王哲陽(yáng)，王震虎，張松波，李落星

（1.湖南大學(xué)，汽車車身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙 410082； 2.湖南大學(xué)機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院，長(zhǎng)沙 410082；3.重慶長(zhǎng)安汽車歐尚研究院，重慶 400023）

前言

由于汽車各性能之間的相互影響與制約，多目標(biāo)、多學(xué)科優(yōu)化方法在近幾年已廣泛應(yīng)用于解決各種工程問(wèn)題中［1-2］。然而由于優(yōu)化時(shí)的反復(fù)迭代導(dǎo)致CAE模型計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)，使整個(gè)優(yōu)化過(guò)程需要付出昂貴的計(jì)算代價(jià)。為解決該問(wèn)題，設(shè)計(jì)人員通常使用近似模型來(lái)代替有限元模型。近似模型的建立往往需要采集大量的樣本點(diǎn)，這就導(dǎo)致計(jì)算量同樣巨大而不能滿足項(xiàng)目進(jìn)度要求，序貫采樣法運(yùn)用較少的樣本點(diǎn)建立高精度的近似模型，能大大提高計(jì)算效率從而很好地滿足項(xiàng)目進(jìn)度要求。

序貫采樣法的關(guān)鍵在于如何根據(jù)初始樣本點(diǎn)信息確定新增樣本點(diǎn)在設(shè)計(jì)空間中的位置，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了一系列的研究。Currin和Sacks等［3-5］針對(duì)Kriging近似模型提出最大熵、MSE和IMSE 3種方法來(lái)定位新增樣本點(diǎn)位置，但以上3種方法只適用于Kriging近似模型，不具有普遍性。Johnson等［6］提出以最大距離法（maximin distance approach，MDA）來(lái)判斷新增樣本點(diǎn)位置，該方法實(shí)現(xiàn)了樣本點(diǎn)在樣本空間中的均勻分布，但是對(duì)于局部波動(dòng)大的問(wèn)題預(yù)測(cè)效果不佳。Jin等［7］在Johnson的基礎(chǔ)上提出了最大比例距離法（maximin scale distance approach，MSDA）與基于交叉驗(yàn)證的均方根誤差法（cross-validation approach，CVA），前者是對(duì)最大距離法的修正，但其尋找新樣本點(diǎn)時(shí)并未使用初始近似模型的信息，采樣效果同樣偏向于樣本點(diǎn)在樣本空間中的均勻分布，后者使用交叉驗(yàn)證的方式來(lái)預(yù)測(cè)近似模型在任意一點(diǎn)的誤差，但在對(duì)任意一點(diǎn)的預(yù)測(cè)過(guò)程中，該點(diǎn)越接近交叉驗(yàn)證時(shí)去除的樣本點(diǎn)，它的預(yù)測(cè)精度就越比實(shí)際精度低［8］，這會(huì)使尋優(yōu)出的響應(yīng)誤差最大樣本點(diǎn)位置與某一初始樣本點(diǎn)接近甚至重合，產(chǎn)生樣本點(diǎn)聚集現(xiàn)象。文獻(xiàn)［7］、文獻(xiàn)［9］和文獻(xiàn)［10］通過(guò)增加距離約束來(lái)防止樣本點(diǎn)聚集，但是距離約束的閾值如何確定并無(wú)有效方法。本文中參考CVA法的尋優(yōu)思路，針對(duì)交叉驗(yàn)證導(dǎo)致的近似模型局部精度驗(yàn)證偏低問(wèn)題，引入樣本點(diǎn)距離參數(shù)對(duì)其進(jìn)行修正，提出了一種新的序貫采樣法—CVDA法，并通過(guò)測(cè)試函數(shù)將CVDA法與另外多種采樣法進(jìn)行對(duì)比，體現(xiàn)CVDA法的優(yōu)越性。最后基于一款全鋁車架對(duì)其彎扭剛度、彎扭模態(tài)等性能采用CVDA采樣建立近似模型并進(jìn)行輕量化設(shè)計(jì)。

