■天津市靜海區(qū)教育教學研究室 鄭淑媛

一、從“導入”看，考慮學生的認知基礎(chǔ)，為學生搭建合理平臺

宋老師注意知識的前后聯(lián)系，采用以舊引新直接導入法，在學生已經(jīng)學習了三角形與多邊形有關(guān)概念的基礎(chǔ)上，讓學生回顧多邊形的角及對角線的概念，強調(diào)了對角線的作用。類比三角形學習，多邊形“角”之間又有怎樣的關(guān)系，教師提出問題：“我們已經(jīng)知道三角形內(nèi)角和等于180°，正方形、長方形這些特殊四邊形內(nèi)角和都等于360°，那么任意一個四邊形內(nèi)角和是否等于360°？如何證明？”由于教師做了鋪墊，所以學生馬上想到“引對角線”的方法很快解決了問題，并且宋老師明確指出了研究對象，即四邊形的內(nèi)角和就是（∠1+∠2+∠B)+(∠3+∠4+∠D），這對學生來說很有用。

二、從“新授”看，以問題+啟發(fā)式引導，在探究過程中感悟數(shù)學思想方法

數(shù)學是一個融知識、技能、方法、思想、精神為一體的整體，除了知識、技能以外，更重要的是數(shù)學的思想方法和數(shù)學中蘊含的理性精神。學生怎么學數(shù)學，這和教師怎么教相聯(lián)系。由特殊的多邊形內(nèi)角和到n邊形內(nèi)角和，是一個多層次的探索過程，本質(zhì)上講的是由具體到抽象以及邏輯推理的過程。首先說教師運用數(shù)學思想方法境界較高，有神無形，將轉(zhuǎn)化的思想方法融合在探索多邊形內(nèi)角和的過程中，而且將“過一個頂點引對角線”的方法作為教學主線，思路清晰。

當教師問“你能發(fā)現(xiàn)分成的三角形個數(shù)與它的邊數(shù)之間有什么關(guān)系嗎？”學生表現(xiàn)出遲疑，確定分割后三角形的個數(shù)的這個過程不但結(jié)論隨著多邊形邊數(shù)的變化而變化，而且需要關(guān)注的因素也較多，如邊數(shù)、從一個頂點出發(fā)的對角線條數(shù)、分得的三角形個數(shù)、內(nèi)角和等，對學生來說尋找這個關(guān)系有一定困難。我們看宋老師抓住這個“關(guān)鍵問題”，借助表格，先引導學生觀察，當學生發(fā)現(xiàn)“列”之間存在的規(guī)律是邊數(shù)減2時，追問學生“說說你是怎么發(fā)現(xiàn)的？”讓學生不僅知其然，而且知其所以然。繼續(xù)追問：“你還能從其他角度進行解釋嗎？”引發(fā)更深入的思考。我們看到在教師的啟發(fā)下，有兩位學生分別從頂點和邊的角度做出很好的解釋，從多角度加深了對這個“關(guān)鍵問題”的理解。學生潛力是無窮的，我們一定要相信學生。這個過程蘊含的是符號化以及從特殊到一般的抽象推理過程，尤其是用與n有關(guān)的代數(shù)式表示內(nèi)角和的過程是從感性走向理性。

我們看這個探索過程，學生有獨立思考、小組合作與全班交流，他們親自經(jīng)歷知識發(fā)生、發(fā)展過程，知識的獲取不是教師塞給的，而是自己自主獲取的。教師提出的問題由淺入深，環(huán)環(huán)相扣，有利于培養(yǎng)學生有邏輯的思維能力，像這樣讓知識慢慢地、一點一點地“浮出水面”的過程，符合學生的認知規(guī)律，能激發(fā)學生的學習興趣，學生能從中領(lǐng)悟出探索多邊形內(nèi)角和的思想方法，而這種類比、轉(zhuǎn)化化歸思想和從特殊到一般研究問題的方法，會使學生的學習變得很輕松。得到（n-2）·180°的方法屬于合情推理，宋老師通過讓學生探索不同的分割方法，驗證了所得結(jié)論的一致性和可靠性。類比四邊形的內(nèi)角和是360°的證明方法，讓學生選擇自己最喜歡的方法，探究五邊形、六邊形...,n邊形的內(nèi)角和，同時指出“不論這個點取在哪，都是將多邊形內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角和”?！斑@個點到底選在哪最好呢？”教師引導學生進行了比較，并告訴學生“過頂點引對角線”是以后經(jīng)常用到的方法。在探索多邊形內(nèi)角和公式的過程中，學生經(jīng)歷了觀察、猜想、計算、推理和驗證，在相互啟發(fā)中自然而然地培養(yǎng)了探究能力。教師引導學生用不同的分割方法進行驗證的探究過程，學生積極思考，大膽猜想，推理能力得到了有效的培養(yǎng)，這源于教師對教材的準確把握和深刻理解，源于教師對學生的理解與尊重。

