)據(jù)量所帶來(lái)的壓力，在理論數(shù)學(xué)、信號(hào)處理、圖像與視頻處理等方面得到廣泛應(yīng)用[2 4] 。壓縮感知的前提及基礎(chǔ)是信號(hào)必須具有稀疏性，因此，構(gòu)造合適的字典，從而實(shí)現(xiàn)信號(hào)的最優(yōu)稀疏表示是壓縮感知中較為關(guān)鍵的一個(gè)階段。根據(jù)構(gòu)造方式，字典可分為固定字典和訓(xùn)練字典。固定字典實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，但原子形態(tài)單一，應(yīng)用范圍較為局限。K.Engan等人[5] 提出最優(yōu)方向（method of optimal directions，MOD）算法，是一種經(jīng)典字典學(xué)習(xí)算法，因在訓(xùn)練字典中大量使用最小二乘，使字典學(xué)習(xí)消耗較長(zhǎng)時(shí)間;M.Aharon等人[6] 提出了K奇異值分解（K-singular value decomposition，K-SVD）算法，與MOD算法相比，其計(jì)算復(fù)雜度有所降低，因此K-SVD算法逐漸成為研究熱點(diǎn)，但訓(xùn)練時(shí)間過(guò)長(zhǎng)仍是K-SVD算法存在的主要問(wèn)題。雖然許多學(xué)者對(duì)K-SVD算法進(jìn)行了改進(jìn)[7 9] ，但大多數(shù)改進(jìn)僅對(duì)K-SVD中的稀疏表示以及字典更新階段的改進(jìn)，卻忽略了由訓(xùn)練目標(biāo)本身所帶來(lái)計(jì)算量過(guò)大的問(wèn)題，隨著待處理數(shù)據(jù)增多，訓(xùn)練復(fù)雜度逐漸增加，通過(guò)減少字典學(xué)習(xí)的訓(xùn)練量，可有效提升訓(xùn)練速度。字典學(xué)習(xí)的本質(zhì)是信號(hào)特征的針對(duì)性訓(xùn)練，要在保留信號(hào)主要特性的同時(shí)減少訓(xùn)練目標(biāo)量，往往涉及一些數(shù)據(jù)降維技術(shù)。余付平等人[10 12] 的研究結(jié)果表明，PCA與字典學(xué)習(xí)及稀疏表示有效結(jié)合，在誤差重構(gòu)方面具有明顯效果，但上述研究并沒(méi)有解決字典學(xué)習(xí)中計(jì)算復(fù)雜度較高的問(wèn)題。基于此，本研究將PCA與K-SVD字典學(xué)習(xí)算法相結(jié)合，提出了一種基于PCA的快速字典學(xué)習(xí)算法，從根本上解決了字典學(xué)習(xí)中訓(xùn)練量過(guò)大的問(wèn)題。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與傳統(tǒng)字典學(xué)習(xí)算法相比，該方法在字典學(xué)習(xí)中具有較高運(yùn)算效率。該研究具有廣闊的應(yīng)用前景。

1 字典學(xué)習(xí)與PCA

1.1 稀疏表示與字典學(xué)習(xí)

大多數(shù)信號(hào)本身不具備稀疏特性，只有在字典下才能稀疏表示，信號(hào) y ∈ R （n×m） 的稀疏表示模型[13 15] 為

y = DC? （1）

其中， D =[ d1 d2 … ds ]， D ∈ R （n×s） 是一組具有S個(gè)原子的字典，每個(gè)原子的矢量長(zhǎng)度為n; C ∈ R （s×m） 是信號(hào) y 在字典 D 上展開(kāi)的系數(shù)。常用的稀疏求解方法有正交匹配追蹤（orthogonal matching pursuit，OMP）算法和匹配追蹤（matching pursuit，MP）算法等，為獲取較快的收斂速度，本研究選擇OMP算法作為稀疏求解方法[16] 。