1 序貫采樣法

1.1 序貫采樣法流程

序貫采樣法本質(zhì)上是一個(gè)再采樣以提升近似模型精度的過(guò)程，而精度提升的效果取決于新增樣本點(diǎn)在設(shè)計(jì)空間中的位置。一般來(lái)說(shuō)，新增樣本點(diǎn)位于設(shè)計(jì)空間的平坦區(qū)域，則對(duì)近似模型精度的影響不大，新增樣本點(diǎn)位于設(shè)計(jì)空間中波動(dòng)較大區(qū)域，會(huì)有助于近似模型的精度提升。序貫采樣法流程如圖1所示。

圖1 序貫采樣流程圖

1.2 序貫采樣法原理

對(duì)于如何確定新增樣本點(diǎn)位置，國(guó)內(nèi)外已經(jīng)有了一定的研究，較為經(jīng)典的有最大距離法、最大比例距離法和基于交叉驗(yàn)證的均方根誤差法等。

1.2.1 最大距離法（MDA）

Johnson等［6］提出了關(guān)于最大距離法的標(biāo)準(zhǔn)，基于已存在的樣本點(diǎn)集XP，使新加入的樣本點(diǎn)XC距離已存在最近樣本點(diǎn)的距離最大，即

式中：XAj∈XA＝XC∪XP，XA為總樣本集，XAj為XA中的第j組樣本點(diǎn)；XCi為新增的第i組樣本點(diǎn)；m為新增樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)；l為初始樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)。

1.2.2 最大比例距離法（MSDA）

最大比例距離法［7］是對(duì)最大距離法的修正，考慮各設(shè)計(jì)變量對(duì)響應(yīng)貢獻(xiàn)量的大小，對(duì)設(shè)計(jì)變量之間的距離公式進(jìn)行修正，認(rèn)為高貢獻(xiàn)量的設(shè)計(jì)變量有更大的比例系數(shù)ah，數(shù)學(xué)模型為

式中：ah為第h個(gè)設(shè)計(jì)變量對(duì)響應(yīng)的靈敏度值；vh為第j個(gè)已有樣本點(diǎn)中第h個(gè)設(shè)計(jì)變量的值；wh為第i個(gè)新增樣本點(diǎn)中第h個(gè)設(shè)計(jì)變量值。

1.2.3 基于交叉驗(yàn)證的均方根誤差法（CVA）

Jin等［7］提出采用留一法交叉驗(yàn)證的方式來(lái)預(yù)測(cè)近似模型在任意一點(diǎn)x處的誤差。其值通過(guò)交叉驗(yàn)證下誤差均方根e（x）來(lái)估計(jì)，即

式中：y-i（x）為去除第i個(gè)樣本點(diǎn)后的樣本集建立的近似模型在x處的估計(jì)值；y（x）為通過(guò)已存在所有樣本點(diǎn)建立的近似模型在x處的估計(jì)值；n為已有樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)。以e（x）最大為目標(biāo)對(duì)x進(jìn)行尋優(yōu)，結(jié)果即為新增樣本點(diǎn)的位置。

1.3 CVDA序貫采樣法

考慮到交叉驗(yàn)證時(shí)去除點(diǎn)與新增樣本點(diǎn)x之間因?yàn)榫嚯x不同而導(dǎo)致的對(duì)預(yù)測(cè)誤差值的影響，提出一種新的序貫采樣法（CVDA）：引入距離比例系數(shù)ωi，當(dāng)x距離去除點(diǎn)越近時(shí)，ωi的值越小，以此來(lái)解決因?yàn)槿コ龢颖军c(diǎn)所導(dǎo)致的局部精度降低的問(wèn)題，數(shù)學(xué)模型為

2 數(shù)學(xué)算例

為能更直觀地對(duì)比各采樣方法新增樣本點(diǎn)在設(shè)計(jì)空間中的位置，展現(xiàn)CVDA序貫采樣法能更為準(zhǔn)確地將新增樣本點(diǎn)定位到近似模型精度低區(qū)域的能力，在這部分中，選取一維測(cè)試函數(shù)Farhang Mehr，以確定性系數(shù)R2作為評(píng)價(jià)近似模型精度的指標(biāo)，對(duì)CVDA法的有效性進(jìn)行驗(yàn)證，且與其他采樣方法包括最優(yōu)拉丁超立方［11］（OLHD）、MDA、MSDA和CVA等進(jìn)行對(duì)比。其中，由于設(shè)計(jì)變量只有一個(gè)，所以MDA法與MSDA法在本例中效果相同。測(cè)試函數(shù)的解析式為