三、從“應(yīng)用”看，關(guān)注示范引領(lǐng)與興趣激發(fā)，技術(shù)運用恰到好處

課本例題是經(jīng)過專家們反復(fù)論證、精心設(shè)計的，具有針對性和典型性，是學生獲取知識、發(fā)展能力的重要載體。例1宋老師給出解題的規(guī)范板書，發(fā)揮了例題的示范作用。選用的練習突出基礎(chǔ)性和層次性，并運用技術(shù)給予了及時評價和反饋。

例2是求六邊形的外角和，而探索多邊形外角和正是由此開始，多邊形外角和是作為多邊形內(nèi)角和公式的一個拓展應(yīng)用，仍按照從特殊到一般的研究方法，宋老師用三個有關(guān)聯(lián)的具有遞進關(guān)系的問題引導學生思考，師生一起從六邊形的局部到整體尋找關(guān)系：“六邊形的外角和”是用“六個平角”減去“六邊形的內(nèi)角和”，得到六邊形外角和為360°。接著學生思考：若將“6”換為“n”，可以得到同樣結(jié)果嗎？進行類比遷移，自然得到了：“n邊形的外角和”是用“n個平角”減去“n邊形的內(nèi)角和”，有相同結(jié)果360°。在這里宋老師做了強調(diào)，n邊形的內(nèi)角和（n-2）·180°是隨著n的變化而變化的，而在這個過程中多邊形的外角和是保持不變的。值得一提的是，在幫助學生理解為什么多邊形的外角和等于360°這個問題上，宋老師巧妙地利用了信息技術(shù)的動態(tài)效果和直觀性，信息技術(shù)運用掐時掐點、非常有效。

四、從“小結(jié)”看，注重過程與結(jié)果相結(jié)合，構(gòu)建知識體系

小結(jié)新穎別致，采用問題清單的形式，以問題串引導學生自我反思。提出四個問題：（1）本節(jié)課學習了哪些內(nèi)容？（2）我們是怎樣得到多邊形內(nèi)角和公式的？（3）在探索多邊形內(nèi)角和公式的過程中，連接對角線起到什么作用？（4）n邊形的外角和與n有關(guān)嗎？為什么？不僅引導學生回顧本節(jié)課所學的知識，更關(guān)注內(nèi)容所反映的思想方法以及如何展開思考，這樣的小結(jié)是過程與結(jié)果相結(jié)合的，注重了數(shù)學基本思想、基本活動經(jīng)驗的落實。同時，也把如何發(fā)現(xiàn)和提出問題滲透其中，實現(xiàn)了“四基”“四能”的融合，是發(fā)展學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的有力舉措。宋老師的用心之處還體現(xiàn)在學生完成問題清單后，又從單元的視角以框架形式幫助學生建立起知識間的聯(lián)系，形成知識脈絡(luò)，這個很重要。問題商榷與建議：第一，點在多邊形外部的情形，課上沒有“生成”，宋老師讓學生留作課下思考，這種情形是否能得到相同的結(jié)論？是否需要分類討論？值得研究。第二，表格中的多邊形是從四邊形開始的，n邊形中n的取值是不小于3的整數(shù)，建議考慮三角形，還有，可以考慮再多放幾個多邊形，如七邊形、八邊形，給學生一個想象的空間，增強學生的幾何直觀思維。

整節(jié)課上，內(nèi)容的展開運用了類比、推廣的方法，以及把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題、化未知為已知的思想方法等。教師引導學生體驗從特殊到一般的研究幾何對象的基本思路，從課程的整體結(jié)構(gòu)上、知識的內(nèi)在邏輯上提出問題，引導學生面對抽象的幾何對象，從特殊的具體對象進行探索，這樣的設(shè)計呈現(xiàn)給學生的是一個宏觀的數(shù)學視野，當學生獨立面對一個數(shù)學對象時，能遷移、類比地去研究，學生從本節(jié)課中積累的數(shù)學思維的經(jīng)驗，也會潛移默化地形成和發(fā)展自己的數(shù)學核心素養(yǎng)。