K-SVD是一種經(jīng)典的字典學(xué)習(xí)算法，K-SVD將數(shù)據(jù)矩陣 y 分解為具有符合數(shù)據(jù)特性的字典 D 以及稀疏系數(shù)矩陣 C ，其分解過(guò)程[17 19] 為

argmin? D ， C ‖ y - DC ‖2F （2）

K-SVD是一種迭代算法，字典學(xué)習(xí)過(guò)程主要分為兩部分，一是固定當(dāng)前字典，利用稀疏求解算法獲取稀疏系數(shù);二是利用稀疏系數(shù)來(lái)更新下一次迭代字典。當(dāng)達(dá)到誤差要求，或者一定迭代次數(shù)時(shí)，輸出字典即所需學(xué)習(xí)字典。

1.2 PCA技術(shù)

PCA是一種重要的數(shù)據(jù)降維方法，利用正交變換將原始向量組轉(zhuǎn)變成一組線性不相關(guān)向量，變換后向量組保留了原始數(shù)據(jù)的主要成分，有效消除原始信號(hào)冗余信息，在更小維度下展示數(shù)據(jù)特性。PCA算法的主要步驟[20 22] 如下：

1） 首先對(duì)信號(hào) y （n×m） ={y1，y2…ym}進(jìn)行中心化，得到中心化矩陣? 。

2） 對(duì)? 的協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征值分解。

3） 取前t個(gè)最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量，并將其標(biāo)準(zhǔn)化后組成特征矩陣 W ={W1，W2…Wt}。

4） 得到后數(shù)據(jù) y′ = W T? ，其中 y′ ∈ R （t×m） 。

2 基于PCA的快速字典學(xué)習(xí)算法

在字典學(xué)習(xí)中，信號(hào)常以一組線性相關(guān)向量組形式處理，待處理信號(hào)一般具有冗余性。在利用K-SVD算法構(gòu)造字典中，稀疏表示階段的最優(yōu)解問(wèn)題以及字典更新階段的奇異值分解，都具有較高計(jì)算量，隨著訓(xùn)練樣本不斷增加，計(jì)算復(fù)雜度也逐漸增大。對(duì)訓(xùn)練樣本中冗余成分進(jìn)行學(xué)習(xí)，不僅降低訓(xùn)練效率，也增加一定資源浪費(fèi)。因此，消除冗余信息的字典學(xué)習(xí)，可以有效提升字典學(xué)習(xí)效率。字典學(xué)習(xí)是針對(duì)原始信號(hào)特征進(jìn)行訓(xùn)練，而通過(guò)PCA提取到原始信號(hào)的特征能較好滿(mǎn)足字典學(xué)習(xí)的特征需要，對(duì)具有冗余性的信號(hào)進(jìn)行降維，在保證不丟失原始信號(hào)重要特性情況下，消除了冗余信息。針對(duì)上述問(wèn)題，本文將PCA與K-SVD字典學(xué)習(xí)算法相結(jié)合，提出了一種基于PCA的快速字典學(xué)習(xí)算法，通過(guò)消除訓(xùn)練樣本冗余信息，解決字典學(xué)習(xí)過(guò)程中訓(xùn)練集計(jì)算量大的問(wèn)題，極大提高了字典學(xué)習(xí)效率?；赑CA的快速字典學(xué)習(xí)算法首先對(duì)原信號(hào)進(jìn)行主成分分析，獲得矢量長(zhǎng)度較小，代表重要信息的主成分矩陣，將主成分矩陣作為訓(xùn)練樣本，得到主成分字典，利用正交變換求得原始信號(hào)學(xué)習(xí)字典。