該函數(shù)在（0，0.4）范圍內(nèi)變化較劇烈，而在（0.4，1.0）的范圍內(nèi)變化較為平緩。首先，使用OLHD法選取11個(gè)樣本點(diǎn)，11個(gè)樣本點(diǎn)均勻分布在（0，1）的區(qū)間范圍內(nèi)，采用徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立近似模型，預(yù)測(cè)精度初始值為0.787，樣本點(diǎn)在設(shè)計(jì)區(qū)間內(nèi)的分布如圖2所示?？梢钥闯?，在高波動(dòng)區(qū)域（0，0.4）中，近似模型預(yù)測(cè)精度很低。

圖2 初始樣本點(diǎn)分布圖

圖3 （a）～圖3（d）表示分別采用OLHD、MDA、CVA和CVDA 4種采樣方法新增樣本數(shù)至21個(gè)時(shí)的預(yù)測(cè)效果圖。其中OLHD為非序貫采樣方法，在新增樣本點(diǎn)過(guò)程中初始樣本會(huì)隨之改變，MDA、CVA和CVDA為序貫采樣法，在新增樣本點(diǎn)的過(guò)程中初始樣本不變，預(yù)測(cè)精度采用1 000個(gè)額外樣本點(diǎn)進(jìn)行驗(yàn)證。

由圖3（a）～圖3（c）可以看出，OLHD與MDA采樣方法講究樣本點(diǎn)在設(shè)計(jì)空間中的均勻分布，不能將新增樣本點(diǎn)很好地定位到函數(shù)波動(dòng)大、近似模型精度低的區(qū)域。CVA法由于其本身的局限性，新增樣本點(diǎn)與初始樣本點(diǎn)產(chǎn)生聚集現(xiàn)象，對(duì)近似模型實(shí)際精度并無(wú)太大提升效果。從圖3（d）中可以看出，根據(jù)CVDA法計(jì)算出的新增樣本點(diǎn)大多在局部波動(dòng)較大的（0，0.4）范圍內(nèi)，并與函數(shù)值的波峰、波谷有一定的重合度，預(yù)測(cè)精度提升明顯。

圖3 21個(gè)樣本點(diǎn)的預(yù)測(cè)效果對(duì)比

4種采樣方法采樣建立的近似模型預(yù)測(cè)精度變化如表1所示。

表1 4種采樣方法近似模型精度變化

由表1可以看出，經(jīng)過(guò)10次序貫采樣后，使用CVDA法采樣的近似模型精度從0.837增加到了0.950，增幅13.5%，較通過(guò)OLHD、MDA和CVA 3種采樣方法采樣而建立的近似模型預(yù)測(cè)精度分別高出11.1%，11.1%和30.3%。由此可以得出結(jié)論，與其余3種方法相比，CVDA法可以使用更少的樣本點(diǎn)建立更高精度的近似模型。

3 鋁合金車架仿真建模與精度驗(yàn)證

3.1 有限元模型的建立

車架主要由鋁合金型材焊接而成，因此建立的有限元模型具有以下特征：（1）型材采用shell單元進(jìn)行模擬，賦予相應(yīng)的材料與屬性，面與面之間共節(jié)點(diǎn)連接；（2）綜合考慮計(jì)算的精度和效率，網(wǎng)格的基本尺寸采用5 mm；（3）鋁型材之間的MIG保護(hù)焊采用shell單元進(jìn)行模擬，具體模擬方式見(jiàn)圖4。由此得到鋁合金車架有限元模型，如圖5所示。其中網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)794 281個(gè)，殼單元個(gè)數(shù)共808 652個(gè)。

