慎用“質心等效法”處理連接體的能量轉化問題

許慶元

摘? ?要：連接體中的能量轉化問題實質是質點組能量轉化問題，往往要用到質點組動能定理。但由于高中學生的知識儲備和思維定勢，錯誤地使用“質心等效法”解決問題，思維上出現(xiàn)偏差，導致結論的錯誤。

關鍵詞：連接體;質點組動能定理;能量轉化

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A ? ? 文章編號：1003-6148（2020）12-0055-2

質點組動能定理內容：在慣性參考系中，外力對質點組做的功與質點組間內力做功之和等于質點組中各質點動能的變化量，其表達式：∑iW■+∑iW■=∑jEk2-∑jEk1。但是，由于高中學生的知識儲備和思維定勢，在使用質點組動能定理時常用“質心等效法”解決問題，這樣容易導致兩類錯誤：一是質心的動能代替整個質點組的動能，二是質心的位移代替外力作用點的位移[1]。下面通過幾個例題來分析學生出現(xiàn)思維偏差的具體原因。

1? ? 質心的動能代替整個質點組的動能，導致結論錯誤

例1 如圖1所示，質量都是M的兩個小球，分別固定在一長為2L的輕桿的中點和一端，整個裝置從水平位置繞固定端O下落到豎直位置時，兩球的速度各為多大？

錯誤解法：由動能定理WG=Ek2-Ek1得：

2Mg×■L=■×2Mv■■-■×2Mv■■

vC'=■

根據(jù)圓周運動的公式：v=ωr

得：v■=■，vB=■

正確解法：由質點組動能定理∑iW■+∑iW■=∑jEk2-∑jEk1得：

MgL+2MgL=■Mv■■+■Mv■■

根據(jù)圓周運動的公式：v=ωr

得：vB=2v■

解出：

v■=■，vB=2■

錯解的原因分析：

由柯尼希定理，A球和B球的總動能等于A球和B球質心C'的動能與A球和B球相對于質心的平動動能之和■Mv■■+■Mv■■=■Mv■■+■（vA-vC'）2+■（vB-vC'）2，質心C'處的動能應該小于整個質點組的動能，錯誤解法中用質心C'的動能代替整個質點組的動能，導致解法錯誤。

2? ? 質心的位移代替外力作用點的位移，導致結論錯誤

例2 如圖2所示，兩個樓層的高度為h，在自動扶梯以恒定的速度v運轉時，第一次人站在扶梯上相對扶梯靜止不動，扶梯在他上樓過程中對他做功為W1，做功功率為P1。第二次這人在運動的扶梯上又以相對扶梯的速度u同時勻速向上走。則這次扶梯對人做功為W2，做功功率為P2，則（? ? ?）

A.W1>W2? ? P1>P2? ? ? ? B.W1>W2? ? P1=P2

C.W1=W2? ? P1

解：假設人的質量為m ，速度v與豎直方向的夾角為θ， 第一次人站在扶梯上靜止不動，扶梯對人的支持F=mg，根據(jù)做功公式得：

W1=Fxcosθ=mgh，P1=Fvcosθ=mgvcosθ

第二次人上升過程中，學生在求解扶梯對人做功W2和功率P2時出現(xiàn)了不同錯誤解法：

錯解一：第二次人沿扶梯以相對扶梯的速度u勻速向上走，扶梯對人的支持力F=mg，根據(jù)做功公式得：W2=Fxcosθ=mgh=W1

第二次人運動的時間t2小于第一次的時間t1，由功率的計算公式P1=■

錯解二：以人為研究對象，由動能定理W2+W■-mgh=0，得出：W2=mgh-W■P1，學生說沒有答案。

錯解的原因分析：為了弄清本題我們不妨先通過一個例題讓學生來討論。

例3 如圖3所示，在水平桌面的豎直方向上有兩個物體質量分別為m1、m2，中間用輕質彈簧連接，先用手壓縮物體m2，使彈簧處于壓縮狀態(tài)，然后突然把手拿開，請問手離開到m2到達最高點過程中地面對m1有沒有做功？

學生根據(jù)功的定義很容易就知道在支持力的方向上，m1沒有發(fā)生位移，盡管m1、m2和彈簧組成的系統(tǒng)的質心位置上移了，但地面對m1作用點沒有發(fā)生位移，地面對m1沒有做功。m1 和m2機械能的增加是由于彈簧的彈力做功，彈簧彈性勢能轉化為m1 和m2的機械能的緣故。

現(xiàn)在我們不難發(fā)現(xiàn)錯解一的原因是以系統(tǒng)的質心的位移等效為支持力F作用點的位移，錯解二的原因是以質心的速度等效為力作用點的速度，這既是對做功理解不夠深入，也是在前面學習過程中形成思維定勢導致認識偏差，最終產(chǎn)生錯誤的解法。

正確解法一：第二次人沿扶梯以相對扶梯的速度u勻速向上走，扶梯對人的支持力F=mg，整個過程所用時間為t=■，則扶梯支持力F作用點的位移x1=vt=v■，扶梯支持力F對人做功W2=Fx1cosθ=mgx■

通過以上分析我們發(fā)現(xiàn)，在處理連接體（剛體）平動沒有轉動時，我們可以用“質心等效法”來處理，當剛體有轉動時不能把整個質點組的動能等效為質心的動能;在對待軟體類連接體能量轉化問題時，既要考慮外力作用點的位移是否是質心的位移，還要考慮質點組質點間有沒有相對運動，內力有沒有做功等問題[2]，審慎考慮是否可以用“質心等效法”，要具體問題具體對待。

參考文獻：

[1]陳棟梁，吳春良.“質心等效法”的動能“丟失”問題的討論[J].物理教師，2015，36（11）：57-58.

[2]黃建云.人對自己做功了嗎？——對一道自動扶梯例題探究[J].物理教學，2013，35（3）：20.

（欄目編輯? ? 羅琬華）