原始信號(hào)矩陣為 y （n×m） ，利用PCA技術(shù)，設(shè)置最佳主成分閾值λ，獲得主成分矩陣 y′ ∈ R （t×m） ，通過(guò)對(duì)主成分矩陣進(jìn)行字典學(xué)習(xí)，得到主成分字典 Dt 以及稀疏系數(shù) Ct ，由文獻(xiàn)[22]得

y′ = W T? ?（3）

經(jīng)過(guò)對(duì)式（1）進(jìn)行分析，主成分矩陣 y′ 可進(jìn)行稀疏表示，現(xiàn)將式（4）與式（1）結(jié)合，得

y′ = W T? = DtCt? （4）

式中， W T∈ R （t×n） 是? 協(xié)方差矩陣的特征矩陣。為獲取能表征原始信號(hào)特性的字典，現(xiàn)處理為

（ W T）T（ W T）? =（ W T）T DtCt? （5）

由于 W T為單位正交矩陣，（ W T）T（ W T）為近似單位矩陣，則式（6）近似表示為

=（ W T）T DtCt = DC t （6）

因?yàn)?y′ 代表 y? 主要特征; Dt 為 y′ 的學(xué)習(xí)字典，一定程度上也具有原信號(hào)結(jié)構(gòu)特性。因此，將 Ct 作為原始信號(hào)臨時(shí)稀疏系數(shù)，則（ W T）T Dt 表示為原始矩陣 y （n×m） 經(jīng)過(guò)快速字典學(xué)習(xí)算法得到的訓(xùn)練字典 D ，并將 D 進(jìn)一步與OMP算法相結(jié)合，取代臨時(shí)稀疏系數(shù) Ct ，得到原信號(hào)在字典 D 上的稀疏系數(shù) C 。

研究結(jié)果表明，稀疏系數(shù) C 有著較強(qiáng)的稀疏性，字典 D 有著較小的RMSE以及極快的運(yùn)行速度?；赑CA的快速字典學(xué)習(xí)算法主要步驟如下：

輸入：原始信號(hào) y （n×m） 。

1） 對(duì)原信號(hào) y （n×m） 進(jìn)行PCA處理，獲取主成分矩陣 y′ ∈ R （t×m） 。

2） 對(duì)主成分矩陣?yán)肒-SVD進(jìn)行字典學(xué)習(xí)，獲取主成分字 Dt ，主成分稀疏系數(shù) Ct 。

3） 固定主成分稀疏系數(shù) Ct ，對(duì) Dt 作正交變換，得原始信號(hào)字典 D =（ W T）T Dt 。

4） 利用OMP算法，得原始信號(hào)稀疏系數(shù) C 。

輸出：字典 D ，稀疏系數(shù) C 。

3 語(yǔ)音信號(hào)快速字典學(xué)習(xí)仿真實(shí)驗(yàn)

基于PCA的快速字典學(xué)習(xí)算法首先對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行降維，選取合適主成分閾值，保留信號(hào)主要信息，減少計(jì)算維度，得到主成分矩陣。再利用K-SVD字典學(xué)習(xí)算法以及OMP稀疏表示算法對(duì)主成分信息進(jìn)行字典學(xué)習(xí)，獲主成分字典，對(duì)主成分字典正交變換，得到符合原始信號(hào)特性的訓(xùn)練字典。為驗(yàn)證本方法的有效性，現(xiàn)利用快速字典學(xué)習(xí)算法對(duì)語(yǔ)音信號(hào)進(jìn)行稀疏處理。字典稀疏表示能力的強(qiáng)弱以及表示誤差的大小反應(yīng)了字典學(xué)習(xí)能力，為了更加客觀分析字典的性能，本研究將稀疏性、均方根誤差（root mean square error，RMSE）和運(yùn)行時(shí)間作為客觀評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，現(xiàn)將稀疏性進(jìn)行定量處理，稀疏性度量K的計(jì)算模型為

K= 1 m ∑ m i=1 ‖ Ci ‖1F?（7）

式中， C ∈ R （s×m） 代表稀疏系數(shù)矩陣; Ci 表示第i列系數(shù);‖ Ci ‖1F表示對(duì)第i列系數(shù)求解1范數(shù)。

3.1 獲取主成分矩陣

本研究運(yùn)行環(huán)境為windows7，運(yùn)行軟件為matalba2014b，采用的樣本數(shù)據(jù)及測(cè)試數(shù)據(jù)是在安靜環(huán)境下錄制，語(yǔ)音信號(hào)采樣頻率為16 kHz，因語(yǔ)音具有短時(shí)平穩(wěn)性，現(xiàn)對(duì)語(yǔ)音進(jìn)行分幀處理，幀長(zhǎng)128 ms，幀移32 ms。將語(yǔ)音數(shù)據(jù) y ∈ R （n×m） 進(jìn)行PCA降維，選擇主成分閾值λ，得到主成分矩陣 y′ （t×m） （t