MIG保護(hù)焊的模擬參數(shù)：

圖4 MIG保護(hù)焊模擬方式

圖5 鋁合金車架有限元模型

式中t1和t2分別為兩焊接面的厚度。兩焊接材料中屈服強(qiáng)度較小的一方作為焊縫的材料。

3.2 有限元模型的精度驗(yàn)證

通過(guò)對(duì)比有限元車架模型與實(shí)際車架的彎扭剛度、彎扭模態(tài)等性能來(lái)驗(yàn)證有限元模型建模的可靠性。

3.2.1 彎曲剛度仿真與測(cè)試

約束前后臺(tái)架左右底部X，Y，Z 3個(gè)方向的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，在兩邊門(mén)檻中部各垂直向下加載1 000 N的作用力。彎曲剛度的計(jì)算公式為

式中：F為施加載荷，N；Z1，Z2分別左右測(cè)點(diǎn)的Z向絕對(duì)位移，mm。

彎曲剛度的仿真云圖和實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)如圖6和圖7所示。

圖6 彎曲剛度位移云圖

圖7 彎曲剛度實(shí)驗(yàn)

3.2.2 扭轉(zhuǎn)剛度仿真與測(cè)試

約束臺(tái)架中部X，Y，Z 3個(gè)方向的平動(dòng)自由度，約束臺(tái)架后端左右兩邊底部X，Y，Z 3個(gè)方向的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。在臺(tái)架前端左側(cè)施加2 000 N的作用力。扭轉(zhuǎn)剛度的計(jì)算公式為

(1)在304L不銹鋼基體中添加了1%～7%的FeCrBSi作為燒結(jié)助劑，在燒結(jié)溫度為1340 ℃時(shí)，試樣的燒結(jié)密度隨著FeCrBSi添加量的增加而升高，但孔隙度逐漸降低．當(dāng)添加量為3%～5%時(shí)，燒結(jié)密度達(dá)到7.80～7.85 g/cm3．

式中：F為施加載荷，N；L為加力點(diǎn)到臺(tái)架左側(cè)支撐點(diǎn)的距離，mm；Z1～Z4為4個(gè)測(cè)點(diǎn)的Z向絕對(duì)位移，mm；L1，L2分別為測(cè)點(diǎn)1與2和3與4的間距，mm。

扭轉(zhuǎn)剛度的仿真云圖和實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)如圖8和圖9所示。

圖8 扭轉(zhuǎn)剛度位移云圖

圖9 扭轉(zhuǎn)剛度實(shí)驗(yàn)

3.2.3 模態(tài)仿真與測(cè)試

采用Lanczos法計(jì)算白車身的各階模態(tài)和振型，頻率范圍為1-100 Hz，根據(jù)模態(tài)振型提取白車身的1階彎曲和1階扭轉(zhuǎn)模態(tài)，模態(tài)實(shí)驗(yàn)如圖10所示。

圖10 模態(tài)實(shí)驗(yàn)圖

表2為有限元模型彎扭剛度、1階彎扭模態(tài)仿真值與實(shí)車實(shí)驗(yàn)值的對(duì)比。模型誤差均控制在10%以內(nèi)，表明鋁合金有限元車架模型能用于項(xiàng)目詳細(xì)設(shè)計(jì)階段的性能評(píng)估與優(yōu)化。

表2 有限元模型仿真值與實(shí)驗(yàn)值對(duì)比

4 基于CVDA序貫采樣的多學(xué)科優(yōu)化

4.1 基于CVDA法近似模型的建立與精度對(duì)比

首先通過(guò)靈敏度分析挑選出對(duì)稱的17根梁作為本次優(yōu)化的主要部件，優(yōu)化部件如圖11所示，共有壁厚變量12個(gè)。

圖11 設(shè)計(jì)變量圖

首先使用OLHD法抽取彎扭剛度工況和質(zhì)量性能初始樣本點(diǎn)26組，彎扭模態(tài)工況初始樣本點(diǎn)50組，通過(guò)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行近似模型擬合，得出預(yù)測(cè)精度R2分別為0.917，0.939，0.989，0.772和0.779。由于質(zhì)量性能預(yù)測(cè)精度已經(jīng)很高，不需要再新增樣本點(diǎn)。

