黃明輝，劉 君

（廣州城建職業(yè)學院 數學教研室，廣東 廣州 510925 ）

1 預備知識

非線性微分方程周期解的存在性、唯一性、正解性和穩(wěn)定性等問題的研究，Lyapunov 方法是最常用的方法[1-2].Ardjouni[3-4]、Jin[6-7]等學者利用不動點定理研究了微分方程的穩(wěn)定性，并取得了一系列的研究成果[3-10].文獻[4]利用Banach 不動點定理，研究了線性中立型多變時滯積分微分方程

受此啟發(fā)，本文考慮以下非線性中立型多變時滯積分微分方程零解的漸近穩(wěn)定性

2 主要結果

引理1 方程（2）等價于

對方程（2）給出下列假設：

（H1），且可微，當，其中，.

（H2）是全局Lipschitz 連續(xù)函數，即存在正數，

（H3）存在連續(xù)函數和常數，對，

定理1 設（H1）-（H3）成立.若，則方程（2）的零解漸近穩(wěn)定.

通過分部積分并整理，得

由（H3）知，.因此，當t →∞時，.同樣地，可以證明當t →∞時，式（6）中其他項也趨向于零.因此，當t →∞時，，故.

由條件（H3）可得，P 是一個壓縮系數為α 的壓縮映射.所以，由壓縮映射原理得，P 在空間Sψ上存在唯一不動點，它是方程（2）的解.且滿足當，當t →∞時，.

為了證明漸近穩(wěn)定性，需要證明方程（2）的零解是穩(wěn)定的.假設給定任意和滿足.如果是方程（2）的一個解，其中，對任意，.下面證明.

3 實例

例1 考慮以下非線性中立型多變時滯積分微分方程

4 結論

文章利用不動點理論，研究非線性中立型多變時滯積分微分方程零解的漸近穩(wěn)定性.所研究的方程引入了，比文獻[4]的方程更加一般化.并且文獻[4]的定理要求時滯τ 二次可微，，但定理1 中僅要求τ 連續(xù)可微，進一步削弱了對時滯τ 的要求，從而推廣了文獻[4]的相應結果.