由表1可以看出，隨著主成分閾值λ增大，主成分矩陣矢量長(zhǎng)度也逐漸增大。降維后，矩陣的矢量長(zhǎng)度最少可為原始信號(hào)矢量長(zhǎng)度的1/7，且至少包含原始信號(hào)97%以上的信息。由此可見(jiàn)，主成分矩陣以較小矢量長(zhǎng)度占據(jù)了原始信號(hào)的主要信息。快速字典學(xué)習(xí)算法再以主成分矩陣為訓(xùn)練目標(biāo)，學(xué)習(xí)主成分字典，而在字典訓(xùn)練過(guò)程中，主成分矩陣的矢量長(zhǎng)度越大，字典訓(xùn)練效率越低。因此，選擇合適主成分閾值，可以使主成分矩陣在能保證信號(hào)主要結(jié)構(gòu)特征的同時(shí)，極大提升字典學(xué)習(xí)效率。

3.2 最佳主成分閾值選取

將主成分矩陣 y′ 作為字典學(xué)習(xí)訓(xùn)練樣本，獲其主成分字典，對(duì)主成分字典按式（6）正交變換，一定程度上保證了字典稀疏表示能力，得到與原始信號(hào)特性相符的學(xué)習(xí)字典。實(shí)驗(yàn)對(duì)多個(gè)音素進(jìn)行測(cè)試，比較λ在（97，99.5）范圍內(nèi)，快速字典學(xué)習(xí)算法的運(yùn)行時(shí)間、RMSE及稀疏性度量K。語(yǔ)音信號(hào)在不同λ下，運(yùn)行時(shí)間隨主成分閾值的變化曲線如圖1所示，均方根誤差隨主成分閾值的變化曲線如圖2所示，稀疏性度量隨主成分閾值的變化曲線如圖3所示。由圖1～圖3可以看出，主成分閾值λ越大，主成分矩陣包含的主要信息 越多，即越接近原始信號(hào);同時(shí)，主成分矩陣的矢量長(zhǎng)度也隨之增大，參與訓(xùn)練樣本維數(shù)增加，導(dǎo)致主成分矩陣在字典學(xué)習(xí)中的存儲(chǔ)空間與計(jì)算量增加，運(yùn)行時(shí)間也隨之增加;當(dāng)提取到的主成分矩陣逐漸接近原始信號(hào)時(shí)， 由快速字典學(xué)習(xí)算法訓(xùn)練得到字典的RMSE逐漸減小;在稀疏性方面，主成分閾值λ的增大，展開(kāi)系數(shù)的稀疏性度量K保持在一個(gè)相對(duì)穩(wěn)定的數(shù)值，受閾值變化影響較小，稀疏展開(kāi)效果較為穩(wěn)定。因此選擇合適的主成分閾值，可以使主成分矩陣在既包含主要信息的同時(shí)，又具有較小的矢量長(zhǎng)度，在保證一定的RMSE及稀疏性的同時(shí)，又具有較快運(yùn)行速度，使新方法具有更加明顯的效果。

為使快速字典學(xué)習(xí)算法在多方面具有較好處理效果，現(xiàn)對(duì)語(yǔ)音音素[a]，[h]，[i]在主成分閾值λ為97%，97.5%，98%，98.5%，99%和99.5%條件下的RMSE、運(yùn)行時(shí)間和稀疏性三個(gè)性能進(jìn)行綜合分析。針對(duì)不同信號(hào)，采用主成分分析法作為多個(gè)性能綜合評(píng)價(jià)的分析方法，獲取在不同主成分閾值下快速字典學(xué)習(xí)方法性能的綜合得分，選擇具有最高綜合得分的閾值，并以此閾值λ作為此信號(hào)在快速字典學(xué)習(xí)算法中的最佳主成分閾值。