分別對(duì)彎扭剛度、彎扭模態(tài)4種工況進(jìn)行基于CVDA法的序貫采樣。剛度工況精度達(dá)到0.98，模態(tài)工況精度達(dá)到0.9時(shí)采樣停止，并與OLHD、MDA和CVA法進(jìn)行對(duì)比來(lái)驗(yàn)證該方法在工程應(yīng)用上的可行性。4種工況精度提升如圖12～圖15所示。

圖12 彎曲剛度近似模型精度增長(zhǎng)對(duì)比

圖13 扭轉(zhuǎn)剛度近似模型精度增長(zhǎng)對(duì)比

圖14 彎曲模態(tài)近似模型精度增長(zhǎng)對(duì)比

圖15 扭轉(zhuǎn)模態(tài)近似模型精度增長(zhǎng)對(duì)比

由圖14和圖15可知，彎曲模態(tài)和扭轉(zhuǎn)模態(tài)工況中，在初始樣本點(diǎn)的基礎(chǔ)上，分別進(jìn)行12次和10次CVDA采樣近似模型精度即可達(dá)到0.9以上。R2值均為0.907，與初始近似模型相比分別提升了17.51%和16.45%，最終樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為62和60，比在相同數(shù)量樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)下預(yù)測(cè)精度最高的MDA法分別高出6.90%和7.21%。

4.2 多學(xué)科優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的定義

本次優(yōu)化旨在保持車架原有性能（彎扭剛度和1階彎扭模態(tài)）不降低的情況下，獲得車架質(zhì)量最輕時(shí)的壁厚匹配，即

min：MASS

s.t.：BENDstiffness＞9500 N／mm

TORSIONstiffness＞300000 N·m／rad

BENDmodal＞75 Hz

TORSIONmodal＞41 Hz

T1～T12＝｛1.0，1.1，1.2，…，4.8，4.9，5.0｝

式中：BENDstiffness為彎曲剛度；TORSIONstiffness為扭轉(zhuǎn)剛度；BENDmodal為1階彎曲模態(tài)頻率；TORSIONmodal為1階扭轉(zhuǎn)模態(tài)頻率。

4.3 優(yōu)化結(jié)果分析

采用退火算法，經(jīng)過(guò)3 671次全局迭代，獲得滿足約束條件下的全局最優(yōu)解，優(yōu)化結(jié)果如表3所示。

表3 全鋁車架優(yōu)化前后性能對(duì)比

由表3可知，彎曲剛度提升2.54%，扭轉(zhuǎn)剛度提升3.38%，1階彎曲模態(tài)頻率提升0.68%，1階扭轉(zhuǎn)模態(tài)頻率提升2.75%，質(zhì)量減輕7.47 kg，減重率為7.20%，優(yōu)化效果明顯。

優(yōu)化后的壁厚如表4所示。

表4 壁厚優(yōu)化結(jié)果 mm

5 結(jié)論

（1）通過(guò)數(shù)值算例對(duì)比OLHD法、MDA法、CVA法和CVDA法等4種采樣方法對(duì)近似模型精度的影響，得出采用CVDA法采樣可以準(zhǔn)確定位低精度區(qū)域，在同樣采取21個(gè)樣本點(diǎn)下，預(yù)測(cè)精度較OLHD法、MDA法、CVA法分別高出11.1%，11.1%和30.3%。

（2）運(yùn)用CVDA序貫采樣法分別建立彎扭剛度、彎扭模態(tài)工況的近似模型，彎扭剛度分別采取32和31個(gè)樣本點(diǎn)即可建立精度高達(dá)0.98的近似模型，彎扭模態(tài)分別采取62和60個(gè)樣本點(diǎn)即可建立精度高達(dá)0.9的近似模型，大大提高了建模效率。

（3）全鋁合金車架經(jīng)過(guò)多學(xué)科優(yōu)化，在彎曲剛度增加2.54%，扭轉(zhuǎn)剛度增加3.38%，1階彎曲模態(tài)頻率增加0.68%，1階扭轉(zhuǎn)模態(tài)頻率增加2.75%的情況下，質(zhì)量減輕7.47 kg，減重率為7.20%，輕量化效果明顯，為后續(xù)設(shè)計(jì)提供指導(dǎo)。