3.3 仿真結(jié)果分析

根據(jù)3.2選出最佳主成分閾值，采用基于PCA的快速字典學(xué)習(xí)算法對(duì)語(yǔ)音信號(hào)進(jìn)行稀疏處理， 從RMSE、運(yùn)行時(shí)間和稀疏性K多個(gè)方面與K-SVD算法進(jìn)行分析比較，將發(fā)音信號(hào)[a]，[h]，[i]在基于PCA的快速字典學(xué)習(xí)算法與K-SVD算法下的性能進(jìn)行對(duì)比，語(yǔ)音音素在兩種算法下的學(xué)習(xí)性能對(duì)比如表2所示。

由表2可以看出，與K-SVD算法相比，基于PCA的快速字典學(xué)習(xí)算法在運(yùn)行時(shí)間上減少了近1/2，這是因?yàn)槔每焖僮值鋵W(xué)習(xí)算法處理信號(hào)時(shí)，參與字典學(xué)習(xí)的主成分矩陣以更小矢量長(zhǎng)度代表原始信號(hào)主要信息，則訓(xùn)練樣本結(jié)構(gòu)特性更加緊湊，一定程度上減少了冗余信息的字典訓(xùn)練，使字典學(xué)習(xí)的稀疏表示階段及原子更新階段的計(jì)算復(fù)雜度得到大幅度減少，避免了訓(xùn)練樣本在字典學(xué)習(xí)中由維數(shù)過(guò)多而引發(fā)運(yùn)行時(shí)間過(guò)長(zhǎng)的問(wèn)題，使字典學(xué)習(xí)計(jì)算速度得到極大提升。利用PCA獲取的主成分矩陣，在至少包含97%原始信息情況下，作為訓(xùn)練樣本學(xué)習(xí)主成分字典，通過(guò)正交變換構(gòu)造有穩(wěn)定稀疏展開(kāi)的原始信號(hào)字典，且其RMSE與K-SVD算法相比，均保持在同一數(shù)量等級(jí)，在保證字典稀疏表示可靠性的同時(shí)，極大提升了字典學(xué)習(xí)效率。

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)傳統(tǒng)字典學(xué)習(xí)算法中運(yùn)算時(shí)間過(guò)長(zhǎng)的問(wèn)題，提出了一種基于PCA的快速字典學(xué)習(xí)算法。選擇最佳主要成分閾值，利用PCA對(duì)原信號(hào)進(jìn)行處理，對(duì)主成分矩陣進(jìn)行訓(xùn)練，對(duì)主成分字典進(jìn)行字典變換處理，得到與原始信號(hào)結(jié)構(gòu)相適應(yīng)的學(xué)習(xí)字典。 與K-SVD算法的定性和定量實(shí)驗(yàn)表明，基于PCA的快速字典學(xué)習(xí)算法極大降低了計(jì)算復(fù)雜度，在保留原始信號(hào)重要特性情況下，消除冗余信息的字典學(xué)習(xí)，提高字典運(yùn)行速度。

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A Fast Dictionary Learning Algorithm Based on PCA

WANG Lianzi， ZHUANG Xiaodong， LI Zhongxiao， CHEN Qianqian

（College of Electronic Information， Qingdao University， Qingdao 266071， China）

Abstract：? A fast dictionary learning algorithm based on PCA is proposed to solve the problem that the K-SVD algorithm runs too long in dictionary training. In this method， PCA is used to reduce the dimension of speech signal to obtain its main components and the dictionary of original signal is acquired by taking orthogonal transformation in the components dictionary which is learned by main components. In order to verify the effectiveness of this method， a fast dictionary learning algorithm is used to process speech signals. The results show that， compared with K-SVD algorithm， the fast dictionary learning algorithm reduces the running time by nearly half. By eliminating redundant information of training samples， the sample structure is more compact and the learning complexity is greatly reduced. The new method not only guarantees the reliability of sparse representation but also improves the efficiency of dictionary learning， and has a strong application prospect.

Key words： PCA; fast dictionary learning; sparse representation; K-SVD